Уроци по математика (Math lessons)

Опредeление 1: Отсечка, която съединява средите на две от страните на триъгълник, ще наричаме средна отсечка в триъгълника. В даденият по-горе чертеж, отсечката $MN$ е средна отсечка, защото тя съединява две от средите на страните на $\triangle ABC$, а именно точките $M$ и $N$, които са среди съответно на $AC$ и $BC$.  В сила са следните две важни теореми, които ще използваме при решаването на задачи: Теорема 1: Ако права минава през средата на една от страните на триъгълник и е успоредна на друга негова страна, то тя разполовява третата му страна. Казано с други думи, ако знаме, че една права минава през средата на една от страните на триъгълника и знаем също така, че е успоредна на друга негова страна, то със сигурност тази права ще мине през средата на третата страна т.е. тази права носи средната отсечка в триъгълника. Теорема 2: Всяка средна отсечка в триъгълник е успоредна на една от страните му и е равна на половината от нея. От тази теорема, можем да запишем някои важни факти:

Преди да разгледаме задачите от този урок ще припомним някои свойства на умножението на вектор с число. Произведението на вектора $\vec{a}$ с числото $\lambda$ е нов вектор $\vec{b}$, които: 1) $|\vec{b}|=|\lambda|.|\vec{a}|$; 2) $\vec{b}$ и $\vec{a}$ са еднопосочни при $\vec{a}\neq\vec{0}$ и $\lambda>0$, $\vec{b}$ и $\vec{a}$ са разнопосочни при $\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}$ и $\lambda<0$. Когато $\lambda=0$ или $\vec{0}$, тогава $\vec{\lambda a}=\vec{0}$. Следствие 1: За ненулевите вектори $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ съществува число $\lambda\neq 0$ така, че $\vec{AB}=\lambda\vec{CD}$ тогава и само тогава, когато $\vec{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ лежат върху една права или върху успоредни прави. Следствие 2: Точките $O$, $A$ и $B$ лежат на една права точно тогава, когато съществува число $\lambda$ такова, че $\vec{OA}=\lambda\vec{OB}$. Свойства на произведението на вектор с число: 1) $\lambda(\vec{a}+\vec{b})=\lambda\vec{a}+\lambda\vec{b}$; 2) $(\lambda+\mu)\vec{a}=\l

Концепцията за число започва да се формира още от древността, бидейки предмет на обсъждане на философи и мислители. Първо, разбира се, изучавани и описвани били естествените числа. Това са числата, с които броим: $1$, $2$, $3$ и т.н.. Те получили названието естествени , защото в известен философски смисъл имали естествен произход, независещ от човека. Ние никога няма да разберем как първоначално сме се сблъскали с тях - дали някои гениален ум от древността ги открил или измислил, но остава общоприето, че естествените числа просо са се появили пред нас и днес тяхното множество отбелязваме с $\mathbb{N}$. Естествените числа са положителни числа. Когато извършваме действието деление на две естествени числа, получаваме положително рационално число. Рационалните числа се записват като десетични дроби или като обикновени дроби, съставни от числител и знаменател. Ако числителят е по-малък от знаменателя, се нарича правилна дроб, а когато числителят е по-голям от знаменателя, се нарича непр