Уроци по математика (Math lessons)

Вече познаваме свойствата както на квадратния корен , така и на корен $3$-ти . Всичко това беше обобщено с разглеждането на свойствата на корен $n$-ти . Сега ще използваме всичко, което сме научили до момента при решаването на задачи свързани с преобразуване на ирационални изрази. Преди да разгледаме конкретни примери, нека да въведем някои понятия: Определение 1: Алгебричен израз, който съдържа корен (радикал), се нарича ирационален израз. Определение 2: Множителят пред знака на радикал се нарича коефициент на радикала. Определение 3: Един радикал е в нормален вид, ако подкоренната му величина не съдържа знаменател и множители, които могат да се изнесат пред корена. Определение 4: Радикали, които имат в нормалния си вид равни коренни показатели и еднакви подкоренни величини, се наричат подобни радикали. Определение 5: Множеството от всички допустими стойнсти за даден израз образува дефиниционната му област. Нека да припомним и следната формула, която се използва в някои примери:

Тъй като коренният показател $n$ може да бъде както четно число, така и нечетно ние ще разгледаме свойствата на корен $n$-ти в зависимост от четността на коренният показател $n$ (вече сме разглеждали свойствата на квадратния корен и корен трети т.е. когато $n=2$ и $n=3$, тук обобщаваме тези свойства). Определение 1: Корен $n$-ти от неотрицателното число $a\geq 0$, където $n=2s$ $(s=1,2,\ldots)$ е естествено четно число, се нарича единственото неотрицателно число, $n$-тата степен на което е равна на $a$. Определение 2: Корен $n$-ти от произволно реално число $a$, където $n=2s+1$ $(s=1,2,\ldots)$ е нечетно естествено число, се нарича единственото число, $n$-тата степен на което е равна на $a$. Нека $n=2s$ (т.е. $n$ е четно число), където $s\in\mathbb{N}$, $n\geq 2$, $a\geq 0$ и $b\geq 0$, тогава: 1) $\sqrt[n]{a^n}=|a|$, за  всяко $a$; 2) $\sqrt[n]{a^k}=(\sqrt[n]{a})^k$, където $k\in\mathbb{N}$; 3) $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}$; 4) $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sq

Още от 8-ми клас ние познаваме действието коренуване, квадратният корен и неговите свойства . Както добре знаем обаче, освен квадратни корени съществуват и други видове корени, като корен $3$-ти, $4$-ти и т.н. В началото на този урок ще покажем основните свойства на корен трети. Нека да ги разгледаме. 1) $\sqrt[3]{a^3}=a$;  2) $\sqrt[3]{a^m}=(\sqrt[3]{a})^m$, $m\in\mathbb{N}$;  3) $\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b}$;  4) $\sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$, $b\neq 0$; 5) $\sqrt[3]{a^3b}=a\sqrt[3]{b}$; 6) $a\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{a^3b}$; 7) Ако $a<b$, то $\sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b}$ Сега нека да решим някои задачи за да илюстрираме приложението на горните седем свойства на корен трети. 1 Задача Пресметнете $\sqrt[3]{27.125}$. Решение: Забелязваме, че $27=3^3$ и $125=5^3$, следователно произведението под третия корен може да запишем във вида $\sqrt[3]{3^3.5^3}$. Сега след като приложим свойство 3) получаваме $\sqrt[3]{3^3.5^3}=\sqrt[3]{3^3}.\sqrt[3]{5^3}=3.5=15$

Often in solving various problems we have to represent a polynomial as a product of factors. These multipliers can be either monomials or other polynomials. For example, it is well known that $a(b+c)=a.b+a.c$. If we write this equality in reverse order i.e. $a.b+a.c=a(b+c)$ we see that we have already represented the sum of the monomials $ab$ and $bc$ as a product. Let us consider some problems. 1 Problem Calculate rationally $14.85+14.15.$ Solution: The first warrant for solving this problem is to first calculate the product $14.85$ and the product $14.15$ and then add the resulting numbers. The way is not wrong of course, but it does not fit the word rational. Let us now instead consider the equality $a.b+a.c=a(b+c)$, where $a=14$, $b=85$ and $c=15$. We replace the letters with their corresponding equal numbers and get $14.85+14.15=14.(85+15)=14.100=1400.$  Problem 2 Decompose the polynomial $5t+5m$ into factors. Solution:  Notice that in the first and second addends we have the s