Уроци по математика (Math lessons)

 Each of the abbreviated multiplication formulas we have looked at so far is an example of representing a polynomial as a product, for example $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, on the left hand side we have the polynomial $a^2-b^2$ and on the right hand side the product of factors $(a-b)(a+b)$. In the same way, $a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2$. Clearly we see that again we have a polynomial on the left hand side of the equality and a product on the right hand side. Let's write down the other formulas with the left and right parts swapped $a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3=(a\pm b)^3$ and $a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2).$ We'll see below how we can apply these equalities to specific problems. Problem 1 Decompose the polynomial $4x^2-y^2$ into factors.  Solution:  In our case $a=2x$ and $b=y$, therefore $4x^2-y^2=(2x-y)(2x+y).$ Problem 2 Decompose the polynomial $p^2-(x+y)^2$ into factors.$ Solution: Again apply $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, in this case $a=p$, $b=x+y$, hence $[p-(x+y)](p+x+y)=(p-x-y)(p+x

 Ако права $t$ пресича окръжността $k$ в точка $A$ и точка $B$, те определят отсечката $AB$, която се нарича хорда за окръжността $k$. Отсечката $MN$ е също хорда за окръжността $k$. Определение 1: Всяка хорда разделя окръжността на две части, които се наричат дъги на окръжността. Ако хордата $AB$ е диаметър на дадена окръжност, то всяка от дъгите $\overset{\frown}{ALB}$ и $\overset{\frown}{AKB}$ се нарича полуокръжност и $\overset{\frown}{ALB}=\overset{\frown}{AKB}$. Определение 2: Ъгъл чийто връх е център на дадена окръжност $k$ се нарича централен ъгъл.  Всеки централен ъгъл е равен на принадлежащата му дъга. Например на даденият чертеж $\sphericalangle KOL$ е  централен ъгъл и $\sphericalangle KOL=\overset{\frown}{KL}=\alpha$. Определение 2 Две окръжности се наричат еднакви ако имат равни радиуси. Определение 3 Две дъги от една и съща окръжност или от еднакви окръжности се наричат равни, когато имат равни мерки (в градуси). Теорема 1   1) Ако $AB=CD$ следва, че $\alpha=\beta$ и $

1. Основни понятия Окръжност $k$ с център $O$ и радиус $r$ ще означаваме по следният начин - $k(O;r)$. $O$ - център на окръжността; $AB=2r$; $OA=OB=OC=r$ - радиуси на окръжността; ${KE}$- хорда; $\overset{\frown}{KE}$ - дъга принадлежаща на хордата $KE$. 2. Окръжност и точка 1) Точката $B$ лежи на окръжността $k(O;r)$, тогава и само тогава, когато $OB=r$; 2) Точката $A$ е вътрешна за окръжността $k(O;r)$, тогава и само тогава, когато $OA<r$; 3) Точката $C$ е външна за окръжността $k(O;r)$, тогава и само тогава, когато $OC>r$;  4) Ако точките $L$ и $N$ са съответно вътрешна и външна за окръжност $k$, отсечката $LN$ има точно една обща точка $F$ с окръжността $k$. 3. Окръжност и права Преди да разгледаме различните случаи на взаимното положение на окръжност и права нека припомним, че разстояние от точка до права е перпендикулярът спуснат от точката към правата. Ако $k(O;r)$ е окръжност, $l$ е права и $M$ е петата на перпендикуляра, спуснат от центъра $O$ към правата $l$, то са в