Уроци по математика (Math lessons)

  1.  В $7^a$ клас на едно училище броят на отличните ученици е $\frac{3}{14}$ от броя на останалите ученици. Колко са всички ученици в $7^a$ клас, ако отличниците са с $22$ по-малко от останалите ученици в тази паралелка? Отг.: 34 2.  Четирима ученици набрали общо $26,7$ kg желъди. Първият от тях набрал $1,5$ kg повече от втория, а третия набрал $\frac{4}{5}$ kg повече от първия и $0,6$ kg по-малко от четвъртия. Колко килограма желъди е набрал всеки от тях? 3.  Сплав от мед, цинк, олово и желязо има следния състав: теглото на медта е $60$% от теглото на цялата сплав, теглото на цинка е $58\frac{1}{3}$% от теглото на медта, а теглото на оловото се отнася към теглото на желязото, както $2:3$. По колко килограма от всеки метал се съдържа в тази сплав, ако цинкът е с $3,3$ kg повече от оловото? Отг.: $6$; $3,5$; $0,2$; $0,3$. 4.  Тридесет ученици от пет паралелки на едно училище измислили за една олимпиада $40$ задачи. При това учениците от дадена паралелка са измислили по равен брой зада

1 .   Даден е триъгълник $ABC$ и точка $P$, която не съвпада с точка $C$, но лежи на ъглополовящата на външен ъгъл на триъгълника при върха C: а)  да се докаже, че периметърът на $\triangle ABP$ е по-голям от периметърът на $\triangle ABC$; б)  в кой случай правата $PC$ би била успоредна на $AB$?  2.  В триъгълник $ABC$ ъглите $BAC$ и $ACB$ имат големини съответно $75^{\circ}$ и $90^{\circ}$, а дължината на страната $AC$ е $3$ cm. Нека $M$ е точка от страната $BC$ такава, че $\sphericalangle MAC=60^{\circ}$. Да се намери дължината на отсечката $BM$. 3.  В триъгълника $ABC$ ъглополовящата на $\sphericalangle BAC$ пресича $BC$ в точка $D$. Правата $b$ през $D$, успоредна на $AC$, пресича $AB$ в точка $P$: а)  да се докаже, че $\triangle APD$ е равнобедрен; б)  да се намери дължината на $CP$, ако $AP=5$ cm, а правите $PD$ и $PC$ разделят $\sphericalangle BPA$ в отношение $3:1:2$. 4.  Страната $PQ$ на $\triangle PQR$ е разделена от точките $M$ и $N$ на три равни части, като точката $M$ е м

Определение 1: Казваме, че функцията $F$ е примитивна на функцията $f$ в интервала $\Delta$, ако $F^{'}(x)=f(x)$ за всяко $x\in \Delta$.  Теорема 1: Две функции $F(x)$ и $G(x)$ са примитивни на една и съща функция в интервала $\Delta$ тогава и само тогава, когато $F(x)=G(x)+C$, за някоя константа $C\in \mathbb{R}$ Определение 2: Съвкупността от всички примитивни функции $F$ на функцията $f$ наричаме неопределен интеграл и означаваме с $\int{f(x)dx}$. Предложение 1: В сила са тъждествата: (1) $d\int{f(x)dx}=f(x)dx$; (2) $\int{d(F(x))}=F(x)+C$. Предложение 2: В сила са следните равенства: (1) $\int{(f(x)\pm g(x))dx}=\int{f(x)dx}\pm \int{g(x)dx}$; (2) $\int{cf(x)}dx=c\int{f(x)}dx$. Основни неопределени интеграли: 1) $\int{0.dx}=C$. 2) $\int{dx}=x+C$. 3) $\int{x^{n}dx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$, $n\neq -1$. 4) $\int{\frac{dx}{x}}=ln|x|+C$. 5) $\int{e^{x}dx}=e^{x}+C$. 6) $\int{sin(x)dx}=-cos(x)+C$. 7) $\int{cos(x)dx}=sin(x)+C$. 8) $\int{\frac{dx}{sin^{2}x}}=-cotg(x)+C$. 9) $\int{\frac

1. Дадени са полиномите $A=a^4-3a^2+1$ и $B=a^4-a^2-2a-1$. а) да се разложат полиномите $A$ и $B$ на множители; б) да се разложи полиномът $M=A+B$ на множители и след това да се намери числената му стойност, като $a$ се замести със стойността на израза $N=(-2)^{-2}.2^2(-1)^7$. Отг. б) $M=0$. 2. Да се разложи на множители полиномът $P=x^2+4x-y^2-8y-12$. Да се намери числената му стойност, като $x$ се замести със стойността на израза $Q=\frac{-8^4.(-32)^2}{(-16)^5}$, а $y$ - с $0$. Отг.: $20$. 3. Да се разложи на множители полиномът $C=2a^2+b^2+3ab-2a-b$ и след това да се докаже, че при $b=4$ и $a$ цяло число, тоя се дели на $4$. 4. Да се реши уравнението $7(mx+3)=3(2mx+9)$, където $m$ е параметър. Да се намери за кои стойности на $x$ уравнението има за корен естествено число.  5. Кое от числата е по-голямо: стойността на израза $P=[\frac{(8^0+2^{-3})6^{-2}}{2^{-15}}-24]:0,1^{-3}-1$ или решението на уравнението $(3x-1)^2-15x^2+6=x(x+3)(x-3)-(x+2)^3$? 6. Дадени са полиномите $P=x^2