Общи задачи по геометрия от изучения материал през учебната година - 7 клас

1. Даден е триъгълник $ABC$ и точка $P$, която не съвпада с точка $C$, но лежи на ъглополовящата на външен ъгъл на триъгълника при върха C:

а) да се докаже, че периметърът на $\triangle ABP$ е по-голям от периметърът на $\triangle ABC$;

б) в кой случай правата $PC$ би била успоредна на $AB$? 

2. В триъгълник $ABC$ ъглите $BAC$ и $ACB$ имат големини съответно $75^{\circ}$ и $90^{\circ}$, а дължината на страната $AC$ е $3$ cm. Нека $M$ е точка от страната $BC$ такава, че $\sphericalangle MAC=60^{\circ}$. Да се намери дължината на отсечката $BM$.

3. В триъгълника $ABC$ ъглополовящата на $\sphericalangle BAC$ пресича $BC$ в точка $D$. Правата $b$ през $D$, успоредна на $AC$, пресича $AB$ в точка $P$:

а) да се докаже, че $\triangle APD$ е равнобедрен;

б) да се намери дължината на $CP$, ако $AP=5$ cm, а правите $PD$ и $PC$ разделят $\sphericalangle BPA$ в отношение $3:1:2$.

4. Страната $PQ$ на $\triangle PQR$ е разделена от точките $M$ и $N$ на три равни части, като точката $M$ е между точките $P$ и $N$. Върху отсечката $MR$ е взета точка $S$ така, че $PM=MS$. Ако е известно, че $\sphericalangle RMP=120^{\circ}$, да се докаже, че $QS\perp RM$.

5. Едната страна на даден триъгълник е с $12,2$ cm по-малка от втората и с $8,4$ cm по-голяма от третата. Да се намерят дължините на страните на триъгълника, ако периметърът му е с $56,2$ cm по-голям от периметъра на триъгълника с върхове средите на страните на първия триъгълник.

6. Даден е триъгълник $ABC$. На продължението на страната $BC$ от точка $C$ е нанесена отсечка $CM=AC$, а височината $BE$ на $\triangle ABC$ ($BE\perp AC$) е продължена до точка $N$, така че $\sphericalangle MNB=90^{\circ}$. Да се докаже, че:

а) $BN=BE+AD$ (където $AD$ е височина на $\triangle ABC$);

б) $\sphericalangle NMA=\sphericalangle AMC=\frac{1}{2}\sphericalangle ACB$.

7. В остроъгълен равнобедрен триъгълник $ABC$  симетралата на бедрото $BC$ пресича правата $AB$ в точка $D$. На продължението на $DC$ е нанесена отсечката $CP=DA$. Да се докаже, че:

а) триъгълникът $DBC$ е равнобедрен;

б) $DB=BP$, и да се намерят големините на ъглите на $DBP$, ако големината на $\sphericalangle ACB$ е $40^{\circ}$. Отг.: ъглите на $\triangle DBP$ са $40^{\circ}$, $40^{\circ}$ и $100^{\circ}$.

8. Даден е триъгълникът $MNP$, в който $\sphericalangle M=75^{\circ}$ и $\sphericalangle P=90^{\circ}$. Ако $Q$ е точка от страната $NP$, такава, че $\sphericalangle QMP=60^{\circ}$ и $MP=2$ cm, да се намери дължината на отсечката $QN$. Отг.: 4 cm.

9. В триъгълник $ABC$ са прекарани вътрешната ъглополовяща на ъгъл $B$ и външната ъглополовяща на ъгъл $C$, които се пресичат в точка $M$. Да се докаже, че $\sphericalangle BMC=\frac{1}{2} \sphericalangle BAC$.

10. През върха $A$ на основата на равнобедрения триъгълник $ABC$ е прекарана права $l$, перпендикулярна на бедрото $AC$, а през върха $C$ е прекарана друга права $p$, перпендикулярна на бедрото $BC$. Правата $p$ пресича основата $AB$ на триъгълника (или нейното продължение) в точка $O$, а правата $l$ пресича $OC$ в точка $D$. Да се докаже, че $AD=OD$ и да се намерят големините на ъглите на $\triangle ODA$, ако $\sphericalangle BAC=50^{\circ}$. Отг.: $\sphericalangle ODA=100^{\circ}$; $\sphericalangle DOA=\sphericalangle ODA=40^{\circ}$.

11. В правоъгълен триъгълник един от ъглите е $30^{\circ}$. Да се докаже, че в този триъгълник отсечката от перпендикуляра, издигнат към хипотенузата през средата й до пресечната точка с катета, има дължина, три пъти по-малка от дължината на големия катет на дадения триъгълник. 

12. $AB$ е основа на равнобедрения $\triangle ABC$, $M$ и $N$ са точки, лежащи съответна на $AC$ и $BC$, а $O$ е пресечната точка на $AN$ и $BM$. Да се докаже, че:

а) ако $\sphericalangle AMB=\sphericalangle ANB$, то правата $CO$ е перпендикулярна на $AB$;

б) ако правата $CO$ е перпендикулярна на $AB$, то $\sphericalangle AMB=\sphericalangle ANB$.

13. Даден е равностранния $\triangle ABC$. Построени са съответно ъглополовящите на ъглите $BAC$ и $ABC$, които се пресичат в точка $M$. През средите $P$ и $Q$ на отсечките $AM$ и $BM$ са издигнати перпендикуляри, които пресичат $AB$ съответно в точките $R$ и $S$. Да се докаже, че:

а) $\triangle APR\cong\triangle BQS$;

б) $AR=RS=SB$. 

14. Върху бедрата $AC$ и $BC$ на равнобедрения триъгълник $ABC$ са нанесени равните отсечки $AM$ и $BN$. Да се докаже, че:

а) отсечките $BM$ и $AN$ са равни;

б) пресечната точка на правите $BM$ и $AN$ лежи на ъглополовящата $CD$ на $\sphericalangle ACB$.

15. Даден е триъгълник $ABC$, на който $\sphericalangle ACB=80^{circ}$. Върху лъча $AB^{\rightarrow}$ е взета точка $M$, а върху лъча $BA^{\rightarrow}$ - точка $N$. Ъглополовящите на $\sphericalangle NAC$ и на $\sphericalangle CBM$ се пресичат в точка $P$. Да се определят големините на ъглите на $\triangle ABC$ и на $\triangle APB$, ако $\sphericalangle BAP=60^{\circ}$.

16. В равнобедрен триъгълник $ABC$ с основа $AB$ са прекарани медианите $AD$ и $BE$. Да се пресметнат дължините на страните на триъгълника $ABC$, ако периметърът му е $55$ cm, а периметърът на $\triangle ACD$ е с $5$ cm по-голям от периметъра на $\triangle ABE$.

17. Диагоналът $AC$ на четириъгълника $ABCD$ разполовява диагонала $BD$. Точките $M$, $K$ и $N$ са среди съответно на $AD$, $AC$ и $BC$, а $S=AC\cap BD$. Да се намери периметърът на четириъгълника $MKNS$, ако $AB=a$, $CD=b$.

18. Даден е успоредникът $ABCD$, в който $AB=2BC$. Ъглополовящата на $\sphericalangle BAD$ пресича $CD$ в точка $M$, а правите $BM$ и $AD$ се пресичат в точка $P$.

а) Да се докаже, че триъгълникът $AMP$ е правоъгълен.

б) Да се намери лицето на успоредника, ако лицето на $\triangle AMP$ е равно на $50$ $cm^2$ Отг.: $100 cm^2$.

19. Върху страната $AB$ на триъгълника $ABC$ е избрана произвона точка $D$. Да се докаже неравенството $CD>\frac{1}{2}(CA+CB-AB)$.

20. В остроъгълния $\triangle ABC$ са построени височините $AF$ и $CD$, които се пресичат в точката $O$. Точката $M$ е среда на $AB$, а $N$ - среда на $OC$. Да се докаже, че $\sphericalangle MFN=90^{\circ}$.

21. Хипотенузата $AB$ в правоъгълния триъгълник $ABC$ е четири пъти по-голяма от височината $CD$ $(D\in AB)$. Да се намерят острите ъгли на триъгълника.

22. Ъглополовящата на ъгъла при върха $C$ на триъгълника $ABC$ образува със страната $AB$ ъгъл $73^{\circ}$, а с ъглополовящата на $\sphericalangle CAB$ - ъгъл $58^{\circ}$. Да се намерят ъглите на триъгълника.

23. Във вътрешността на остроъгълния $\triangle ABC$ е взета точка $M$ така, че $\sphericalangle ABM='sphericalangle ACM$, $\sphericalangle BCM='sphericalangle BAM$, $\sphericalangle CAM='sphericalangle CBM$. Да се докаже, че $M$ е пресечна точка на височините на триъгълника.

24. Ъглополовящата на $\sphericalangle CAB$ на триъгълника $ABC$ пресича височината $BD$ в точката $O$, а перпендикуляра към $AB$, прекаран през върха $B$ - в точката $M$. Да се докаже, че $BO=BM$.

25. Даден е успоредникът $ABCD$. Вън от него са построени квадратите $ABEF$ и $BCKL$. Да се докаже, че отсечките $DK$ и $DF$ са равни и перпендикулярни.

26. През точка $P$, лежаща върху правата $AB$, от едната страна на правата са прекарани два лъча, еднакво наклонени спрямо $AB$. Връху тях са нанесени равни отсечки $MP$ и $NP$. Да се докаже, че правата $MN$ е успоредна на $AB$.

27. Върху продължението на най-голямата страна $AC$ на триъгълника $ABC$ е нанесена отсечка $CM=BC$. Да се докаже, че $\sphericalangle ABM$ е тъп.

28. В триъгълника $ABC$ през върха $C$ е прекарана медианата $CD$. От върховете $A$ и $B$ са спуснати перпендикуляри $AM$ и $BN$ към правата, върху която лежи медианата $CD$. Да се докаже, че четириъгълникът $ANBM$ е успоредник.

29. В триъгълника $ABC$ е прекарана медианата $CE$ ($E$ лежи на $AB$). От върховетe $A$ и $B$ са спуснати перпендикуляри $AP$ и $BQ$ към правата, на която лежи медианата $CE$:

а) да се докаже, че четириъгълникът $AQBP$ е успоредник;

б) да се намери дължината на страната $AB$, ако $BQ=15,5$ cm и $\sphericalangle BEQ=30^{\circ}$. Отг.: б) $62$ cm.

30. Даден е $\triangle ABC$. Върху $AB$ е избрана точка $M$ така, че $AM=\frac{1}{2}MB$. Върху отсечката $CM$ е избрана точка $N$ така, че $NM=MA$. Известно е още, че $\sphericalangle CMB=60^{\circ}$ и $NA=NC$:

а) да се докаже, че $NB\perp CM$;

б) да се намерят големините на ъглите на триъгълника $ABC$. Отг.: $45^{\circ}$, $60^{\circ}$, $75^{\circ}$.

31. В равнобедрен триъгълник $ABC$ ($AC=BC$), в който $\sphericalangle ACB<\sphericalangle CAB$ е построена симетралата на бедрото $AC$, пресичаща $AB$ в точка $M$:

а) да се докаже, че точката $M$ лежи на лъч с начало точката $B$, несъдържащ точката $A$;

б) ако по лъча $MC^{\rightarrow}$ се нанесе отсечка $CP=BM$, да се покаже, че $AP=AM$.

32. В триъгълника $ABC$ е прекарана ъглополовящата на ъгъл $BAC$ до пресичането й със страната $BC$ в точка $D$. На най-голямата страна $AB$ е нанесена отсечка $AM$, равна на $AC$. Точките $D$ и $M$ са съединени, $\sphericalangle ACB=120^{\circ}$ и $\sphericalangle ABC=30^{\circ}$. Да се намери:

а) големината на $\sphericalangle BDM$;

б) периметърът на $\triangle ABC$, ако $AC=8,2$ cm и $DM=3$ cm. Отг.: а) $90^{\circ}$; б) $30,6$ cm.

33. Диагоналите $AC$ и $BD$ на правоъгълника $ABCD$ се пресичат в точката $O$

а) Ако $\sphericalangle AOD=2\sphericalangle AOB$, да се докаже, че $AC=2AB$.

б) Нека $\sphericalangle AOD=5\sphericalangle AOB$, точката $N$ от страната $AD$ е такава, че $\sphericalangle CBN=5\sphericalangle ABN$ и $M$ е пресечната точка на $AC$ и $BN$. Да се докаже, че $CM+MN=3(AM+MB)$.

34. В правоъгълния триъгълник $ABC$ ($\sphericalangle BAC=90^{\circ}$) отсечката $CL$ е ъглополовяща. Симетралата на страната $AB$ пресича $BC$ в точката $M$, като $ML\perp BC$.

а) Да се намерят ъглите на триъгълника $ABC$.

б) Да се докаже, че ако $b$ и $m$ са съответно дължините на $AC$ и $ML$, то $\frac{b}{m}\in (\frac{3}{2},2)$.

35. Точките $M$ и $N$ лежат съответно на страните $BC$ и $CD$ на ромба $ABCD$, като $\sphericalangle BAM=\sphericalangle DAN=\frac{1}{2}\sphericalangle MAN$. Да се намерят ъглите на ромба, ако:

а) триъгълниците $AMC$ и $AMB$ са равнолицеви;

б) лицето на $\triangle AMN$ е два пъти по-голямо от лицето на триъгълника $ABM$.

36. Върху страните $AB$ и $AC$ на триъгълника $ABC$ са построени външно квадратите $ABMN$ и $ACPQ$. Пресечната точка на $BQ$ и $NC$ е означена с $O$.

а) Да се докаже, че отсечките $BQ$ и $CN$ са равни и перпендикулярни.

б) Да се докаже, че точките $M, P$ и $O$ лежат на една права.

37. В триъгълника $ABC$ ($\sphericalangle C=90^{\circ}$) височината е $CD$ ($CD\in AB$), ъглополовящата на $\sphericalangle BCD$ ($L\in AB$) е $CL$, точката $M$ е средата на $CL$ и $AM$ пресича $CD$ и $CB$ съответно в точките $Q$ и $S$. Да се докаже, че:

а) $CQLS$ е ромб;

б) Ако $\sphericalangle CAB=2\sphericalangle CBA$, то $SQ=AQ$.

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020 

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за наицоналното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015 

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +