Уроци по математика (Math lessons)

Системите линейни уравнения намират изключително широко приложение в реалния свят. Във физиката системи линейни уравнения могат да се използват за моделиране на различни процеси и явления. Например, в електричеството можем да използваме система от уравнения, наречена закони на Кирхоф, за да анализираме сложни електрически вериги.  В механиката можем да използваме системи от линейни уравнения за анализ на сили и моменти в статични и динамични системи. Ако имаме система от три уравнения, които описват равновесие на сили в статична система  $$\begin{cases} 2F_1+2F_2-F_3=0 \\[2ex] F_1-4F_2+2F_3=0 \\[2ex] 3F_1+F_2+5F_3=10, \end{cases}$$ където първото уравнение е равновесие по оста $O_x$, второто по оста $O_y$ и третото по оста $O_z$. След като решим тази система можем да намерим стойностите на силите $F_1$, $F_2$ и $F_3$, които осигуряват равновесие на системата. В икономиката системите от линейни уравнения се използват за моделиране на икономически взаимодействия и прогнозиране. Например,

Определение 1: Функция от вида $f(x)=ax^2+bx+c$, където $a\neq 0$ се нарича квадратна функция. Графиката на квадратната функция е парабола, която е симетрична относно ос, която се нарича ос на симетрия. Оста на симетрията е права, която минава през $x$ координатата на върха на параболата. От своя страна във върха на параболата квадратната функция достига своята най-голяма или най-малка стойност. Ако коефициентът $a>0$, параболата е отворена нагоре. Следващият чертеж илюстрира този случай. Това е графиката на функцията $f(x)=x^2$ (a=1>0).   Ако пък коефициентът $a<0$, тогава параболата е отворена надолу. Следващият чертеж ни показва и този случай. Това е графиката на функцията $f(x)=-x^2$ (a=-1<0). Така вече ясно можем да кажем, че например графиката на функцията $f(x)=4x^2-3x-1$ е парабола, която е отворена нагоре, защото $a=4>0$, както и разбира се, ако имаме функцията $f(x)=-3x^2-4x-1$ за нея можем да твърдим, че графиката й е парабола, която е отворена надолу, защото