Неопределен интеграл - решаване на неопределени интеграли чрез непосредствено прилагане на табличните интеграли

Определение 1: Казваме, че функцията $F$ е примитивна на функцията $f$ в интервала $\Delta$, ако $F^{'}(x)=f(x)$ за всяко $x\in \Delta$. 

Теорема 1: Две функции $F(x)$ и $G(x)$ са примитивни на една и съща функция в интервала $\Delta$ тогава и само тогава, когато $F(x)=G(x)+C$, за някоя константа $C\in \mathbb{R}$

Определение 2: Съвкупността от всички примитивни функции $F$ на функцията $f$ наричаме неопределен интеграл и означаваме с $\int{f(x)dx}$.

Предложение 1: В сила са тъждествата:

(1) $d\int{f(x)dx}=f(x)dx$;

(2) $\int{d(F(x))}=F(x)+C$.

Предложение 2: В сила са следните равенства:

(1) $\int{(f(x)\pm g(x))dx}=\int{f(x)dx}\pm \int{g(x)dx}$;

(2) $\int{cf(x)}dx=c\int{f(x)}dx$.

Основни неопределени интеграли:

1) $\int{0.dx}=C$.

2) $\int{dx}=x+C$.

3) $\int{x^{n}dx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$, $n\neq -1$.

4) $\int{\frac{dx}{x}}=ln|x|+C$.

5) $\int{e^{x}dx}=e^{x}+C$.

6) $\int{sin(x)dx}=-cos(x)+C$.

7) $\int{cos(x)dx}=sin(x)+C$.

8) $\int{\frac{dx}{sin^{2}x}}=-cotg(x)+C$.

9) $\int{\frac{dx}{cos^{2}x}}=tg(x)+C$.

10) $\int{\frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}}=arcsin(\frac{x}{a})+C$.

11) $\int{\frac{dx}{a^{2}+x^{2}}}=\frac{1}{a}arctg(\frac{x}{a})+C$.

12) $\int{\frac{dx}{\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}}}=ln|x+\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}|+C$.

 Непосредствено интегриране

При непосредственото интегриране, прилагаме различни тъждествени преобразувания на подинтегралната функция, както и линейните свойства на интеграла с цел довеждането на интеграла до табличен (таблични) интеграл (интеграли).

1. Решете интеграла $\int{(3x^{2}+2x+1)dx}$

Решение:

За даденият интеграл можем да приложим $\int{(f(x)\pm g(x))dx}=\int{f(x)dx}\pm \int{g(x)dx}$ така получаваме: $\int{(3x^{2}+2x+1)dx}=\int{3x^{2}dx}+\int{2xdx}+\int{1dx}$. Получихме три интеграла, за които можем да приложим $\int{cf(x)}dx=c\int{f(x)}dx$ от където следва, че: $\int{3x^{2}dx}+\int{2xdx}+\int{1dx}=3\int{x^{2}dx}+2\int{xdx}+1\int{dx}$. Така след прилагане на свойствата на неопределения интеграл доведохме даденият интеграл до три интеграла, които са таблични ($\int{x^{n}dx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$), така получаваме: $3\frac{x^{3}}{3}+2\frac{x^{2}}{2}+x+C=x^{3}+x^{2}+x+C$. 

2. Решете интеграла $\int{(5x^{4}-2x^{3}+7x^{2}-10x+11)dx}$

Решение: 

$\int{(5x^{4}-2x^{3}+7x^{2}-10x+11)dx}=$

$\int{5x^{4}dx}-\int{2x^{3}dx}+\int{7x^{2}dx}-\int{10xdx}+\int{11dx}=$

$5\int{x^{4}dx}-2\int{x^{3}dx}+7\int{x^{2}dx}-10\int{xdx}+11\int{dx}=$

$5\frac{x^{5}}{5}-2\frac{x^{4}}{4}+7\frac{x^{3}}{3}-10\frac{x^{2}}{2}+11x+C=$

$x^{5}-\frac{1}{2}x^{4}+\frac{7}{3}x^{3}-5x^{2}+11x+C$. 

3. Решете интеграла $\int{(cos(x)+2\sqrt[5]{x^{3}})dx}$

Решение:

За дадения интеграл, прилагаме $\int{(f(x)\pm g(x))dx}=\int{f(x)dx}\pm \int{g(x)dx}$ т.е. 

$\int{(cos(x)+2\sqrt[5]{x^{3}})dx}=\int{cos(x)dx}+\int{2\sqrt[5]{x^{3}}dx}$. Забелязваме, че първият интеграл е табличен, а вторият, след изнасяне на константата $2$ пред интеграла ($\int{cf(x)}dx=c\int{f(x)}dx$) и след като представим $\sqrt[5]{x^{3}}$ във вида $x^{\frac{3}{5}}$ използвайки формулата $\sqrt[m]{a^{n}}=a^{\frac{n}{m}}$ вторият интеграл става табличен ($\int{x^{n}dx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$, за $n\neq -1$). Така получаваме че: $\int{(cos(x)+2\sqrt[5]{x^{3}})dx}=\int{cos(x)dx}+2\int{x^{\frac{3}{5}}dx}=$

$sin(x)+2\frac{x^{\frac{3}{5}+1}}{\frac{3}{5}+1}=sin(x)+2\frac{x^{\frac{8}{5}}}{\frac{8}{5}}+C=sin(x)+\frac{5}{4}x^{\frac{8}{5}}+C$.

4. Решете интеграла $\int{(2^{x}+\sqrt{\frac{1}{x}})dx}$

Решение:

$\int{(2^{x}+\sqrt{\frac{1}{x}})dx}=\int{2^{x}dx}+\int{x^{-\frac{1}{2}}dx}=\frac{2^{x}}{ln2}+\frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+C=\frac{2^{x}}{ln2}+2x^{\frac{1}{2}}+C$.

5. Решете интеграла $\int{\frac{x^{4}-6x^{2}+3\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}-1}{x\sqrt{x}}dx}$

Решение:

$\int{\frac{x^{4}-6x^{2}+3\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}-1}{x\sqrt{x}}dx}=$

$\int{\frac{x^{4}}{x\sqrt{x}}dx}-\int{\frac{6x^{2}}{x\sqrt{x}}dx}+\int{\frac{3\sqrt{x}}{x\sqrt{x}}dx}+\int{\frac{\sqrt[3]{x}}{x\sqrt{x}}dx}-\int{\frac{1dx}{x\sqrt{x}}}=$

$\int{\frac{x^{4}dx}{x^{\frac{3}{2}}}}-6\int{\frac{x^{2}dx}{x^{\frac{3}{2}}}}+3\int{\frac{x^{\frac{1}{2}}dx}{x^{\frac{3}{2}}}}+\int{\frac{x^{\frac{1}{3}}dx}{x^{\frac{3}{2}}}}-\int{\frac{dx}{x^{\frac{3}{2}}}}=$

$\int{x^{4-\frac{3}{2}}dx}-6\int{x^{2-\frac{3}{2}}dx}+3\int{x^{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}dx}+\int{x^{\frac{1}{3}-\frac{3}{2}}dx}-\int{x^{-\frac{3}{2}}dx}=$

$\int{x^{\frac{5}{2}}dx}-6\int{x^{\frac{1}{2}}dx}+3\int{x^{-1}}+\int{x^{-\frac{7}{6}}dx}-\int{x^{-\frac{3}{2}}dx}$. Тук всички интеграли са таблични. Използваме $\int{x^{n}dx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$, за $n\neq -1$, както и $\int{\frac{dx}{x}}=ln|x|+C$.Следователно $\int{x^{\frac{5}{2}}dx}-6\int{x^{\frac{1}{2}}dx}+3\int{x^{-1}}+\int{x^{-\frac{7}{6}}dx}-\int{x^{-\frac{3}{2}}dx}=$

$\frac{x^{\frac{5}{2}+1}}{\frac{5}{2}+1}-6\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+3ln|x|+\frac{x^{-\frac{7}{6}+1}}{-\frac{7}{6}+1}-\frac{x^{-\frac{3}{2}+1}}{-\frac{3}{2}+1}+C=$

$\frac{2}{7}x^{\frac{7}{2}}-4x^{\frac{3}{2}}+3ln|x|-6x^{-\frac{1}{6}}+2x^{-\frac{1}{2}}+C$.

6. Решете интеграла $\int{(\sqrt{x\sqrt{x}}-\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x^{3}})dx}$

Решение:

$\int{(\sqrt{x\sqrt{x}}-\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x^{3}})dx}=$

$\int{\sqrt{x\sqrt{x}}dx}-\int{\frac{2}{\sqrt{x}}dx}+\int{\frac{1}{x^{3}}dx}=$

$\int{(x.x^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}dx}-2\int{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}dx}+\int{x^{-3}dx}=$

$\int{x^{\frac{3}{4}}dx}-2\int{x^{-\frac{1}{2}}dx}+\int{x^{-3}dx}=\frac{4}{7}x^{\frac{7}{4}}-4x^{-\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}x^{-2}+C$.

7. Решете интеграла $\int{\frac{(\sqrt{x}-\sqrt[3]{x^{2}})^{2}}{\sqrt[4]{x}}dx}$

Решение:

За числителя на подинтегралната функция ще приложим формулата $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$, тогава:

$\int{\frac{(\sqrt{x})^{2}-2\sqrt{x}\sqrt[3]{x^{2}}+(\sqrt[3]{x^{2}})^{2}}{\sqrt[4]{x}}dx}=\int{\frac{x-2x^{\frac{1}{2}}x^{\frac{2}{3}}+(x^{\frac{2}{3}})^{2}}{x^{\frac{1}{4}}}dx}=\int{\frac{x-2x^{\frac{7}{6}}+x^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{1}{4}}}dx}=$

$\int{(\frac{x}{x^{\frac{1}{4}}}-\frac{2x^{\frac{7}{6}}}{x^{\frac{1}{4}}}+\frac{x^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{1}{4}}})dx}=\int{\frac{x}{x^{\frac{1}{4}}}dx}-\int{\frac{2x^{\frac{7}{6}}}{x^{\frac{1}{4}}}dx}+\int{\frac{x^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{1}{4}}}dx}=$

$\int{x.x^{-\frac{1}{4}}dx}-2\int{x^{\frac{7}{6}}.x^{-\frac{1}{4}}dx}+\int{x^{\frac{4}{3}}.x^{-\frac{1}{4}}dx}=$

$\int{x^{\frac{3}{4}}dx}-2\int{x^{\frac{11}{12}}dx}+\int{x^{\frac{13}{12}}dx}$.

Всеки от трите получени по-горе интеграли е табличен ($\int{x^{n}dx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$, за $n\neq -1$). Така окончателно получаваме, че: 

$\int{x^{\frac{3}{4}}dx}-2\int{x^{\frac{11}{12}}dx}+\int{x^{\frac{13}{12}}dx}=\frac{4}{7}x^{\frac{7}{4}}-\frac{24}{23}x^{\frac{23}{12}}+\frac{12}{25}x^{\frac{25}{12}}+C$.

8. Решете интеграла $\int{\frac{5}{\sqrt{4-4x^{2}}}dx}$

Решение:

Чрез някои елементарни преобразувания в подинтегралната функция, ще доведем дадения интеграл до табличния интеграл $\int{\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}}=arcsin(x)+C$.

$\int{\frac{5}{\sqrt{4-4x^{2}}}dx}=5\int{\frac{dx}{\sqrt{4(1-x^{2})}}}=5\int{\frac{dx}{2\sqrt{1-x^{2}}}}=\frac{5}{2}\int{\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}}=\frac{5}{2}arcsin(x)+C$.

9. Решете интеграла $\int{(4cos(x)-\frac{5}{\sqrt{9x^{2}-9}})dx}$

Решение:

За даденият интеграл ще приложим свойството $\int{(f(x)\pm g(x))dx}=\int{f(x)dx}\pm \int{g(x)dx}$.

$\int{(4cos(x)-\frac{5}{\sqrt{9x^{2}-9}})dx}=\int{4cos(x)dx}-\int{\frac{5}{\sqrt{9x^{2}-9}}dx}$. В първият интеграл, след като изнесем константата 4 пред интеграла свеждаме до табличен интеграл, а за вторият ще приложим техниката от предходната задача.

$\int{4cos(x)dx}-\int{\frac{5}{\sqrt{9x^{2}-9}}dx}=4\int{cos(x)dx}-5\int{\frac{dx}{3\sqrt{x^{2}-1}}}=4\int{cos(x)dx}-\frac{5}{3}\int{\frac{dx}{\sqrt{x^{2}-1}}}=4sin(x)-\frac{5}{3}ln|x+\sqrt{x^{2}-1}|+C$.

10. Решете интеграла $\int{2^{x}.3^{x}.5^{x}dx}$

Решение:

За подинтегралната функция ще приложим добре известната формула $a^{n}.b^{n}.c^{n}=(a.b.c)^{n}$.

$\int{2^{x}.3^{x}.5^{x}dx}=\int{(2.3.5)^{x}dx}=\int{30^{x}dx}=\frac{30^{x}}{ln30}+C$.

11. Решете интеграла $\int{\frac{2^{x}.3^{2x}.4^{3x}}{5^{x}.6^{2x}}dx}$

Решение:

$\int{\frac{2^{x}.3^{2x}.4^{3x}}{5^{x}.6^{2x}}dx}=\int{\frac{2^{x}.3^{2x}.2^{6x}}{5^{x}.2^{2x}.3^{2x}}dx}=\int{\frac{2^{5x}}{5^{x}}dx}=\int{(\frac{32}{5})^{x}dx}=\frac{(\frac{32}{5})^{x}}{ln\frac{32}{5}}+C$.

12. Решете интеграла $\int{(5^{x}-2^{x})^{2}dx}$

Решение:

За подинтегралната функция ще приложим формулата $(a-b)=a^{2}-2ab+b^{2}$, като в случая $a=5^{x}$ и $b=2^{x}$. Така получаваме:

$\int{(5^{x}-2^{x})^{2}dx}=\int{[(5^{x})^{2}-2.5^{x}.2^{x}+(2^{x})^{2}]dx}=\int{(5^{2x}-2.10^{x}+2^{2x})dx}$. Сега ще приложим свойството $\int{(f(x)\pm g(x))dx}=\int{f(x)dx}\pm \int{g(x)dx}$ от тук:

$\int{(5^{2x}-2.10^{x}+2^{2x})dx}=\int{5^{2x}dx}-\int{2.10^{x}dx}+\int{2^{2x}dx}=$

$\int{25^{x}dx}-2\int{10^{x}dx}+\int{4^{x}dx}=\frac{25^{x}}{ln25}-2.\frac{10^{x}}{ln10}+\frac{4^{x}}{ln4}+C$.

13. Решете интеграла $\int{\frac{2^{x+1}-5^{x-1}}{10^{x}}dx}$

Решение:

Ще представим подинтегралната функция по следният начин:

$\int{\frac{2^{x+1}-5^{x-1}}{10^{x}}dx}=\int{(\frac{2^{x+1}}{10^{x}}-\frac{5^{x-1}}{10^{x}})dx}=\int{(2.\frac{2^{x}}{10^{x}}-\frac{1}{5}.\frac{5^{x}}{10^{x}})dx}$. Прилагаме свойството

$\int{(f(x)\pm g(x))dx}=\int{f(x)dx}\pm \int{g(x)dx}$ и получаваме:

$\int{(2.\frac{2^{x}}{10^{x}}-\frac{1}{5}.\frac{5^{x}}{10^{x}})dx}=\int{2.\frac{2^{x}}{10^{x}}dx}-\int{\frac{1}{5}.\frac{5^{x}}{10^{x}}dx}=2\int{\frac{2^{x}}{10^{x}}dx}-\frac{1}{5}\int{\frac{5^{x}}{10^{x}}dx}=$

$2\int{(\frac{2}{10})^{x}dx}-\frac{1}{5}\int{(\frac{5}{10})^{x}dx}$. Получените два интеграла са таблични:

$2\int{(\frac{2}{10})^{x}dx}-\frac{1}{5}\int{(\frac{5}{10})^{x}dx}=2.\frac{(\frac{1}{5})^{x}}{ln\frac{1}{5}}-\frac{1}{5}.\frac{(\frac{1}{2})^{x}}{ln\frac{1}{2}}+C$.

14. Решете интеграла $\int{2^{2x}e^{x}dx}$

Решение:

$\int{2^{2x}e^{x}dx}=\int{(2^{2})^{x}.e^{x}dx}=\int{4^{x}.e^{x}dx}=\int{(4e)^{x}dx}=\frac{(4e)^{x}}{ln4e}+C=$

$\frac{(4e)^{x}}{lne+ln4}+C=\frac{(4e)^{x}}{1+ln4}+C$.

15. Решете интеграла $\int{(\frac{1}{\sqrt{2-2x^{2}}}-3^{-x})dx}$

Решение:

Прилагаме свойството $\int{(f(x)\pm g(x))dx}=\int{f(x)dx}\pm \int{g(x)dx}$.

$\int{(\frac{1}{\sqrt{2-2x^{2}}}-3^{-x})dx}=\int{\frac{1}{\sqrt{2-2x^{2}}}dx}-\int{3^{-x}dx}=$

$\int{\frac{1}{\sqrt{2(1-x^{2})}}dx}-\int{\frac{1}{3^{x}}dx}=\int{\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{1-x^{2}}}dx}-\int{(\frac{1}{3})^{x}dx}=\frac{1}{\sqrt{2}}\int{\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}dx}-\int{(\frac{1}{3})^{x}dx}$. Получаваме два таблични интеграла:

$\frac{1}{\sqrt{2}}\int{\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}dx}-\int{(\frac{1}{3})^{x}dx}=\frac{1}{\sqrt{2}}arcsinx-\frac{(\frac{1}{3})^{x}}{ln(\frac{1}{3})}+C$.

16. Решете интеграла $\int{(10^{-x}+\frac{x^{2}+2}{1+x^{2}})dx}$

Решение:

Отново прилагаме свойството $\int{(f(x)\pm g(x))dx}=\int{f(x)dx}\pm \int{g(x)dx}$.

$\int{(10^{-x}+\frac{x^{2}+2}{1+x^{2}})dx}=\int{10^{-x}dx}+\int{\frac{x^{2}+2}{1+x^{2}}dx}=\int{(\frac{1}{10})^{x}dx}+\int{\frac{x^{2}+2}{1+x^{2}}dx}$. Първият интеграл е табличен, а вторият интеграл ще представим по следният начин:

$\int{(\frac{1}{10})^{x}dx}+\int{\frac{x^{2}+2}{1+x^{2}}dx}=\int{(\frac{1}{10})^{x}dx}+\int{\frac{x^{2}+1+1}{1+x^{2}}dx}=\int{(\frac{1}{10})^{x}dx}+\int{(\frac{x^{2}+1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+x^{2}})dx}$. Сега за вторият интеграл прилагаме свойството $\int{(f(x)\pm g(x))dx}=\int{f(x)dx}\pm \int{g(x)dx}$ и получаваме:

$\int{(\frac{1}{10})^{x}dx}+\int{(\frac{x^{2}+1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+x^{2}})dx}=\int{(\frac{1}{10})^{x}dx}+\int{\frac{x^{2}+1}{1+x^{2}}dx}+\int{\frac{1}{1+x^{2}}dx}=$

$\int{(\frac{1}{10})^{x}dx}+\int{dx}+\int{\frac{1}{1+x^{2}}dx}$. Така и трите интеграла са таблични:

$\int{(\frac{1}{10})^{x}dx}+\int{dx}+\int{\frac{1}{1+x^{2}}dx}=\frac{(\frac{1}{10})^{x}}{ln\frac{1}{10}}+x+arctgx+C$.

17. Решете интеграла $\int{\frac{2^{2x-1}-3^{2x+3}}{6^{2x}}dx}$

Решение:

$\int{\frac{2^{2x-1}-3^{2x+3}}{6^{2x}}dx}=\int{\frac{2^{2x-1}}{6^{2x}}dx}-\int{\frac{3^{2x+3}}{6^{2x}}dx}=\int{\frac{2^{-1}.2^{2x}}{2^{2x}.3^{2x}}dx}-\int{\frac{3^{3}.3^{2x}}{2^{2x}.3^{2x}}dx}=$

$\int{\frac{1}{2}.\frac{1}{9^{x}}dx}-\int{\frac{27}{4^{x}}dx}=\frac{1}{2}\int{(\frac{1}{9})^{x}dx}-27\int{(\frac{1}{4})^{x}dx}=$

$\frac{1}{2}.\frac{(\frac{1}{9})^{x}}{ln\frac{1}{9}}-27\frac{(\frac{1}{4})^{x}}{ln\frac{1}{4}}+C$.

18. Решете интеграла $\int{\frac{3^{2x}-1}{3^{x}+1}dx}$

Решение:

$\int{\frac{3^{2x}-1}{3^{x}+1}dx}=\int{\frac{(3^{x})^{2}-1^{2}}{3^{x}+1}dx}$. За числителя на подинтегралната функция можем да приложим формулата $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$, където $a=3^{x}$, а $b=1$ така получаваме:

$\int{\frac{(3^{x})^{2}-1^{2}}{3^{x}+1}dx}=\int{\frac{(3^{x}-1)(3^{x}+1)}{(3^{x}+1)}dx}=\int{(3^{x}-1)dx}=\int{3^{x}dx}-\int{1.dx}=\frac{3^{x}}{ln3}-x+C$.

19. Решете интеграла $\int{\frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx}$

Решение:

$\int{\frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx}=\int{\frac{(e^{x})^{3}-1}{e^{x}-1}dx}$. За числителя на подинтегралната функция можем да приложим формулата $a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$, където $a=e^{x}$, а $b=1$ следователно:

$\int{\frac{(e^{x})^{3}-1}{e^{x}-1}dx}=\int{\frac{(e^{x}-1)[(e^{x})^{2}+e^{x}+1]}{e^{x}-1}dx}=\int{[(e^{2})^{x}+e^{x}+1]dx}$. Прилагаме свойството

$\int{(f(x)\pm g(x)\pm h(x))dx}=\int{f(x)dx}\pm \int{g(x)dx}\pm \int{h(x)dx}$:

$\int{[(e^{2})^{x}+e^{x}+1]dx}=\int{(e^{2})^{x}dx}+\int{e^{x}dx}+\int{1.dx}=\frac{e^{2x}}{lne^{2}}+e^{x}+x+C=$

$\frac{e^{2x}}{2}+e^{x}+x+C$.

20. Решете интеграла $\int{\frac{2^{2x}-1}{\sqrt{2^{x}}}dx}$

Решение:

$\int{\frac{2^{2x}-1}{\sqrt{2^{x}}}dx}=\int{\frac{2^{2x}}{2^{\frac{1}{2}x}}dx}-\int{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}x}dx}=\int{\frac{2^{2x}}{2^{\frac{1}{2}x}dx}}-\int{(\frac{1}{\sqrt{2}})^{x}dx}=$

$\int{(2^{\frac{3}{2}})^{x}dx}-\int{(\frac{1}{\sqrt{2}})^{x}dx}=\frac{(2^{\frac{3}{2}})^{x}}{ln2^{\frac{3}{2}}}-\frac{(\frac{1}{\sqrt{2}})^{x}}{ln2^{-\frac{1}{2}}}+C=\frac{(2^{\frac{3}{2}})^{x}}{\frac{3}{2}ln2}+\frac{(\frac{1}{\sqrt{2}})^{x}}{\frac{1}{2}ln2}+C$.

21. Решете интеграла $\int{sin^{2}\frac{x}{2}dx}$

Решение:

За подинтегралната функция прилагаме формулата $sin\frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-cosx}{2}}$, следователно:

$\int{sin^{2}\frac{x}{2}dx}=\int{(\sqrt{\frac{1-cosx}{2}})^{2}dx}=\int{\frac{1-cosx}{2}dx}=\int{\frac{1}{2}dx}-\int{\frac{cosx}{2}dx}=$

$\frac{1}{2}\int{dx}-\frac{1}{2}\int{cosxdx}=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}sinx+C$.

22. Решете интеграла $\int{cos^{2}\frac{x}{2}dx}$

Решение:

За подинтегралната функция прилагаме формулата $cos\frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+cosx}{2}}$, следователно:

$\int{cos^{2}\frac{x}{2}dx}=\int{(\sqrt{\frac{1+cosx}{2}})^{2}dx}=\int{\frac{1+cosx}{2}dx}=\int{\frac{1}{2}dx}+\int{\frac{cosx}{2}dx}=$

$\frac{1}{2}\int{dx}+\frac{1}{2}\int{cosxdx}=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}sinx+C$.

23. Решете интеграла $\int{tg^{2}xdx}$

Решение:

Ще използваме, че $tgx=\frac{sinx}{cosx}$:

$\int{tg^{2}dx}=\int{\frac{sin^{2}x}{cos^2x}dx}$. Сега ще използваме основното тригонометрично тъждество $sin^{2}x+cos^{2}x=1$ от където следва, че $sin^{2}x=1-cos^{2}x$ тогава:

$\int{\frac{sin^{2}x}{cos^2x}dx}=\int{\frac{1-cos^{2}x}{cos^{2}x}dx}=\int{(\frac{1}{cos^{2}}-\frac{cos^{2}x}{cos^{2}x})dx}$. Сега ще приложим свойството $\int{(f(x)\pm g(x))dx}=\int{f(x)dx}\pm \int{g(x)dx}$:

$\int{(\frac{1}{cos^{2}}-\frac{cos^{2}x}{cos^{2}x})dx}=\int{\frac{1}{cos^{2}x}dx}-\int{\frac{cos^{2}x}{cos^{2}x}dx}=tgx-x+C$.

24. Решете интеграла $\int{cotg^{2}xdx}$

Решение:

Използваме, че $cotgx=\frac{cosx}{sinx}$. Тогава даденият интеграл можем да запишем във вида:

$\int{cotg^{2}xdx}=\int{\frac{cos^2x}{sin^{2}x}dx}$. Сега отново от основното тригонометрично тъждество имаме, че $cos^{2}x=1-sin^{2}x$. Следователно:

$\int{\frac{cos^(2)x}{sin^{2}x}dx}=\int{\frac{1-sin^{2}x}{sin^{x}}dx}=\int{\frac{1}{sin^{2}x}dx}-\int{\frac{sin^{2}x}{sin^{2}x}dx}=-cotgx-x+C$.

25. Решете интеграла $\int{\frac{cos2x}{cosx-sinx}dx}$

Решение:

Тъй като $cos2x=cos^{2}x-sin^{2}x$ даденият интеграл можем да запишем във вида:

$\int{\frac{cos2x}{cosx-sinx}dx}=\int{\frac{cos^{2}x-sin^{2}x}{cosx-sinx}dx}$. За числителя на подинтегралната функция прилагаме формулата $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$, където $a=cosx$ и $b=sinx$. Следователно:

$\int{\frac{cos^2x-sin^{2}x}{cosx-sinx}dx}=\int{\frac{(cosx-sinx)(cosx+sinx)}{(cosx-sinx)}dx}=\int{(cosx+sinx)dx}=$

$\int{cosxdx}+\int{sinxdx}=sinx-cosx+C$.

26. Решете интеграла $\int{\frac{1+cos2x}{cosx}dx}$

Решение:

Използваме, че $1=sin^{2}x+cos^{2}x$ и $cos2x=cos^{2}x-sin^{2}x$. Заместваме в подинтегралната функция и получаваме:

$\int{\frac{1+cos2x}{cosx}dx}=\int{\frac{sin^{2}x+cos^{2}x+cos^{2}x-sin^{2}x}{cosx}dx}=\int{\frac{2cos^{2}x}{cosx}dx}=\int{2cosxdx}=$

$2\int{cosxdx}=2sinx+C$.

27. Решете интеграла $\int{\frac{1}{x^{2}(1+x^{2})}dx}$

Решение:

За решаването на тази задача е необходимо в числителя на подинтегралната функция да прибавим $x^{2}$ и да извадим $x^{2}$. Записваме даденият интеграл във вида: 

$\int{\frac{1}{x^{2}(1+x^{2})}dx}=\int{\frac{1+x^{2}-x^{2}}{x^{2}(1+x^{2})}dx}=\int{(\frac{1+x^{2}}{x^{2}(1+x^{2})}-\frac{x^{2}}{x^{2}(1+x^{2})})dx}$.

 Прилагаме свойството $\int{(f(x)\pm g(x))dx}=\int{f(x)dx}\pm \int{g(x)dx}$ и получаваме:

$\int{(\frac{1+x^{2}}{x^{2}(1+x^{2})}-\frac{x^{2}}{x^{2}(1+x^{2})})dx}=\int{\frac{(1+x^{2})}{x^{2}(1+x^{2})}dx}-\int{\frac{x^{2}}{(1+x^{2})}dx}=\int{\frac{1}{x^{2}}dx}-\int{\frac{1}{1+x^{2}}dx}=$

$\int{x^{-2}dx}-\int{\frac{1}{1+x^{2}}dx}=\frac{x^{-1}}{-1}-arctgx=-\frac{1}{x}+arctgx+C$.

28. Решете интеграла $\int{\frac{cos2x}{sin^{2}x.cos^{2}x}dx}$

Решение:

Отново използваме, че $cos2x=cos^{2}x-sin^{2}x$:

$\int{\frac{cos2x}{sin^{2}x.cos^{2}x}dx}=\int{\frac{cos^{2}x-sin^{2}x}{sin^{2}x.cos^{2}x}dx}=\int{(\frac{cos^{2}x}{sin^{2}x.cos^{2}x}-\frac{sin^{2}x}{sin^{2}x.cos^{2}x})dx}$. Сега за полученият интеграл прилагаме свойството $\int{(f(x)\pm g(x))dx}=\int{f(x)dx}\pm \int{g(x)dx}$:

$\int{(\frac{cos^{2}x}{sin^{2}x.cos^{2}x}-\frac{sin^{2}x}{sin^{2}x.cos^{2}x})dx}=\int{\frac{cos^{2}x}{sin^{2}x.cos^{2}x}dx}-\int{\frac{sin^{2}}{sin^{2}x.cos^{2}x}dx}=$

$\int{\frac{1}{sin^{2}x}dx}-\int{\frac{1}{cos^{2}x}dx}=-cotgx-tgx+C$.

29. Решете интеграла $\int{\frac{x^{2}}{1-x^{2}}dx}$

Решение:

В числителя на подинтегралната функция ще добавим и извадим 1. Така даденият интеграл добива вида:

$\int{\frac{x^{2}}{1-x^{2}}dx}=\int{\frac{x^{2}-1+1}{1-x^{2}}dx}=\int{(\frac{x^{2}-1}{1-x^{2}}+\frac{1}{1-x^{2}})dx}=\int{\frac{x^{2}-1}{1-x^{2}}dx}+\int{\frac{1}{1-x^{2}}dx}=$

$-\int{\frac{x^{2}-1}{x^{2}-1}dx}+\int{\frac{1}{1-x^{2}}dx}=-\int{dx}+\int{\frac{1}{1-x^{2}}dx}=-x+\frac{1}{2}ln|\frac{1+x}{1-x}|+C$.

30. Решете интеграла $\int{\frac{1}{sin^{2}x.cos^{2}x}dx}$

Решение:

Използваме, че $sin^{2}x+cos^{2}x=1$ и получаваме:

$\int{\frac{1}{sin^{2}x.cos^{2}x}dx}=\int{\frac{sin^{2}x+cos^{2}x}{sin^{2}x.cos^{2}x}dx}=\int{(\frac{sin^{2}x}{sin^{2}x.cos^{2}x}+\frac{cos^{2}x}{sin^{2}x.cos^{2}x})dx}=$

$\int{\frac{sin^{2}x}{sin^{2}x.cos^{2}x}dx}+\int{\frac{cos^{2}x}{sin^{2}x.cos^{2}x}dx}=\int{\frac{1}{cos^{2}x}dx}+\int{\frac{1}{sin^{2}x}dx}=tgx-cotgx+C$.

31. Решете интеграла $\int{\frac{1}{cos2x+sin^{2}x}dx}$

Решение:

Използваме, че $cos2x=cos^{2}x-sin^{2}x$:

$\int{\frac{1}{cos2x+sin^{2}x}dx}=\int{\frac{1}{cos^{2}x-sin^{2}x+sin^{2}x}dx}=\int{\frac{1}{cos^{2}x}dx}=tgx+C$.

32. Решете интеграла $\int{\frac{1+cos^{2}x}{1+cos2x}dx}$

Решение:

Прилагаме формулата $cos2x=cos^{2}x-sin^{2}x$:

$\int{\frac{1+cos^{2}x}{1+cos2x}dx}=\int{\frac{1+cos^{2}x}{sin^{2}x+cos^{2}x+cos^{2}x-sin^{2}x}dx}=\int{\frac{1+cos^{2}x}{2cos^{2}x}dx}=$

$\int{\frac{1}{2cos^{2}x}dx}+\int{\frac{cos^{2}x}{2cos^{2}x}dx}=\frac{1}{2}tgx+\frac{1}{2}x+C$.

Задачи за самостоятелна работа:

1. Решете интегралите:

а) $\int{(9x^{2}-4x+5)dx}$; б) $\int{\frac{(x^{2}-1)^{2}}{x}dx}$; в) $\int{\frac{1+2x^{2}}{x^{2}(1+x^{2})}dx}$; г) $\int{\frac{2x^{4}-5x^{2}+3}{x^{2}-1}dx}$; д) $\int{\frac{x^{2}}{1+x^{2}}dx}$; 

е) $\int{(\frac{9}{x}+\frac{4}{x^{3}}+\sqrt[3]{x^{2}})dx}$; ж) $\int{(\frac{2}{\sqrt{4-4x^{2}}}+\frac{7}{cos^{2}x})dx}$; з) $\int{\frac{1}{x^{4}-1}dx}$; и) $\int{\frac{xe^{x}-2}{x}dx}$; 

й) $\int{\frac{5xsin^{2}x+6}{sin^{2}x}dx}$; к) $\int{(3e^{x}-4cosx+\frac{1}{3+3x^{2}})dx}$; л) $\int{(6x^{5}-5x^{4}+4x^{3}-x+5)dx}$;

м) $\int{\frac{1}{\sqrt{3x^{2}-4}}dx}$; н) $\int{\frac{1}{x^{2}+2}dx}$; о) $\int{\frac{x^{2}+7}{x^{2}+9}dx}$; п) $\int{\frac{x^{2}+11}{x^{2}-25}dx}$.