Преобразуване на ирационални изрази 11 клас

Вече познаваме свойствата както на квадратния корен, така и на корен $3$-ти. Всичко това беше обобщено с разглеждането на свойствата на корен $n$-ти. Сега ще използваме всичко, което сме научили до момента при решаването на задачи свързани с преобразуване на ирационални изрази.

Преди да разгледаме конкретни примери, нека да въведем някои понятия:

Определение 1: Алгебричен израз, който съдържа корен (радикал), се нарича ирационален израз.

Определение 2: Множителят пред знака на радикал се нарича коефициент на радикала.

Определение 3: Един радикал е в нормален вид, ако подкоренната му величина не съдържа знаменател и множители, които могат да се изнесат пред корена.

Определение 4: Радикали, които имат в нормалния си вид равни коренни показатели и еднакви подкоренни величини, се наричат подобни радикали.

Определение 5: Множеството от всички допустими стойнсти за даден израз образува дефиниционната му област.

Нека да припомним и следната формула, която се използва в някои примери:

$\sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}}\pm \sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}$.

1 Задача Извършете действията:

а) $\sqrt[3]{864}-\sqrt[3]{256}-\sqrt[4]{243}$;

б) $\sqrt[4]{2}-(\sqrt[4]{32}-\sqrt[4]{162}-\sqrt[4]{1250})$;

в) $\left[\sqrt[6]{7\sqrt{7\sqrt{7}}}\right]^2$;

г) $\sqrt{2-\sqrt{3}}\sqrt[4]{7+4\sqrt{3}}$.

Решение: а) Забелязваме, че $864=4.2^3.3^3$. Също така $256=4.2^3.2^3$ и $243=3.3^4$. Следователно даденият израз можем да запишем във вида:

$\sqrt[3]{4.2^3.3^3}-\sqrt[3]{4.2^3.2^3}-\sqrt[4]{3.3^4}=$

$=6\sqrt[3]{4}-4\sqrt[3]{4}-3\sqrt[4]{3}=$

$=2\sqrt[3]{4}-3\sqrt[4]{3}$.

б) Тъй като $\sqrt[4]{32}=2\sqrt[4]{2}$, $\sqrt[4]{162}=3\sqrt[4]{2}$ и $\sqrt[4]{1250}=5\sqrt[4]{2}$. Следователно дадения израз можем да запишем във вида:

$\sqrt[4]{2}-2\sqrt[4]{2}+3\sqrt[4]{2}+5\sqrt[4]{2}=$

$=7\sqrt[4]{2}$.

в) Забелязваме, че даденият израз можем да запишем във вида:

$\left(\sqrt[6]{\sqrt{7^2.7\sqrt{7}}}\right)^2=\left(\sqrt[6]{\sqrt{7^3\sqrt{7}}}\right)^2=$

$=\left(\sqrt[6]{\sqrt{\sqrt{7^7}}}\right)^2=\sqrt[12]{7^7}$.

г) Забелязваме, че изразът, който е под четвъртия корен $7+4\sqrt{3}$ можем да запишем във вида $2^2+2.2.\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=(2+\sqrt{3})^2$. Така получаваме:
$\sqrt{2-\sqrt{3}}\sqrt[4]{(2+\sqrt{3})^2}=$

$=\sqrt{2-\sqrt{3}}\sqrt{2+\sqrt{3}}=$

$=\sqrt{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=$

$=\sqrt{4-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{4-3}=1$.

2 Задача Пресметнете изразите:

а) $(\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9})$;

б) $\sqrt[3]{\left(\sqrt{18}+\sqrt{2}\right)^2}$;

в) $2\sqrt[4]{\frac{4}{25}}:\sqrt[4]{\frac{64}{125}}$;

г) $\sqrt[3]{\left(\sqrt{2}-3\right)^3}+\sqrt{\left(\sqrt{2}-2\right)^2}$.

Решение: а) Не е трудно да се види, че даденият израз е разлика от кубовете на две числа тъй като, както знаем $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$. Тъй като за нас в този случай $a=\sqrt[3]{2}$, а 

$b=\sqrt[3]{3}$, тогава за израза получаваме:

$(\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9})=$

$=(\sqrt[3]{2})^3-(\sqrt[3]{3})^3=2-3=-1$.

б) Прилагаме формулата за квадрат на двучлен в подкоренната величина на корен трети и получаваме:
$\sqrt[3]{(\sqrt{18})^2+2\sqrt{18}\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2}=$

$=\sqrt[3]{18+6+2}=\sqrt[3]{26}$.

в) Записваме частното под един корен и получаваме:

$2\sqrt[4]{\frac{4}{25}.\frac{125}{64}}=2\sqrt[4]{\frac{5}{16}}=$

$=2\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt[4]{16}}=2\frac{\sqrt[4]{5}}{2}=\sqrt[4]{5}$.

г) Извършваме коренуването и получаваме:
$\sqrt{2}-3+|\sqrt{2}-2|=$

$=\sqrt{2}-3+2-\sqrt{2}=-1$.

3 Задача Опростете израза: 

$2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{13+2\sqrt{12}}}}$.

Решение: Забелязваме, че $\sqrt{13+2\sqrt{12}}$ можем да представим, като квадрат на двучлен:

$(\sqrt{12})^2+2\sqrt{12}.1+1^2=(\sqrt{12}+1)^2$.

Следователно даденият израз можем да запишем във вида: 

$2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{(\sqrt{12}+1)^2}}}=$

$=2\sqrt{3+\sqrt{5-(\sqrt{12}+1)}}=$

$=2\sqrt{3+\sqrt{4-\sqrt{12}}}=$

$=2\sqrt{3+\sqrt{4-2\sqrt{3}}}=$

$=2\sqrt{3+\sqrt{(\sqrt{3})^2-2\sqrt{3}+1}}=$

$=2\sqrt{3+\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}}=$

$=2\sqrt{3+\sqrt{3}-1}=$

$=2\sqrt{2+\sqrt{3}}$.

Сега след като приложим формулата:

$\sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}}\pm \sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}$, 

окончателно получаваме:

$2\left(\sqrt{\frac{2+1}{2}}+\sqrt{\frac{2-1}{2}}\right)=$

$=2\left(\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}\right)=$

$=\sqrt{\frac{12}{2}}+\sqrt{\frac{4}{2}}=$

$=\sqrt{6}+\sqrt{2}$.

4 Задача Опростете израза:

$\frac{a}{2}\sqrt[4]{(a+1)(a^2-1)(1+2a+a^2)}.\frac{\sqrt{a-1}}{a^2+3a+2}$.

Решение: Забелязваме, че в подкоренната величина можем да приложим формулата за сбор по разлика, тогава даденият израз можем да запишем във вида:

$\frac{a}{2}\sqrt[4]t{(a+1)(a+1)(a-1)(1+2a+a^2)}.\frac{\sqrt{a-1}}{a^2+a+2a+2}=$

$\frac{a}{2}\sqrt[4]{(a+1)^4(a-1)}\frac{\sqrt{a-1}}{a(a+1)+2(a+1)}=$

$\frac{a(a+1)}{2}\sqrt[4]{(a-1)}.\frac{\sqrt{a-1}}{(a+1)(a+2)}=$

$\frac{a}{2(a+2)}\sqrt[4]{(a-1)^3}$.

Допустимите стойности на разглеждания израз са $a-1\geq 0\iff a\geq 1$ и $a\neq 2$.

5 Задача Опростете израза:
$\left(\frac{a-\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a}-1}-\frac{a+\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[3]{a}+1}\right)\left(\frac{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{a^3}}{\sqrt{a}+1}+\frac{1-\sqrt{a}}{\sqrt[4]{a}}\right)$.

Решение: Записваме даденият израз във вида:
$\left(\frac{\sqrt[3]{a^3}-\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a}-1}-\frac{\sqrt[3]{a^3}+\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[3]{a}+1}\right)\left(\frac{\sqrt[4]{a}(1+\sqrt[4]{a^2})}{\sqrt{a}+1}+\frac{1-\sqrt{a}}{\sqrt[4]{a}}\right)=$

$\left(\frac{\sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{a}-1)(\sqrt[3]{a}+1)}{\sqrt[3]{a}-1}-\frac{\sqrt[3]{a^2}(\sqrt[3]{a}+1)}{\sqrt[3]{a}+1}\right)\left(\frac{\sqrt[4]{a^2}(1+\sqrt[4]{a^2})+(1-\sqrt{a})(\sqrt{a}+1)}{\sqrt[4]{a}(\sqrt{a}+1)}\right)=$

$=\left(\sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{a}+1)-\sqrt[3]{a^2}\right)\left(\frac{\sqrt[4]{a^2}+a+1-a}{\sqrt[4]{a}(\sqrt{a}+1)}\right)=$

$=(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{a^2})(\frac{1}{\sqrt[4]{a}})=$

$=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[4]{a}}=\frac{\sqrt[12]{a^4}}{\sqrt[12]{a^3}}=\sqrt[12]{a}$.

За допустими стойности пишем $a\neq\pm 1$ и $a\neq 0$.       

6 Задача Докажете равенството:
$\frac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2}}-\frac{1}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}-\frac{3\sqrt[3]{ab}}{a+b}=0$.

Решение: Ще докажем, че лявата страна на даденото равенство е равна на дясната страна т.е. на нула. Ще разгледаме само лявата страна на израза и ще я запишем във вида:

$\frac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2}}-\frac{1}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}-\frac{3\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a^3}+\sqrt[3]{b^3}}=$

$=\frac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2}}-\frac{1}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}-\frac{3\sqrt[3]{ab}}{(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2})}$.

Сега привеждаме дробите под общ знаменател, който е $(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2})$ и получаваме:
$\frac{(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})^2-(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})-3\sqrt[3]{ab}}{(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2})}=$

$=\frac{\sqrt[3]{a^2}+2\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}-\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}-\sqrt[3]{b^2}-3\sqrt[3]{ab}}{(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2})}=$

$=\frac{0}{(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2})}=0$.

Получихме, че лявата страна на равенството е равна на дясната с което то е доказано. За допустими стойности имаме, че $a\neq -b$. 

7 Задача Докажете, че изразът:

$\frac{(\sqrt{a}-\sqrt[4]{a}+1)(\sqrt{a}+\sqrt[4]{a}+1)(a-\sqrt{a}+1)}{a^2+a+1}$

не зависи от стойностите на променливата $a$.

Решение: За да докажем, че стойността на дадения израз не зависи от стойностите на променливата трябва да покажем, че този израз е равен на константа (число). Забелязваме, че за произведението $(\sqrt{a}-\sqrt[4]{a}+1)(\sqrt{a}+\sqrt[4]{a}+1)$ можем да приложим формулата за сбор по разлика и получаваме:

$\frac{[(\sqrt{a}+1)^2-\sqrt{a}](a-\sqrt{a}+1)}{a^2+a+1}=$

$=\frac{(a+2\sqrt{a}+1-\sqrt{a})(a-\sqrt{a}+1)}{a^2+a+1}=$

$=\frac{(a+\sqrt{a}+1)(a-\sqrt{a}+1)}{a^2+a+1}=$

$=\frac{(a+1)^2-(\sqrt{a})^2}{a^2+a+1}=$

$=\frac{a^2+2a+1-a}{a^2+a+1}=1$.

8 Задача При $x>y>0$ изразът $\frac{4\sqrt{x}-\sqrt{y}}{2\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}}$ е тъждествено равен на:
А) $2\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}$; Б) $2\sqrt{x}+\sqrt{y}$; В) $\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}$; Г) $2\sqrt{x}+\sqrt{4}$.

Решение: Дадената задача е задача от държавен зрелостен изпит по математика (ДЗИ) от 29.08.2018 г. За да я решим е достатъчно да забележим, че числителят на дадената дроб можем да запишем във вида:
$\frac{(2\sqrt[4]{x})^2-(\sqrt[4]{y})^2}{2\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}}=$

$=\frac{(2\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y})(2\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y})}{2\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}}=$

$=2\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}$, т.е. верният отговор е А).

9 Задача Стойността на числовия израз:
$\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}-\sqrt[3]{(1-\sqrt{5})^3}$ е:
А) $3-2\sqrt{5}$; Б) $-1$;  В) $1$;  Г) $2\sqrt{5}-3$.

Решение: Дадената задача е задача от държавен зрелостен изпит по математика (ДЗИ) от 25.05.2019 г.  Извършваме коренуването и получаваме:

$|2-\sqrt{5}|-(1-\sqrt{5})=$

$\sqrt{5}-2-1+\sqrt{5}=2\sqrt{5}-3$, т.е. верният отговор е Г).

10 Задача Изразът $\frac{\sqrt[3]{4\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}$ е равен на:
А) $\sqrt[6]{2}$; Б) $\frac{2}{\sqrt[6]{2}}$; В) $\sqrt[3]{4}$; Г) $\sqrt[3]{2}$.

Решение: Дадената задача е задача от държавен зрелостен изпит по математика (ДЗИ) от 25.05.2019 г. За да решим задачата, даденият израз го записваме във вида:
$\frac{\sqrt[3]{\sqrt{32}}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt[6]{32}}{\sqrt[6]{8}}=\sqrt[6]{4}=\sqrt[3]{2}$, т.е. верният отговор е Г).

Задачи за самостоятелна работа:

1. Пресметнете:

а) $\sqrt[6]{8+\sqrt{39}}.\sqrt[6]{8-\sqrt{39}}$;

б) $\sqrt{\sqrt{13}-2}\sqrt{\sqrt{13}+2}+\sqrt[4]{(\sqrt{3}-2)^4}-\sqrt[3]{2+\sqrt{625}}$;

в) $(\sqrt[4]{25}+\sqrt[4]{4})^2$;

г) $(1-\sqrt[3]{2})(1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})$.

 2. Да се опрости изразът:

$\sqrt{a^2-1}+(a-1)\sqrt{\frac{a+1}{a-1}}-2(a+1)\sqrt{\frac{a-1}{a+1}}$.

3. Определете допустимите стойности на израза и го опростете:
$\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}}-\left(\frac{x+\sqrt[4]{xy^3}}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}}-\sqrt[4]{xy}\right):(\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y})$.

4. Определете допустимите стойности на израза и го опростете:
$1+\frac{1+\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}+x}:\frac{1}{x\sqrt{x}-1}$.

5. Определете допустимите стойности на изразите:
а) $\sqrt[6]{2x-\sqrt{5}}$;

б) $\sqrt[5]{\frac{3-x}{-x^2+9}}$;

в) $\sqrt[10]{\frac{3x^2-7x-6}{x^2-4x-21}}$;

г) $\sqrt[4]{t^4-8t^2+15}$.