Корен $n$-ти. Свойства 11 клас

Тъй като коренният показател $n$ може да бъде както четно число, така и нечетно ние ще разгледаме свойствата на корен $n$-ти в зависимост от четността на коренният показател $n$ (вече сме разглеждали свойствата на квадратния корен и корен трети т.е. когато $n=2$ и $n=3$, тук обобщаваме тези свойства).

Определение 1: Корен $n$-ти от неотрицателното число $a\geq 0$, където $n=2s$ $(s=1,2,\ldots)$ е естествено четно число, се нарича единственото неотрицателно число, $n$-тата степен на което е равна на $a$.

Определение 2: Корен $n$-ти от произволно реално число $a$, където $n=2s+1$ $(s=1,2,\ldots)$ е нечетно естествено число, се нарича единственото число, $n$-тата степен на което е равна на $a$.

Нека $n=2s$ (т.е. $n$ е четно число), където $s\in\mathbb{N}$, $n\geq 2$, $a\geq 0$ и $b\geq 0$, тогава:

1) $\sqrt[n]{a^n}=|a|$, за  всяко $a$;

2) $\sqrt[n]{a^k}=(\sqrt[n]{a})^k$, където $k\in\mathbb{N}$;

3) $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}$;

4) $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ при $b>0$;

5) $\sqrt[n]{a^nb}=|a|\sqrt[n]{b}$, за всяко $a$;

6) $a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^nb}$;

7) Ако $a<b$, то и $\sqrt[n]{a}<\sqrt[n]{b}$;

8) $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n.m]{a}$, за $m\in\mathbb{N}$;

9) $\sqrt[n.k]{a^{m.k}}=\sqrt[n]{a^m}$, при $k\in\mathbb{N}$.

Сега да разгледаме свойствата на корен $n$-ти в случаите, когато $n=2s+1$ (т.е. $n$ е нечетно число), където $s\in\mathbb{N}$, $n\geq 3$, тогава:

1) $\sqrt[n]{a^n}=a$, за  всяко $a$;

2) $\sqrt[n]{a^k}=(\sqrt[n]{a})^k$, където $k\in\mathbb{N}$;

3) $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}$;

4) $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ при $b>0$;

5) $\sqrt[n]{a^nb}=a\sqrt[n]{b}$, за всяко $a$;

6) $a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^nb}$;

7) Ако $a<b$, то и $\sqrt[n]{a}<\sqrt[n]{b}$;

8) $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n.m]{a}$, за $m\in\mathbb{N}$;

9) $\sqrt[n.k]{a^{m.k}}=\sqrt[n]{a^m}$, при $k\in\mathbb{N}$.

Вече можем да разгледаме някои задачи, в които да приложим разгледаните по-горе свойства.

1 Задача Пресметнете $\sqrt[4]{81}$, $\sqrt[7]{\frac{1}{128}}$, $\sqrt[5]{-32}$ и $\sqrt[6]{729}$.

Решение: За $\sqrt[4]{81}$ забелязваме, че можем да го запишем във вида:
$\sqrt[4]{3^4}=3$.

За  $\sqrt[7]{\frac{1}{128}}$ забелязваме, че можем да го запишем във вида:
$\sqrt[7]{\left(\frac{1}{2}\right)^7}=\frac{1}{2}$.

За $\sqrt[5]{-32}$ забелязваме, че можем да го запишем във вида:
$\sqrt[5]{(-2)^5}=-2$.

За $\sqrt[6]{729}$ забелязваме, че можем да го запишем във вида:

$\sqrt[6]{3^6}=3$.

2 Задача Определете дефиниционната област на израза $\sqrt[8]{2x+1}$.

Решение: Тъй като коренният показател $8$ е четно число, тогава подкоренната величина не може да бъде отрицателно число,  (няма реално число, което като го повдигнем на четна степен да ни дава отрицателно число) следователно е необходимо:

$2x+1\geq 0$, т.е. $x\geq -\frac{1}{2}$ или записано с числов интервал $x\in \left[-\frac{1}{2},+\infty\right)$.

3 Задача Определете дефиниционната област на израза $\sqrt[11]{x-3}$.

Решение: Тъй като коренният показател $11$ е нечетно число, тогава нямаме никакви ограничения за подкоренната величина, (в този случай можем да коренуваме както положителни така и отрицателни числа, разбира се и нулата) следователно дефиниционната област на този израз е всяко $x$ или записано с числов интервал $x\in(-\infty,+\infty)$.

4 Задача Определете дефиниционната област на израза $\sqrt[9]{\frac{1}{3x-7}}$.

Решение: Тъй като коренният показател $9$ е нечетно число, тогава можем да коренуваме както положителни, така и отрицателни числа, а също така и $0$. Забелязваме, обаче че подкоренната ни величина е дроб, а както добре знаем от дробната черта е деление, а на нула не се дели. Следователно за да има смисъл даденият израз трябва знаменателят $3x-7$ да бъде различен от нула, т.е. $3x-7\neq 0$ и $x\neq\frac{7}{3}$ или записано с числов интервал $x\in \left(-\infty, \frac{7}{3}\right)\bigcup\left(\frac{7}{3},+\infty\right)$.

5 Задача Приведете към общ коренен показател $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{6}$ и $\sqrt[4]{5}$.

Решение: Най-малкото общо кратно на числата $2$, $3$ и $4$ т.е. $HOK(2,3,4)=12$. Следователно общият коренен показател трябва да бъде $12$. Така като приложим свойство 9) имаме:

$\sqrt[2.6]{2^6}=\sqrt[12]{64}$

$\sqrt[3.4]{6^4}=\sqrt[12]{1296}$

$\sqrt[4.3]{5^3}=\sqrt[12]{125}$.

6 Задача Изнесете множител извън корените $\sqrt[3]{32}$, $\sqrt[9]{3^{11}}$, $\sqrt[5]{243a^6b^5}$ и $\sqrt[6]{5x^6(1-\sqrt{2})^6}$.

Решение: За изнасянето на множители извън корените използваме свойства 5) от написаните по-горе в зависимост дали имаме четен или нечетен коренен показател.

Забелязваме, че $\sqrt[3]{32}$ можем да запишем във вида:

$\sqrt[3]{2^5}=\sqrt[3]{2^3.2^2}=\sqrt[3]{2^2}.\sqrt[3]{2^2}=2\sqrt[3]{4}$.

Забелязваме, че $\sqrt[9]{3^{11}}$ можем да запишем във вида:

$\sqrt[9]{3^9.3^2}=\sqrt[9]{3^9}.\sqrt[9]{3^2}=3\sqrt[9]{9}$.

Изразът $\sqrt[5]{243a^6b^5}$ можем да запишем във вида:

$\sqrt[5]{3^5.a^5.a.b^5}=\sqrt[5]{3^5}.\sqrt[5]{a^5}.\sqrt[5]{a}.\sqrt[5]{b^5}=3ab\sqrt[5]{a}$.

Изразът $\sqrt[6]{5x^6(1-\sqrt{2})^6}$ можем да запишем във вида:

$\sqrt[6]{5}.\sqrt[6]{x^6}.\sqrt[6]{(1-\sqrt{2})^6}=5|x||1-\sqrt{2}|=5(\sqrt{2}-1)|x|$.

7 Задача Внесете множител под корените $2\sqrt[4]{3}$, $2\sqrt[5]{x^2yz^3}$, $a^2b\sqrt[3]{b}$, $2\sqrt[4]{\frac{3}{32}}$.

Решение: За решаването на внасянето на множители под корените ще използваме свойства 6) от написаните по-горе.

Забелязваме, че $2\sqrt[4]{3}$ можем да запишем във вида:

$\sqrt[4]{2^4.3}=\sqrt[4]{48}$.

Изразът $2\sqrt[5]{x^2yz^3}$ можем да запишем във вида:

$\sqrt[5]{2^5x^2yz^3}=\sqrt[5]{32x^2yz^3}$.

Записваме изразът $a^2b\sqrt[3]{b}$ можем да запишем във вида:

$\sqrt[3]{(a^2)^3b^3b}=\sqrt[3]{a^6b^4}$.

Записваме изразът $2\sqrt[4]{\frac{3}{32}}$ във вида:

$\sqrt[4]{2^4.\frac{3}{32}}=\sqrt[4]{16.\frac{3}{32}}=\sqrt[4]{\frac{3}{2}}$.

8 Задача Сравнете числата $\sqrt[3]{3}$ и $\sqrt[2]{2}$.

Решение: За да сравним дадените числа е необходимо да използваме свойство 7), като за целта преди това ще приведем двата корена под еднакъв коренен показател. Най-малкото общо кратно на $3$ и $2$ е $6$, следователно $\sqrt[3]{3}=\sqrt[3.2]{3^2}=\sqrt[6]{9}$, аналогично $\sqrt[2.3]{2^3}=\sqrt[6]{8}$, от където вече можем да съобразим лесно, че $\sqrt[6]{9}>\sqrt[6]{8}$, т.е. $\sqrt[3]{3}>\sqrt[2]{2}$.

9 Задача Сравнете числата $\sqrt[4]{3}$ и $\sqrt[8]{3\sqrt{7}}$.

Решение: За да сравним дадените числа е необходимо да използваме свойство 7), като за целта преди това ще приведем двата корена под еднакъв коренен показател. Вторият корен ще запишем във вида $\sqrt[8]{\sqrt{63}}$, сега след като приложим свойство 8) получаваме $\sqrt[16]{63}$. Най-малкото общо кратно на $4$ и $16$ e $16$, следователно $\sqrt[4.4]{3^4}=\sqrt[16]{81}$. От казаното до тук можем да заключим, че $\sqrt[16]{81}>\sqrt[16]{63}$, т.е. $\sqrt[4]{3}>\sqrt[8]{3\sqrt{7}}$

10 Задача Рационализирайте знаменателя на дробта $\frac{1}{\sqrt[4]{2}-1}$.

Решение: Умножаваме числителя и знаменателя на дадената дроб с $\sqrt[4]{2}-1$ и получаваме:

$\frac{\sqrt[4]{2}-1}{(\sqrt[4]{2}-1)(\sqrt[4]{2}+1)}=$

$=\frac{\sqrt[4]{2}-1}{(\sqrt[4]{2})-1}=$

$=\frac{\sqrt[4]{2}-1}{\sqrt{2}-1}$.

Сега умножаваме числителя и знаменателя на последната дроб с $\sqrt{2}+1$ и имаме:

$\frac{(\sqrt[4]{2}-1)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=$

$=\frac{(\sqrt[4]{2}-1)(\sqrt{2}+1)}{2-1}=$

$=(\sqrt[4]{2}-1)(\sqrt{2}+1)$.

11 Задача Съкратете дробта $\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{x-\sqrt{xy}+y}$, при $x>0$, $y>0$.

Решение: Записваме дадената дроб във вида:

$\frac{(\sqrt{x})^3+(\sqrt{y})^3}{x-\sqrt{xy}+\sqrt{y}}=$

$=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-\sqrt{xy}+y)}{x-\sqrt{xy}+y}=$

$=\sqrt{x}+\sqrt{y}$.

Задачи за самостоятелна работа:

1. Пресметнете : 

$\sqrt[4]{1296}$; $\sqrt[6]{(-19)^6}$; $\sqrt[4]{2401}$ и $\sqrt[5]{-3125}$.

2. Пресметнете:

$\sqrt[4]{24}.\sqrt[4]{54}$; $\frac{\sqrt[4]{3125}}{\sqrt[4]{5}}$; $\sqrt[3]{\sqrt{64}}$, $\sqrt[6]{(-27)^2}$.

3. Изнесете множител извън корена:

$\sqrt[3]{-125a^5b^9c^4}$; $\sqrt[4]{81a^7}$; $\sqrt[4]{\frac{625a^5b^{12}}{c^6}}$.

4. Внесете множител под корена:
$x^3b\sqrt[5]{3xy}$, $3a\sqrt[4]{c}$, $a\sqrt[6]{2b}$.

5. Подредете по големина числата, като започнете от най-голямото:

а) $\sqrt{2}$; $\sqrt[3]{4}$ и $\sqrt[4]{4}$;

б) $\sqrt[3]{\sqrt{2}}$; $\sqrt[5]{8}$ и $\sqrt{15}$.

6. Рационализирайте знаменателите на дробите:

$\frac{2\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{4}}$; $\frac{10}{\sqrt[3]{5}+1}$; $\frac{1}{\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{21}+\sqrt[3]{9}}$; $\frac{2}{\sqrt{3}-\sqrt[3]{3}}$.

7. Намерете допустимите стойности на изразите:

$\sqrt[18]{x^2-2x-3}$; $\sqrt[11]{\frac{2x-3}{x^2-5}}$; $\sqrt[3]{4x-5}$.