Средна отсечка в триъгълник 8 клас

Опредeление 1: Отсечка, която съединява средите на две от страните на триъгълник, ще наричаме средна отсечка в триъгълника.

В даденият по-горе чертеж, отсечката $MN$ е средна отсечка, защото тя съединява две от средите на страните на $\triangle ABC$, а именно точките $M$ и $N$, които са среди съответно на $AC$ и $BC$. 

В сила са следните две важни теореми, които ще използваме при решаването на задачи:

Теорема 1: Ако права минава през средата на една от страните на триъгълник и е успоредна на друга негова страна, то тя разполовява третата му страна.

Казано с други думи, ако знаме, че една права минава през средата на една от страните на триъгълника и знаем също така, че е успоредна на друга негова страна, то със сигурност тази права ще мине през средата на третата страна т.е. тази права носи средната отсечка в триъгълника.

Теорема 2: Всяка средна отсечка в триъгълник е успоредна на една от страните му и е равна на половината от нея.

От тази теорема, можем да запишем някои важни факти:

1) $MN\parallel AB$ и $MN=\frac{1}{2}AB$;

2) $NP\parallel AC$ и $NP=\frac{1}{2}AC$;

3) $MP\parallel BC$ и $MP=\frac{1}{2}BC$.

Горните свойства на средните отсечки могат да бъдат записани и чрез вектори:

1) $\vec{MN}=\frac{1}{2}\vec{AB$}$;

2) $\vec{NP}=\frac{1}{2}\vec{AC}$;

3) $\vec{MP}=\frac{1}{2}\vec{BC}$.

1 Задача Средните отсечки на триъгълник го разделят на четири триъгълника. Сборът от периметрите на тези триъгълници е $25$ cm. Да се намери периметърът на дадения триъгълник.

Решение:

Нека построим средните отсечки $MN$, $NP$ и $MP$, както е показано на чертежа. И да напишем периметрите на всеки един от четирите триъгълника:

$P_{\triangle APM}=AM+AP+MP$

$P_{\triangle PBN}=BN+BP+NP$

$P_{\triangle MCN}=CN+CM+MP$

$P_{\triangle MNP}=MP+PN+MN$.

Нека сега да разгледаме сборът от периметрите на тези четири триъгълника, който в условието на задачата ни е казано, че е равен на $25$ т.е. 

$25=AM+AP+MP+BN+BP+NP+CN+CM+MN+$ $+MP+PN+MN$. 

Тъй като $AB=AP+PB$, $BC=BN+NC$ и $AC=AM+MC$, като заместим в горното равенство получаваме, че

$25=AC+AB+BC+2MP+2NP+2MN$. От тук следва, че  $25=P_{\triangle ABC}+2P_{\triangle MPN}$, но като вземем в предвид, че $MP=\frac{1}{2}BC$, $MN=\frac{1}{2}AB$ и $PN=\frac{1}{2}AC$ имаме, че $25=P_{\triangle ABC}+2.\frac{1}{2}(BC+AB+AC)$, следователно $25=2P_{\triangle ABC}$, от където $P_{\triangle ABC}=12,5$ cm.

2. Задача Докажете, че медианата към хипотенузата в правоъгълен триъгълник е равна на отсечката, свързваща средите на катетите му.

Решение:

Разглеждаме правоъгълният триъгълник $ABC$ ($\sphericalangle C=90^{\circ}$). 

Нека $CM$ е медианата към хипотенузата му $AB$.

От седми клас знаем, че медианата към хипотенузата в правоъгълен триъгълник е равна на половината от нея, следователно $CM=\frac{1}{2}AB$.

Нека сега да построим отсечката $PQ$ такава, че $P$ е среда на $AC$, а $Q$ е среда на $BC$. От Определение 1 в този урок следва, че $PQ$ е средна отсечка и, тогава според Теорема 2 отново от този урок имаме, че $PQ=\frac{1}{2}AB$. От тук вече следва и, че $CM=PQ=\frac{1}{2}AB$.

3 Задача В четириъгълника $ABCD$ точките $M$, $N$, $P$ и $Q$ са среди съответно на страните $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$. Докажете, че четириъгълника $MNPQ$ е успоредник.

Решение:

Построяваме диагоналите на четириъгълника - $AC$ и $BD$. Тъй като $Q$ и $P$ са среди на $AD$ и $CD$ (по условие) следва от Определение 1, че $QP$ е средна отсечка в $\triangle ACD$ и $QP\parallel AC$. 

Тъй като $M$ и $N$ са среди на $AB$ и $BC$ следва, че $MN$ е средна отсечка в $\triangle ABC$ (отново от Определение 1) и от тук имаме, че $MN\parallel AC$. Тогава от това, че $QP\parallel AC$ и $MN\parallel AC\implies QP\parallel MN$.

Съвсем аналогично се доказва, че $MQ$ и $NP$ са средни отсечки в триъгълниците $ABD$ и $CDB$ от където следва, че $QM\parallel DB$ и $PN\parallel DB$ и следователно $QM\parallel PN$. Така получихме, че четириъгълникът $MNPQ$ има успоредни срещуположни страни и следователно той е успоредник.

4. Задача Бедрото на равнобедрен триъгълник е $12$ cm. През средата на височината му е построена права успоредна на бедрото. Да се намери частта от тази права, която е в триъгълника.

Решение:

Нека правата $p\cap CH=L$ и $p\cap AB=S$. Тъй като $p\parallel AC$ (по условие) и $SL\in p\implies SL\parallel AC$. Освен това тъй като $L$ е среда на $CH$ следва, че $S$ е среда на $AH$ (от Теорема 1). Тогава имаме, че $LS$ е средна отсечка в триъгълника $AHC$ и според Теорема 2 получаваме, че $LS=\frac{1}{2}AC$, от където $LS=6$ cm.

Нека $p\cap BC=K$ и $\sphericalangle CAH=\sphericalangle ABC=\alpha$. Тогава $\sphericalangle KSB=\alpha$ (съответен на $\sphericalangle CAB$) и следователно $\triangle SKB$ е равнобедрен и $SK=BK$.

Нека $LK=x\implies SK=BK=6+x$ и $CK=12-(6+x)=6-x$. 

От правоъгълният триъгълник $SHL$ имаме, че $\sphericalangle SLH=90^{\circ}-\alpha$ и $\sphericalangle SLH=\sphericalangle CLK=90^{\circ}-\alpha$ (връхни). От правоъгълният триъгълник $HCB$ имаме, че $\sphericalangle HCB=90^{\circ}-\alpha$ и следователно $\triangle CLK$ е равнобедрен и $CK=KL$ т.е. $6-x=x$ от където получаваме, че $x=3$ и $SK=9$ cm.

Задачи за самостоятелна работа:

1. Страните на триъгълник се отнасят както $2:3:4$, а периметърът на триъгълника с върхове средите на страните му е $22,5$ cm. Да се намерят страните на даденият триъгълник.

2. Да се намерят страните на равнобедрен триъгълник с периметър $16$ cm, ако отсечката, която съединява средите на бедрата му, е $3$ cm.

3. Точките $M$, $N$ и $P$ са среди съответно на страните $AB$, $BC$ и $AC$ на $\triangle ABC$. Докажете, че лицето на $\triangle MNP$ е една четвърт от лицето на $\triangle ABC$.

4. Точките $M$, $N$ и $Q$ са среди съответно на страните $AB$, $BC$ и $AC$ на $\triangle ABC$.

а) Ако $S_{\triangle ABC}=124$ cm^2, намерете лицето на четириъгълника $ABNQ$.

б) Ако $S_{\triangle MNQ}+S_{\triangle ABC}=240 cm^2$, намерете лицето на четириъгълника $BCQM$.

5. В равнобедрен триъгълник $\triangle ABC$ са построени височината $CH$ ($H\in AB$) към основата $AB$ и медианата $AM$ ($M\in BC$). Ако $MD\perp AB$ ($D\in AB$), то докажете, че $\frac{CH}{AH}=3\frac{MD}{AD}$.

6. Даден е триъгълник $ABC$ с медиана $CM$. През $A$ и средата на $CM$ е построена права, която пресича $BC$ в точката $P$. Да се намерят отсечките $BP$ и $CP$, ако $BC=8,7$ $cm$.

Още обяснени и решени задачи свързани с този урок можете да намерите във видеото ми дадено по-долу: