Числови множества

Концепцията за число започва да се формира още от древността, бидейки предмет на обсъждане на философи и мислители. Първо, разбира се, изучавани и описвани били естествените числа. Това са числата, с които броим: $1$, $2$, $3$ и т.н.. Те получили названието естествени, защото в известен философски смисъл имали естествен произход, независещ от човека. Ние никога няма да разберем как първоначално сме се сблъскали с тях - дали някои гениален ум от древността ги открил или измислил, но остава общоприето, че естествените числа просо са се появили пред нас и днес тяхното множество отбелязваме с $\mathbb{N}$.

Естествените числа са положителни числа. Когато извършваме действието деление на две естествени числа, получаваме положително рационално число. Рационалните числа се записват като десетични дроби или като обикновени дроби, съставни от числител и знаменател. Ако числителят е по-малък от знаменателя, се нарича правилна дроб, а когато числителят е по-голям от знаменателя, се нарича неправилна дроб. Рационалните числа също са били познати на човечеството от дълбока древност, когато били използвани от различни култури за измерване на дължини и тегло. Днес обозначаваме множеството на положителни рационално числа с $\mathbb{Q^{+}}$.

В зората на математиката обаче, когато все още имало твърде много въпросителни, решаването на линейни и квадратни уравнения не винаги давало положителен резултат и уравненията, при които решението било отрицателен резултат наричали абсурдно решение. За първи път отрицателните числа били използвани систематично за намиране на решенията на системи линейни уравнения в Древен Китай. Днес набора от всички цели числа, включително положителни, отрицателни числа и нула, обозначаваме с $\mathbb{Z}$, а множеството на рационалните числа обозначаваме с $\mathbb{Q}$.

Числа, които не могат да бъдат изразени като съотношение на две цели числа, се наричат ирационални. Така например, ако числото $2,5$ може да бъде представено като $5$ делено на $2$, то това е рационално число, докато $\pi$, поето е приблизително $3,14$ не може да бъде представено като деление на две числа, следователно е ирационално. Най-ранната известна употреба на ирационални числа е в индийските Сулбасутри. За извършването на определени ритуали се изисквало да се построи огнен олтар с площ два пъти по-голяма от площта на даден квадратен олтар, което води до намиране на стойността на $\sqrt{2}$ (в литература наречено число на Питагор). Индийските брамини също се нуждаели от стойността на $\pi$ (отношението на обиколката към диаметъра на окръжността). Така те били първите, които имплицитно приели концепцията за ирационалните числа.  

Днес множеството на ирационалните числа обозначаваме с $\mathbb{I}$. А множеството на всички рационални и ирационални числа обозначаваме с $\mathbb{R}$ и наричаме реални числа.