Математиката в Древна Индия

Математическите постулати са вечни и изконни. Законите на математиката са преплетени във всичко и единствено периода и пътищата, чрез които стигаме до тях са различни. В досегашните статии разширихме времевите граници на развитие на математиката, а сега ще разтегнем и пространствените, стигайки чак до Индия, за да надникнем от различна гледна точка.

Науката, разбира се, в една култура, се развива ръка за ръка с всеки друг аспект на цивилизацията, която тя гради. Съответно и напълно очаквано можем да систематизираме развитието на математиката в Древна Индия на четири периода. Началото поставя една цивилизация, възникнала в долината на река Инд. Сведенията, които имаме за нея са много малко, предвид слабо познатите ни писменост и език. Археологическите артефакти обаче, оставят достатъчно внушителни и показателни  доказателства за развитието и постиженията й. Останките на двата най-развити древни града - Мохенджо Даро и Харапа, открити на територията на днешен Пакистан, са датирани около III-II век пр.н.е. и заедно с всички останали малки селца към тях, заемали територия по-голяма от тази на Древен Египет и Месопотамия. Най-старите й корени откриваме през III век пр.н.е., когато числата "заживяват" под формата на съотношения - древните индийци използвали точни пропорции (4:2:1) за тухлите, които произвеждали и използвали за градежите си. Открити малки каменни блокчета с гравирани на тях мерки от периода, свидетелстват за съществуването на изградена система за измерване на тежести, която прилагали търговците. Те използвали двоична система за смятане и съответно основните им мерки за единици тегло били $2$, $4$, $6$, $8$, $16$, $32$, $64$ и $120$. Други открития, свидетелстващи постиженията в Близкия Изток, са малки линийки, с издълбани на тях чертички на разстояние от $1,7$ мм по днешните ни стандарти. Изключителна прецизност демонстрират и в системата за измерването на ъгли, която използвали за определяне местоположението на звездите на нощното небе и ги използвали за навигация. Този период на възникване на математиката в Индия приключва олколо $1000$ г.пр.н.е. и съставя първото стъпало към върховете, които предстои да бъдат покорени.

За второ стъпало ще разгледаме Ведическия период (около $1500-500$ г. пр. н. е.), който започва с изчезването на цивилизацията на река Инд около $1900$ пр.н.е. и формирането на следващата също голяма цивилизация в югоизточна Азия.  Изпълнен с постижения и оказал голямо влияние в религиозно, философско и социално отношение в световен мащаб. Изненадващо, в този период откриваме сведения за математическите им познания дори в религиозни текстове. В мантри датирани от този период намираме примери за степенуване от десет до един трилион и някои от основните аритметични действия. Математически знания били преписвани дори на Буда, за който в стари текстове било казвани, че той смятал до $10^{53}.$ Отново в санскритски текстове срещаме числа, които многократно надхвърлят броят на атомите във Вселената. Също така съдържали и невероятно малки числа, които обозначавали и най-малката частица материя. Индийските математици били наясно, както с невероятно малки, така и с невероятно големи числа дори за нашите представи. Този факт можем да отдадем на будистката философия, в чиито основи залягат идеите за безкрайност. Те дори разграничавали различните видове безкрайни множества (изброими и неизброими). На религията можем да препишем и заслуги свързани с геометрията, чието развитие се налага вероятно от нуждата за построяване на олтарите, които били важна част от религията. В група ведически текстове наричани Сулба Сутра от VIII в. пр. н.е. пък са открити методи за решаване на прости линейни уравнения. Древните математици били наясно с факта, че пермутацията от $n$ елемента е $n!$ и $n!=1.2.3.....(n-2)(n-1)n.$ Питагоровата теорема също им била известна, много преди самият Питагор да я формулира (виж тук и тук). Математикът Баудхаяна съставя текстове, които съдържат примери за питагорови тройки числа. Важно е да отбележим, че през около $V$ в. пр.н.е. индийските математици започнали да използват ранни форми на Булевата алгебра. 

След Ведическият период последвал Класическият период, известен още и като Златният век на индийската математика. Важно постижение свързано с геометричните знания на математиците от този период е изчисляването на $\pi$ с точност до четвъртия знак след десетичната запетая. Поразителна е и идеята им за изчисляване на лице на кръг и обем на сфера, като те се разделят на части и се сумират поотделно лицата и обемите на тези части. Това е идея, която предшества с векове идеята за определения интеграл. В този период е поставено началото и на тригонометрията. Всички тези знания математиците прилагали в астрономията за да открият движението и позицията на планетите. Точното предсказване на затъмненията за тях имало голяма религиозна значимост и давали голям престиж на учените, които успеели да ги предвидят. От този период е датиран и Ръкописът на Бакшали, който представлява $70$ листа от брезова кора за съжаление не всички запазени. Основните теми разгледани в него включват аритметика, алгебра, прогресии и бройна система, в която присъствала и нулата изобразена като точка (повече за историята на числото нула може да намерите тук). Първоначално този ръкопис бил датиран между VIII-XII в., но по-скорошни проучвания предполагат неговото съществуване чак от III-IV в. Една от най-значимите фигури в древноиндийската математика е Брахмагупта. Неговото име се свързва предимно с възникването на числото нула. Той пръв го дефинира, като резултат от изваждането на дадено число от самото него $(2-2=0)$. Той изучава свойствата на числото нула - събиране, изваждане, умножение и деление с нула. Колкото и очевидно да изглежда за нас, едно от най-значимите открития направени от него са това, че ако от нула извадим положителното число $n$ ще получим $-n$ и ако от нула извадим отрицателното число $-n$ ще получим положителното $n$ ($0-n=-n$ и $0-(-n)=n$). Също така открива, че число умножено по нула е равно на нула ($0.n=0$), но допуска известна неточност, когато изказва твърдението, че число делено на нула остава същото число. Той успешно решавал линейни и квадратни уравнения. Успява да изчисли с висока точност стойностите на някои ирационални числа, като например $\sqrt{2}.$

Последният период от великата ера на древноиндийските математици бил Средновековието, в който много от изложените по-рано идеи били доразвити и завършени в цялостен вид. Предполага се, че много от тези идеи оказват влияние в развитието на европейската наука. Малко по-подробно за развитието на математиката в този период ще може да прочетете в някоя от следващите ни статии.