Формули за съкратено умножение - $(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)=a^3\pm b^3$ 7 клас
Продължаваме със следващата и последна от формулите за съкратено умножение, които се изучават в 7 клас, а именно формулата $(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)=a^3\pm b^3$. Ще разгледаме някои задачи, с които ще покажем някои нейни приложения.
1 Задача Извършете умножението $(3-x)(9+3x+x^2).$
Решение: Забелязваме, че даденият израз $(3-x)(9+3x+x^2)$, можем да запишем във вида $(3-x)(3^2+3x+x^2).$ Ще приложим формулата $(a-b)(a^2+ab+b^2)$, като в нея заменим $a$ с $3$ и $b$ с $x$, така получаваме $(3-x)(3^2+3x+x^2)=3^3-x^3.$
2 Задача Извършете умножението $(3t+2)(9t^2-6t+4).$
Решение: Даденият израз, можем да запишем във вида $(3t+2)[(3t)^2-3t.2+2^2]$. Сега лесно се вижда, че можем да приложим формулата $(a+b)(a^2-ab+b^2)$, където $a=3t$, а $b=2$, така получаваме:
$(3t+2)[(3t)^2-3t.2+2^2]=$
$=(3t)^3+2^3=27t^3+8.$
3 Задача Опростете израза
$(x-2)(x^2+2x+4)-x(x-2)(x+2)-4(x-2).$
Решение: Прилагаме формулите:
$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$ и $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, следователно:
$(x-2)(x^2+2x+4)-x(x-2)(x+2)-4(x-2)=$
$=x^3-2^3-x(x^2-4)-4x+8=$
$=x^3-8-x^3+4x-4x+8=0.$
4 Задача Опростете израза и намерете числената му стойност
$(2y-3)(4y^2+6y+9)+(y+3)(y^2-3y+9),$ при $y=2$.
Решение: Прилагаме формулите $(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)=a^3\pm b^3$, от където следва, че $(2y-3)(4y^2+6y+9)+(y+3)(y^2-3y+9)=$
$=(2y)^3-3^3+y^3+3^3=8y^3-27+y^3+27=$
$=9y^3.$
Сега пресмятаме числената стойност на израза при $y=2$, следователно стойността на израза е $9.2^3=72.$
5 Задача Намерете неизвестното число $x$ в равенството $(x+4)(x^2-4x+16)-x(x-2)(x+2)=8.$
Решение: Прилагаме формулите $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$ и $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, от където получаваме $x^3+8-x(x^2-4)=8$, разкриваме скобите $x^3+8-x^3+4x=8$, получаваме, че $4x=0$, следователно търсеното число $x$ е $0.$
6 Задача Намерете числената стойност на израза $(x+2)(x^2-2x+4)-(2x+1)(2x-1)-9$, ако $x=-2$
Решение: Прилагаме формулите $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$ и $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ с която вече сте запознати от тук, от където получаваме
$x^3+2^3-[(2x)^2-1]-9=$
$=x^3+8-4x^2+1-9=x^3-4x^2$.
Сега пресмятаме стойността на израза за $x=-2$ и получаваме
$(-2)^3-4(-2)^2=-8-16=-24.$
7 Задача Докажете, че стойността на израза $(2x-1)(4x^2+2x+1)-8x(x+2)(x-2)-32x+4$ не зависи от стойността на $x$.
Решение: Прилагаме формулите $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$ и $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, от където получаваме
$8x^3-1-8x(x^2-4)-32x+4=$
$=8x^3-1-8x^3+32x-32x+4=3$.
Ясно се вижда, че каквото и да е $x$ този израз винаги ще бъде равен на $3$.
8 Задача Докажете тъждеството $(x-1)(x^2+x+1)-(x-1)^3=3x(x-1).$
Решение: Трябва да докажем, че лявата страна на това равенство е равна на дясната страна. За целта ще разкрием скобите в лявата страна на равенството $ЛС=x^3-1-(x^3-3x^2+3x-1)=x^3-1-x^3+3x^2-3x+1=3x^2-3x.$ Разкриваме скобите и в дясната страна на равенството и получаваме $3x(x-1)=3x^2-3x$. Така получихме, че лявата страна е равна на дясната страна и това равенство е тъждество.
Задачи за самостоятелна работа
1. Извършете умножението:
а) $(x-y)(x^2+xy+y^2);$
б) $(y^2-7)(y^4+7y^2+49);$
в) $(\frac{1}{2}a+b)(\frac{1}{4}a^2-\frac{1}{2}ab+b^2);$
г) $(\frac{1}{3}-2a)(\frac{1}{9}+\frac{2}{3}a+4a^2).$
2. Докажете тъждеството:
а) $(y-1)^3-(y+2)(y^2-2y+4)=3(-y^2+y-3);$
б) $(x^3+y^3)=(x+y)^3-3xy(x+y).$
3. Опростете израза:
а) $(3x-4)(9x^2+12x+16)-(3x-2)^3-2x(x+4);$
б) $(x-3)^2-(x-3)(x^2+3x+9).$
4. Намерете числената стойност на израза:
а)$3(x-1)^2+(x+2)(x^2-2x+4)-(x+1)^3$ при $x=\frac{1}{27};$
б) $-(b-1)(b^2+b+1)+b(b+3)(b-3)$ при $b=(-\frac{1}{9})^2.$
5. Даден е изразът $A=(x-m)^3-(x-m)(x^2+xm+m^2)-3mx(m+3)$, където $m$ е параметър.
а) Приведете израза в нормален вид.
б) За коя стойност на $m$ коефициентът на члена от втора степен е 18?
6. Даден е изразът $8+3(2y^2-y)-(y-3)(y^2+3y+9)+(y-2)^3:$
а) Намерете нормалния вид на даденият израз;
б) Намерете числената стойност на израза за $y=-3.$
7. Даден е изразът $a-(a-b^2)(a^2+b^4+ab^2)+(a-b^3)(a+b^3):$
а) Намерете нормалния вид на даденият израз;
б) Намерете числената стойност на израза за $a=-2.$
8. Дадено е, че $\frac{a+b}{a^3+b^3}=\frac{1}{6}$ и $a^2+b^2=10$, намерете на колко е равно $ab.$
9. Ако имаме, че
$\frac{4(x^3-y^3)}{x^2+xy+y^2}+\frac{1}{2}(\frac{x^2-y^2}{x+y})=35$, то на колко ще бъде равно $x-y$?
10. Пресметнете по рационален начин израза $\frac{68^2-68.32+32^2}{68^3+32^3}.$
11. Докажете, че стойността на израза
$(-2y-1)^2-y(7y+1)-(y-1)^3+(y^2+y+1)(y-1)$ не зависи от стойностите на променливата $y$.
12. Покажете, че независимо, каква е стойността на променливата $z$ изразът
$(z^2-2z+4)(z^2+2z+4)(z+2)(z-2)-(-64+z^6)$
е тъждествено равен на 0.
Ако искате да разгледате още допълнително решени задачи по темата може да го направите във видеата ми по-долу:
За да проверите знанията си върху темата "Едночлен, действия с едночлени" може да направите теста, който ще намерите в линка по-долу:
Използвана литература:
1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020
2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020
3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София
4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018
5. Текуща подготовка по математика за наицоналното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020
6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015
7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017
8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008
9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011
10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014
11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009
12. Сп. Математика
13. Сп. Математика +
13. Сп. Математика +
Коментари
Публикуване на коментар