Формули за съкратено умножение - $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ 7 клас

Продължаваме със следващата от формулите за съкратено умножение $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Да разгледаме някои задачи, с които ще илюстрираме нейните приложения.

1 Задача Извършете умножението $(x+y)(x-y)$.

Решение: Разменяме местата на първата и втората скоба (дали ще имаме $2.3$ или $3.2$, резултатът би бил все един и същ) $(x+y)(x-y)=(x-y)(x+y)$. Сега прилагаме формулата $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, където $a=x$, а $b=y$, следователно $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$. 

2 Задача Извършете умножението $(3x-4y)(3x+4y)$.

Решение: Прилагаме формулата $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, където $a=3x$, а $b=4y$, следователно $(3x-4y)(3x+4y)=(3x)^2-(4y)^2=9x^2-16y^2$.

3 Задача Извършете умножението $(x^2-z)(x^2+z)$.

Решение: Прилагаме формулата $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, където $a=x^2$, а $b=z$, следователно $(x^2-z)(x^2+z)=(x^2)^2-(z)^2=x^4-z^2$. Нека да припомним свойството за степенуване на степен, т.е. $(a^n)^m=a^{n.m}$.

4 Задача Пресметнете по рационален начин $17.23$.

Решение: Представяме произведението $17.23$ по следният начин $17.23=(20-3)(20+3)$ и прилагаме формулата $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, така  $17.23=(20-3)(20+3)=20^2-3^2=400-9=391$.

5 Задача Опростете израза $(3x-1)(3x+1)-(x-2)(x+2)$. 

Решение: Прилагаме формулата $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ за произведението $(3x-1)(3x+1)$ и $(x-2)(x+2)$. Така получаваме, че $(3x-1)(3x+1)-(x-2)(x+2)=(3x)^2-1^2-(x^2-4)=9x^2-1-x^2+4=8x^2+3.$

6 Задача Опростете израза $(x+2)^2-(x+1)(x-1).$

Решение: Прилагаме формулите $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, следователно

$(x+2)^2-(x+1)(x-1)=x^2+2.x.2+2^2-(x^2-1^2)=x^2+4x+4-x^2+1=4x+5.$

7 Задача Докажете тъждеството $(a+b)(a-b)+(b+c)(b-c)+(c+a)(c-a)=0$.

Решение: Ще опростим лявата страна на равенството и ще покажем че тя е равна на 0.

$ЛС=(a+b)(a-b)+(b+c)(b-c)+(c+a)(c-a)=a^2-b^2+b^2-c^2+c^2-a^2=0$. Доказахме, че $ЛС=ДС$, следователно равенството е тъждество.

8 Задача Извършете умножението $(x+y+z)(x+y-z)$.

Решение: Ще запишем даденото произведение по следният начин $[(x+y)+z][(x+y)-z]$, сега ще приложим формулата $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, където $a=x+y$, а $b=z$, следователно получаваме, че $[(x+y)+z][(x+y)-z]=(x+y)^2-z^2=x^2+2xy+y^2-z^2$.

9 Задача Опростете израза $(a+b)(b-a)+a(a-4c)$ и намерете числената му стойност при $a=2$, $b=-5$ и $c=3$.

Решение: Опростяваме израза буквено, след това ще заместим буквите с числената им стойност.

 $(a+b)(b-a)+a(a-4c)=b^2-a^2+a^2-4ac=b^2-4ac$. Сега заместваме в полученият израз с $a=2$, $b=-5$ и $c=3$. Така получаваме, че числената стойност на израза е $(-5)^2-4.2.3=25-24=1$.

10 Задача Намерете числената стойност на израза $(2x-3)^2-(x-2)(x+2)-(x-1)(3x-2)$, ако $x=\frac{1}{3}$.

Решение: Прилагаме формулите за съкратено умножение $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ и $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, а произведението $(x-1)(3x-2)$, умножаваме по правилото "всяко по всяко", така получаваме, че $(2x-3)^2-(x-2)(x+2)-(x-1)(3x-2)=4x^2-12x+9-(x^2-4)-(3x^2-2x-3x+2)$. Сега разкриваме скобите и извършваме привиденията $4x^2-12x+9-(x^2-4)-(3x^2-2x-3x+2)=4x^2-12x+9-x^2+4-3x^2+2x+3x-2=-7x+11$. Сега заместваме във вече опростеният израз $x$ с $\frac{1}{3}$, от където за числената стойност на израза получаваме $-7.\frac{1}{3}+11=-\frac{7}{3}+11=\frac{-7+33}{3}=\frac{26}{3}$.

Задачи за самостоятелна работа

1. Извършете степенуването: 

а) $(1-4x)(1+4x);$  б) $(-5+a)(-5-a);$ в) $(3x^2-4y^2)(3x^2+4y^2);$ г) $(\frac{1}{3}x-y)(\frac{1}{3}x+y);$ д) $(a-b-c)(a-b+c).$ 

2. Пресметнете произведението, като приложите формулата за сбор по разлика на две числа:
а) $98.102;$ б) $47.53;$ в) $11,5.10,5.$

3. Сравнете стойностите на изразите $40^2$ и $38.42$.

4. Опростете изразите:

а) $(x-8)(x+8)-(x-8)^2;$ б) $(a-5)(5+a)-(1-a)^2;$ в) $(x+y)(x-y)+(x+y)^2-2xy.$

5. Намерете нормалният вид на израза:
а) $(y-2)(y+2)(y^2+4);$ б) $(\frac{a}{7}-\frac{6x}{5})(\frac{a}{7}+\frac{6x}{5}).$ 

6. Пресметнете стойността на израза, като предварително го опростите: 

а) $(2x+\frac{1}{3})(2x-\frac{1}{3})-x(4x-3)$, при $x=1;$

б) $5x^2-(3+2x)(2x-3)$, при $x=0,3;$

в) $10y^2-(2+3y)(3y-2)$, при $y=0,2$.

7. Докажете тъждеството $(x+y)(x-y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)=x^8-y^8.$

8. Докажете тъждеството $(9a-4)(a+1)+(3a-2)(-2-3a)=5a.$

9. Намерете числената стойност на израза $A=(x-3)(x-2)(x+3)-(x+2)(x^2-9)-36$, ако $x=3-|-2|.$

10. Ученик избира по случаен начин един от изразите $a^2-b^2$, $(a+b)^2$, $(c-d)^2$, $b^2-a^2$, $a^2+b^2$, $(a-b)(a+b)$, $3a-3b$. Какъв е шансът да избере израз, който е разлика от квадратите на две числа?

11. Намерете стойностите на израза $Q=q(q-1)+(2+q)(2-q)$ за всички $q$, за които $q\in\{1;2;3;4;5\}$.

12. Да се намери нормалният многочлен, тъждествен на израза:

а) $(a-b)^2-2(a-b)(a+b)+(a+b)^2$; 

б) $(x^2+2)^2-(x-2)(x+2)(x^2+4)$; 

в) $5(a-2)(a+2)-\frac{1}{2}(8a-6)^2+38$;

г) $(a-1)(a^2+1)(a-1)-(a^2-1)^2$;

д) $2(m-n)^2-2(m+n)^2-4(m+n)(m-n)+8mn$;

е) $(2a-1)(2a+1)-[\frac{1}{2}(4a-3)]^2+(2a-13)(a-\frac{1}{4})$.

13. Вярно ли е, че при всяко $x$ от израза $C=(5-x)^2-(x-3)(x+3)+5(2x-5)$ се получава $C>0$?

Ако искате да разгледате още допълнително решени задачи по темата може да го направите във видеата ми по-долу:

За да проверите знанията си върху темата "Едночлен, действия с едночлени" може да направите теста, който ще намерите в линка по-долу:

https://docs.google.com/forms/d/1z1cNj0UQN2onOU3cWPDA7mmWBTjGSni0dgjGIQxymMg/

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020 

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за наицоналното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015 

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +