Математическата одисея на Тулио Леви-Чивита - от криви към коварианти

Когато питат Айнщайн какво най-много му харесва в Италия, той отговаря: "Спагети и Леви-Чивита".

Тулио Леви-Чивита (1873-1941 г.) е италиански математик и физик, който има значителен принос в различни области на математиката и теоретичната физика в края на XIX и началото на XX век. Името му се свързва с няколко важни концепции и уравнения в областта на диференциалната геометрия и тензорното смятане, които се изучават и прилагат активно и днес.

Леви Чивита произхожда от семейство на учени и отрано проявява склонност към математиката. Продължава образованието си в университета в Падуа, където е повлиян от водещи математици на своето време, сред които Грегорио Ричи-Курбастро (1853-1925) и Джузепе Веронезе (1854-1917), които го запознават с теорията на тензорите. Докторската му дисертация, ръководена от Грегорио Ричи, е посветена на абсолютните инварианти и бележи началото на навлизането му в областта на тензорното смятане.

Някои от основните приноси на Леви-Чивита са:

1) Тензорно смятане

Леви-Чивита е може би най-известен с фундаменталната си работа върху тензорното смятане, което играе решаваща роля в съвременната математика и теоретичната физика. Тази работа е в основата на общата теория на относителността на Алберт Айнщайн, като позволява формулирането на уравнения в тензорен запис.

През 1886 г. той е автор на известна статия, в която развива теорията на тензорите, като се основава на предишните изследвания на Кристофел и включва концепцията за ковариантно диференциране.

Елвин Бруно Кристофел (1829-1900 г.) е немски математик, живял през XIX в., който има значителен принос в областта на диференциалната геометрия. Неговата работа полага основите за развитието на по-напреднали геометрични концепции и играе решаваща роля при формулирането на математическата рамка, използвана в общата теория на относителността

2) Символ и връзка на Леви-Чивита

Той въвежда символа на Леви-Чивита, известен също като символ на пермутацията или тензор на епсилон. Този символ се използва широко в математиката и физиката за дефиниране и манипулиране на антисиметрични величини.

Във връзка с работата си върху тензорното смятане той въвежда и понятието за връзка на Леви-Сивита, което е от решаващо значение за разбирането на геометрията на многообразия.

Връзката на Леви-Чивита, известна също като връзка на Кристофел (по отношение на система от локални координати), е фундаментално понятие в областта на диференциалната геометрия. Тя е начин за дефиниране на съвместим оператор на производна (връзка) върху гладко многообразие, позволяващ диференциране на векторни полета и тензори по последователен начин, дори когато многообразието е изкривено.

Концепцията за връзката на Леви-Чивита е особено важна при изучаването на риманови и псевдориманови многообразия, които са от основно значение за общата теория на относителността и други области на физиката.

Ето по-подробно обяснение:

В диференциалната геометрия многообразие е пространство, което локално е подобно на Евклидовото пространство, но може да има по-сложна глобална структура. Примерите за многообразия включват повърхности, триизмерни пространства и по-абстрактни пространства. При работа с криволинейно многообразие концепцията за диференциране става по-сложна, отколкото в плоско евклидово пространство.

Връзката на Леви-Чивита се справя с това предизвикателство, като предоставя начин за диференциране на векторни полета и тензори върху изкривено многообразие по начин, съответстващ на основната геометрия. По същество тя разширява идеята за насочената производна към изкривени пространства.

Връзката се дефинира, като се използва метричният тензор на многообразието, който кодира информация за разстоянията и ъглите върху многообразието. Метричният тензор позволява да се дефинират понятия като дължина, вътрешно произведение и ъгъл между вектори.

Една връзка $∇$ се нарича връзка на Леви-Сивита, когато отговаря на следните условия.

Съвместимост с метриката: Връзката на Леви-Чивита е дефинирана по такъв начин, че да запазва метричния тензор. Това означава, че когато диференцирате метричния тензор по векторно поле, резултатът е нула. $∇g = 0$, където $∇g$ представлява ковариантна производна на метричния тензор $g$. С други думи, когато диференцирате метричния тензор, използвайки връзката, резултатът е тензорно поле от всички нули. Това означава, че връзката не променя метричния тензор, докато се движите из многообразието.

Условие за липса на усукване: Връзката на Леви-Чивита $∇$ върху риманово многообразие $(M, g)$, където $g$ е римановата метрика, е без торзии тогава и само тогава, когато за всички векторни полета $X$ и $Y$ върху $M ∇_X Y - ∇_Y X = [X, Y]$, където $∇_X Y$ представлява ковариантна производна на $Y$ по $X, ∇_Y X$ представлява ковариантна производна на $X$ по $Y$, а $[X, Y]$ е скобата на Ли на векторните полета $X$ и $Y$.

В едно от писмата на Айнщайн до Леви-Чивита той казва: "Трябва да е хубаво да се препуска през тези полета на коня на истинската математика.

3) Абсолютно диференциално смятане

Приносът на Леви-Чивита спомага за развитието на областта на абсолютното диференциално смятане, която е дял от математиката, занимаващ се с изучаването на диференциални форми, тензори и техните свойства. Неговата работа полага основите на един по-строг и независим от координатите подход към диференциалното смятане.

4) Динамика на флуидите

Леви-Сивита има принос и в областта на динамиката на флуидите. Той изучава движението на флуидите и работи по теми като теорията на вихрите, които намират приложение в изучаването на турбулентността и поведението на флуидите.

Интересът му към областта на хидродинамиката е очевиден още в ранните етапи на кариерата му, когато през 1901 г. публикува статия, озаглавена "Бележка за съпротивлението на флуидите". По-късно той насочва вниманието си към изучаването на вълните в канал, а демонстрацията му на наличието на иротационни вълни представлява значителен напредък в решаването на един упорит и нерешен въпрос.

Настази и Тадзиоли пишат следните сърдечни думи за него в биографията "Към научната и личната биография на Тулио Леви-Чивита (1873-1941)".

"В продължение на 40 години той беше един от най-изтъкнатите професори в Италия и привличаше студенти, идващи от всички страни, които насърчаваше с търпение и благородство. Добротата и скромността бяха прояви на душата му. Много хора се възползваха от неговата доброта и запазиха неизличим спомен за необикновената му личност."