Квадратни уравнения 8 клас

Определение 1: Уравнение от вида $ax^2+bx+c=0$ ($a\neq 0$) ще наричаме квадратно уравнение, в което $a$, $b$ и $c$ са числа (наричат се още коефициенти на квадратното уравнение), а $x$ е неизвестно.

В този урок ще предполагаме, че $b\neq 0$ и $c\neq 0$ в случаите, когато някой от коефициенти е равен на $0$ вече разгледахме в урока ни "Непълни квадратни уравнения 8 клас" . 

Квадратните уравнения съвсем не са непознати за един осмокласник. Още в седми клас вие сте се сблъсквали с решаването на квадратни уравнения, но не като прилагате метода даден по-долу (чрез формулата), а като се приложи подходящо разлагане на квадратния тричлен или пък се допълни до точен квадрат. 

Да разгледаме следното уравнение $x^2-5x+6=0$. Забелязваме, че можем да го запишем във вида $x^2-2x-3x+6=0$. Сега, нека да групираме първите две и вторите две събираеми и да изнесем общ множител пред скоби (за първите две събираеми е $x$, а за вторите две е $-3$), така получаваме уравнението $x(x-2)-3(x-2)=0\iff (x-2)(x-3)=0$. Полученото уравнение е от вида $(ax+b)(cx+d)=0$ (повече за уравненията от този вид може да намерите тук). Сега вече не е трудно да видим, че $(x-2)(x-3)=0\iff x-2=0\cup x-3=0$, от където $x_1=2\cup x_2=3$. Ето как решихме това квадратно уравнение като разложихме квадратният тричлен на множители.

Нека сега разгледаме квадратното уравнение $x^2-8x+7=0$. Не е трудно да видим, че даденото уравнение можем да запишем във вида $x^2-2.x.4+7$. Сега седмицата трябва да я представим по подходящ начин, така че да получим формулата $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$. Една "подсказка" в този случай, е че за да имаме формулата за квадрат на двучлен при условие, че $a=x$, а $b=4$, трябва да имаме числото $16=4^2$. Така по този начин уравнението можем да запишем във вида $x^2-2.x.4+16-9=0$ (тук $16-9=7$ т.е. по никакъв начин не сме променили квадратния тричлен, а просто сме го представили в подходящ за целта ни вид) и следователно имаме $(x-4)^2-3^2=0$. Сега прилагаме и формулата за сбор по разлика и получаваме $(x-4-3)(x-4+3)=0\iff (x-7)(x-1)=0$ от където $x_1=7$ и $x_2=1$.  

Разбира се прилагането на тези методи понякога не е толкова лесно или очевидно. За това решаването на квадратни уравнения чрез описаният по-долу метод в повечето случай е далеч по-удобно и лесно. 

При решаването на квадратни уравнения ще следваме следните стъпки:

1) Определяме коефициентите $a$, $b$ и $c$ на колко са равни.

2) Пресмятаме дискриминантата на квадратното уравнение по формулата $D=b^2-4ac$. В зависимост от нейната стойност имаме 3 случая:

• $D>0$, тогава съществуват $x_1$ и $x_2$, като $x_1\neq x_2$;
• $D=0$, тогава съществуват $x_1$ и $x_2$, като $x_1=x_2$, казваме още, че имаме двоен корен;
• $D<0$, тогава уравнението нямаме реални корени.

Ако се намираме в първите два случая за дискриминантата т.е. тя е по-голяма или равна на нула, преминаваме към следващата стъпка, а именно:

3) Пресмятане на корените на квадратното уравнение по формулата $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$.

Любопитен момент е да разберем как се стига до тези формули (формулата за дискриминантата и за решенията на квадратното уравнение $x_{1,2}$).

Нека имаме уравнението $ax^2+bx+c=0$. Записваме го във вида $x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$. Сега ще допълним лявата част на уравнението до точен квадрат. За целта записваме $x^2+2.x.\frac{b}{2.a}+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}$. Така получаваме, че последното уравнение е еквивалентно на уравнението $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$. Сега като коренуваме лявата и дясната страна на последното уравнение получаваме, че $x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\iff x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. По този начин се извежда формулата за корените на квадратно уравнение.

Нека да кажем като забележка, че ако дискриминантата на едно квадратно уравнение е отрицателно число, би било грешно да пишем, че уравнението няма решение. Изразът н.р.к. (няма реални корени) е правилният в този случай, защото уравнението дори и при отрицателна дискриминанта притежава корени. Намирането на тези корени, обаче изисква познания в областта на комплексните числа, които един осмокласник все още не притежава и за това и при отрицателна дискриминанта се ограничаваме само до това да кажем, че даденото уравнение няма реални корени. 

Понякога с цел по-бързото пресмятане на корените на уравнението е добре да взимаме в предвид, че ако в уравнението $ax^2+bx+c=0$ коефициентът $b$ е четно число, т.е. $b=2k$, то уравнението може да се запише във вида $ax^2+2kx+c=0$ и формулата за корените му става $x_{1,2}=\frac{-k\pm\sqrt{k^2-ac}}{a}$. Тази формула още се нарича и съкратена формула за решаване на квадратно уравнение.

Сега да разгледаме някои примери.

1 Задача Решете квадратното уравнение $5x^2+8x-4=0$.

Решение: Първата стъпка е да определим коефициентите на квадратното уравнения, в този случай имаме, че $a=5$, $b=8$ и $c=-4$. Сега минаваме към стъпка две, която е пресмятане на израза $D=b^2-4ac$ (дискриминантата). В нашия случай имаме, че $D=8^2-4.5.(-4)=64+80=144$. Тъй като $D>0$ минаваме към стъпка три, която е пресмятане на корените на квадратното уравнение по формулата $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$ или в нашият случай $x_{1,2}=\frac{-8\pm\sqrt{144}}{2.5}=\frac{-8\pm 12}{10}$ от където получаваме, че $x_1=\frac{2}{5}$ и $x_2=-2$.

2 Задача Решете квадратното уравнение $10x^2-25x-5=0$.

Решение: Забелязваме, че коефициентите на даденото квадратно уравнение се делят на $5$, следователно можем да разделим цялата лява страна и цялата дясна страна на даденото уравнения на $5$ и така да получим като коефициенти по-малки числа, което би облекчило сметките ни по нататък (дясната страна на уравнението е $0$, а $0$ делено на каквото и да е число, пак си е $0$). Така получаваме $5(2x^2-5x-1)=0/:5\iff 2x^2-5x-1=0$. Така получихме за коефициенти $a=2$, $b=-5$ и $c=-1$. Пресмятаме $D$ и получаваме, че $D=(-5)^2-4.2.(-1)=25+8=33$. Сега намираме $x_{1,2}$ като заместим във формулата $x_{1,2}=\frac{-(-5)\pm\sqrt{33}}{2.2}=\frac{5\pm\sqrt{33}}{4}$. Тук е добре да обърнем внимание, че дискриминантата не е точен квадрат. В това няма нищо изненадващо и в някои задачи е напълно възможно да получим такова число, което съвсем не значи, че нещо не сме направили както трябва. Също така обръщаме внимание и на това, че ако не видим, че коефициентите на даденото уравнение се делят на едно и също число не значи, че няма да получим верен отговор за решенията на квадратното уравнение, а само на това, че ще трябва да смятаме с по-големи числа, което би ни създало просто неудобство и бихме загубили време в сметки.

3 Задача Решете квадратното уравнение $17x^2-51x+34=0$

Решение: Делим двете страни на даденото уравнение на $17$ и получаваме уравнението $x^2-3x+2=0$, за което $a=1$, $b=-3$ и $c=2$. Пресмятаме $D=(-3)^2-4.1.2=9-8=1$. Сега намираме корените на уравнението $x_{1,2}=\frac{3\pm 1}{2}$, от където $x_1=2$ и $x_2=1$.

4 Задача Решете уравнението $\frac{x^2+5}{3}-\frac{x(2x+3)}{6}+\frac{2x^2+7}{2}=5$.

Решение: За решаването на даденото уравнение първо привеждаме под общ знаменател всички дроби, които участват в него (общият знаменател е 6). Така получаваме уравнението $2(x^2+5)-x(2x+3)+3(2x^2+7)=30$. Сега ще разкрием скобите, ще извършим привидения и ще доведем даденото уравнение до вида $ax^2+bx+c=0$. Следователно $2(x^2+5)-x(2x+3)+3(2x^2+7)=30$ $\iff$ $2x^2+10-2x^2-3x+6x^2+21-30=0$ $\iff$ $6x^2-3x+1=0$. Така $a=6$, $b=-3$ и $c=1$. За $D$ получаваме, че $D=(-3)^2-4.1.6=9-24=-15<0$ и следователно даденото уравнение няма реални корени.

5 Задача Решете квадратното уравнение $x^2-(6+\sqrt{3})x+6\sqrt{3}=0$.

Решение: Определяме $a=1$, $b=-(6+\sqrt{3})$, $c=6\sqrt{3}$. Пресмятаме $D=[-(6+\sqrt{3})]^2-4.1.6\sqrt{3}=(6+\sqrt{3})^2-24\sqrt{3}=36+12\sqrt{3}+3-24\sqrt{3}=$ $=36-12\sqrt{3}+3=6^2-2.6.\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=(6-\sqrt{3})^2$. Пресмятаме корените на уравнението $x_{1,2}=\frac{-[-(6+\sqrt{3})]\pm\sqrt{(6-\sqrt{3})^2}}{2}=\frac{6+\sqrt{3}\pm (6-\sqrt{3})}{2}$ и следователно $x_1=\frac{6+\sqrt{3}+6-\sqrt{3}}{2}=6$ и $x_2=\frac{6+\sqrt{3}-(6-\sqrt{3})}{2}=\frac{6+\sqrt{3}-6+\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$.

Задачи за самостоятелна работа:

1. Решете уравнението:

а) $x^2-15x+26=0$; б) $x^2+5x+6=0$; в) $x^2+2x+1=0$; г) $x^2+3x-70=0$; 

д) $x^2-9x-90=0$; е) $9x^2+6x+1=0$; ж) $4x^2-8x+5=0$; з) $x^2-3x+11=0$.

2. Решете уравнението:

а) $x^2+(5-\sqrt{10})x-5\sqrt{10}=0$;

б) $(2x+1)(x+1)-6x=3$;

в) $x^2+2x=7(x-2)$;

г) $(4+2x)^2-(1+x)^2=10-2x$;

д) $\frac{x(x-1)}{5}-\frac{x}{3}=\frac{x^2-12}{6}$;

е) $\frac{x(x-7)}{2}+\frac{(x-5)^2}{3}-\frac{2x+4}{4}=2$;

ж) $\frac{(x-1)^2}{4}+\frac{(x-1)(x+2)}{3}=\frac{5x^2+7}{12}$;

з) $\frac{(x-3)^2}{6}-\frac{x}{9}+\frac{x(x-9)}{18}=\frac{(x-2)^2}{2}-\frac{5}{9}$;

и) $3x+\frac{(x-3)^2}{4}=\frac{(x+3)^2}{8}+\frac{(x+1)(x-1)}{3}$.

3. Като използвате съкратената формула за корените на квадратното уравнение, намерете корените на уравнението:

а) $x^2+4x-5=0$; б) $x^2-2x-15=0$; в) $x^2+12x-64=0$; г) $4x^2+4x+1=0$.

Още решени и обяснени задачи може да намерите във видеото ми по-долу: