Непълни квадратни уравнения 8 клас

Определение 1: Уравнение от вида $ax^2+bx+c=0$, където $a\neq 0$ се нарича квадратно уравнение. Числата $a$, $b$ и $c$ са коефициенти на квадратното уравнение, а $x$ е неизвестното.

Ако един от коефициентите $c$ или $b$ в квадратното уравнение е равен на нула тогава получаваме съответно уравненията $ax^2+bx=0$ и $ax^2+c=0$. Нека да разгледаме поотделно всяко едно от тях и съответно как ще ги решаваме.

 Уравнението $\bf{ax^2+bx=0}$

Това уравнение не е непознато за осмокласникът. Такъв тип уравнения са разглеждани още в седми клас в урока свързан с уравненията от вида $(ax+b)(cx+d)=0$ (повече за уравненията от този вид може да намерите в урока ни тук). Как ще решаваме уравнения от вида $ax^2+bx=0$? Първо забелязваме, че можем да изнесем общ множител $x$ пред скоби и така получаваме, че $ax^2+bx=0\iff x(ax+b)=0$. Това уравнение е частен случай на уравнението $(ax+b)(cx+d)=0$. Ще използваме факта, че едно произведение $A.B=0$, тогава и само тогава, когато някой от множителите му е нула или и двата множителя са нули, следователно $x(ax+b)=0\iff$ $x=0$ или $ax+b=0$, така намираме двете решения $x_1=0\cup x_2=-\frac{b}{a}$. Прави впечатление, че единият корен винаги ще бъде нула, каквото и уравнение от този тип да решаваме.

Сега нека да се спрем на някои примери.

1 Задача Да се реши уравнението $5x^2+7x=0$.

Решение: Както скицирахме малко по-горе в даденото уравнение изнасяме общият множител $x$ пред скоби и така получаваме, че $5x^2+7x=0\iff x(5x+7)=0$. От тук имаме, че това непълно квадратно уравнение ще бъде равно на нула, тогава и само тогава, когато $x=0$ или $5x+7=0$ от където намираме и, че $x_1=0\cup x_2=-\frac{7}{5}$.

2 Задача Да се реши уравнението $16x^2=24x$.

Решение: Очевидно това уравнение не е във вида $ax^2+bx=0$, но като вземем в предвид, че можем да прехвърлим $24x$ в лявата страна на равенството ние можем да доведем даденото уравнение до разглеждания от нас тип уравнения. Така имаме, че $16x^2=24x\iff 16x^2-24x=0$. Сега изнасяме пред скоби общият множител $8x$ и получаваме, че $16x^2-24x=0\iff 8x(2x-3)=0$. От тук имаме или, че $8x=0$, или $2x-3=0$ следователно $x_1=0\cup x_2=\frac{3}{2}$.

3 Задача Да се реши уравнението $9(x-3)(x+3)+(3x-1)^2-4(x+2)^2=-96$.

Решение: Ясно е, че даденото уравнение не е във вида $ax^2+bx=0$ и ние трябва да го доведем до този вид. За целта разкриваме скобите, като приложим формулите за съкратено умножение и извършваме действията след това, така имаме, че:

$9(x-3)(x+3)+(3x-1)^2-4(x+2)^2=-96$

$9(x^2-9)+9x^2-6x+1-4(x^2+4x+4)+96=0$

$9x^2-81+9x^2-6x+1-4x^2-16x-16+96=0$

$14x^2-22x=0\iff 2x(7x-11)=0$, следователно $2x=0\cup 7x-11=0$ и $x_1=0\cup x_2=\frac{11}{7}$.

4 Задача Да се реши уравнението $(\sqrt{7}-\sqrt{3})x^2+5x=0$.

Решение: Даденото уравнение е във вида $ax^2+bx=0$, следователно изнасяме $x$ пред скоби и така имаме:

$x[(\sqrt{7}-\sqrt{3})x+5]=0$

$x=0\cup (\sqrt{7}-\sqrt{3})x+5=0$

$x_1=0\cup x_2=\frac{-5}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$.

Можем да рационализираме знаменателят на вторият корен на уравнението и така да получим, че $x_2=\frac{-5}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}.\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}=\frac{-5(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{4}$.

Уравнението $\bf{ax^2+c=0}$

Уравнението $ax^2+c=0$ е еквивалентно на уравнението $x^2=-\frac{c}{a}$. Сега решенията на това уравнение зависят от знака на $-\frac{c}{a}$. Ако $-\frac{c}{a}>0$ (това ще е така, когато $c<0$ или $a<0$), тогава решенията на уравнението са $x_{1,2}\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$, а при $-\frac{c}{a}<0$ разглежданото уравнение няма реални корени. 
Разглежданото уравнение можем и да решим, като приложим вече добре познатата ни формула за сбор по разлика, т.е. $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Нека да видим как. Първо, ако $c<0$ уравнението ни може да запишем във вида $ax^2-c=0\iff (\sqrt{a}x)^2-\sqrt{c}=0$ и следователно $(\sqrt{a}x-\sqrt{c})(\sqrt{a}x+\sqrt{c})=0\iff (\sqrt{a}x-\sqrt{c})=0\cup (\sqrt{a}x+\sqrt{c})=0$ и така получаваме, че $x_1=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c}}\cup x_2=-\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c}}$. Ако пък $c>0$, а $a<0$, тогава уравнението можем да запишем във вида $c-ax^2=0\iff (\sqrt{c})^2-(\sqrt{a}x)^2=0$ и решаваме по вече посоченият начин чрез формулата за сбор по разлика.

Нека сега разгледаме няколко примера.

5 Задача Да се реши уравнението $x^2-8=0$.

Решение: Даденото уравнение можем да запишем във вида $x^2-(\sqrt{8})^2=0\iff x^2-(2\sqrt{2})^2=0$. Сега прилагаме формулата за сбор по разлика и получаваме $(x-2\sqrt{2})(x+2\sqrt{2})=0\iff x-2\sqrt{2}=0\cup x+2\sqrt{2}=0$, от където $x_1=2\sqrt{2}\cup x_2=-2\sqrt{2}$. Тази задача можем да решим и по другият начин, а именно като коренуваме лявата и дясната страна на уравнението $x^2=8$ (предварително вече сме прехвърлили $8$ отдясно на знака равно). Така ще получим, че $x_{1,2}=\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}$. В този случай често срещана грешка е да се даде като отговор само единият от корените и най-често това е $x_1=\sqrt{8}$, забравяйки, че освен, че $(\sqrt{8})^2=8$ то и $(-\sqrt{8})^2=8$.

6 Задача Да се реши уравнението $16x^2-25=0$.

Решение: Даденото уравнение записваме във вида $(4x)^2-5^2=0\iff (4x-5)(4x+5)=0$ и следователно $4x-5=0\cup 4x+5=0\iff x_1=\frac{5}{4}\cup x_2=-\frac{5}{4}$. Също така записвайки уравнението във вида $x^2=\frac{25}{16}$ и коренувайки лявата и дясната му страна получаваме, че $x_{1,2}=\pm\frac{5}{4}$.

7 Задача Да се реши уравнението $(3x-1)(4x-9)+x=-6(5x-3,5)$.

Решение: Очевидно даденото уравнение не е във вида $ax^2+c=0$ и следователно ние трябва да го доведем до този вид. Ще разкрием скобите и ще извършим действията, така получаваме, че:

$(3x-1)(4x-9)+x=-6(5x-3,5)$

$12x^2-27x-4x+9+x=-30x+21$

$12x^2-30x+30x-12=0$

$12x^2-12=0$. Сега можем да изнесем общ множител $12$ пред скоби и така получаваме, че $12x^2-12=0\iff 12(x^2-1)=0$, от където след като приложим формулата за сбор по разлика имаме, че $12(x-1)(x+1)=0\iff x-1=0\cup x+1=0$ и окончателно $x_1=1\cup x_2=-1$.

Нека споменем само, че в случая, когато $b=0$ и $c=0$ получаваме уравнението $ax^2=0$, което има един двоен корен $x_{1,2}=0$.

Задачи за самостоятелна работа:

1. Решете непълните квадратни уравнения:

а) $2x(x+12)-3x(x+8)-x(x-8)=0$; 

б) $16x^2-(x-4)^2+5=(x-3)(x+3)-2$; 

в) $(x-2)^3-(x-1)(x^2+x+1)+5(x+4)=13$;

г) $6(x^2+3x)-5x(x-7)=11x(4+5x)$;

д) $(3-2x)^2-(x-1)(x+1)=10$;

е) $(x-7)(2x+1)-x(x-16)=-7$.

2. Решете непълните квадратни уравнения:

а) $7(x^2-8x)+4(x-5)+12(4x-1)-8=-4x$;

б) $\frac{5(x^2+1)}{2}-\frac{4(x-1)^2}{3}-4x=\frac{x(-8-x)}{6}$;

в) $(3+2\sqrt{2})^2x^2-(3-2\sqrt{2})=0$;

г) $\frac{t^2}{2}=\frac{5}{6}$;

д) $\frac{4-x^2}{10}+\frac{3x(x-2)}{5}=1,2(2-x)$;

е) $(x-5)(x+3)+(x-8)(x+10)=105$.

3. За кои стойности на реалния параметър $b$ единият от корените на уравнението $2x^2+bx=0$ е $-5$?

4. За кои стойности на реалния параметър $b$ уравнението $x^2-4b+5=0$ има реални корени?

5. За кои стойности на реалния параметър $b$ уравнението $x^2-b=0$:

а) има два различни реални корена;

б) няма реални корени;

в) има един реален корен?

Още решени и обяснени задачи може да намерите във видеата ми по-долу: