Уравнения от вида $(ax+b)(cx+d)=0$ 7 клас

Основно правило:

Произведението е равно на нула, когато поне един от множителите е нула:

$$(ax+b)(cx+d)=0 \iff ax+b=0 \text{ или } cx+d=0$$

Задача 1: Решете уравнението $(2x-5)(3x+1)=0$

Решение: Прилагаме основното правило:

$2x-5=0$ или $3x+1=0$

$x_1=\frac{5}{2}$ или $x_2=-\frac{1}{3}$

Задача 2: Решете уравнението $x(4x-9)=0$

Решение:

$x=0$ или $4x-9=0$

$x_1=0$ или $x_2=\frac{9}{4}$

Задача 3: Решете уравнението $(x-2)(x+3)(2x-1)=0$

Решение: Това е уравнение с три множителя:

$x-2=0$ или $x+3=0$ или $2x-1=0$

$x_1=2$ или $x_2=-3$ или $x_3=\frac{1}{2}$

Задача 4: Решете уравнението $x^2(x-5)-9(x-5)=0$

Решение: Първо изнасяме общ множител:

$(x-5)(x^2-9)=0$

Сега разлагаме и втория множител:

$(x-5)(x-3)(x+3)=0$

Решения: $x_1=5$, $x_2=3$, $x_3=-3$

Задача 5: Решете уравнението $4x^2(2x+1)-25(2x+1)=0$

Решение: Изнасяме общ множител:

$(2x+1)(4x^2-25)=0$

Разлагаме разлика от квадрати:

$(2x+1)(2x-5)(2x+5)=0$

$x_1=-\frac{1}{2}$, $x_2=\frac{5}{2}$, $x_3=-\frac{5}{2}$

Задача 6: Решете уравнението $(x^2-16)(x^2+4x)=0$

Решение: Разлагаме всеки множител:

$(x-4)(x+4)x(x+4)=0$

Корените са: $x_1=4$, $x_2=-4$, $x_3=0$

Забележка: $x=-4$ е двоен корен

Задача 7: Решете уравнението $(3x-7)^2(x^2-9)=0$

Решение:

$(3x-7)(3x-7)(x-3)(x+3)=0$

$x_1=\frac{7}{3}$ (двоен корен), $x_2=3$, $x_3=-3$

Задача 8: Решете уравнението $x^3-3x^2-4x+12=0$

Решение: Групираме:

$x^2(x-3)-4(x-3)=0$

$(x-3)(x^2-4)=0$

$(x-3)(x-2)(x+2)=0$

$x_1=3$, $x_2=2$, $x_3=-2$

Задача 9: Решете уравнението $2x^4-18x^2=0$

Решение: Изнасяме общ множител:

$2x^2(x^2-9)=0$

$2x^2(x-3)(x+3)=0$

$x_1=0$ (двоен корен), $x_2=3$, $x_3=-3$

Задача 10: Решете уравнението $(x^2+5x+6)(x^2-1)=0$

Решение: Разлагаме всеки множител:

$(x+2)(x+3)(x-1)(x+1)=0$

Корени: $x_1=-2$, $x_2=-3$, $x_3=1$, $x_4=-1$

Задачи за самостоятелна работа

1. Решете уравнението: $(5x-2)(3x+4)=0$

2. Решете уравнението: $x^3-9x=0$

3. Решете уравнението: $(x^2-4)(3x-6)=0$

4. Решете уравнението: $x^2(x+1)-16(x+1)=0$

5. Решете уравнението $9x^2(2x-5)-4(2x-5)=0$

6. Решете уравнението: $(x^2-25)(x^2+6x+9)=0$

7. Решете уравнението: $x^3+2x^2-9x-18=0$

8. Решете уравнението: $(2x-3)^3(x^2-16)=0$

9. Решете уравнението: $x^4-10x^2+9=0$

10. Решете уравнението: $(x^2+x-6)(x^2-4x+4)=0$

11. Решете уравнението: $3x^3-12x^2-27x+108=0$

12. Решете уравнението: $(x^3-8)(x^2+5x)=0$

13. Решете уравнението: $4x^4-36x^2=0$

14. Решете уравнението: $(x^2-3x+2)(x^2-9)=0$

15. Решете уравнението: $x^5-5x^4+6x^3=0$

Видео уроци

Ако искате да разгледате още допълнително решени задачи по темата може да го направите във видеото ми по-горе.