Уравнения от вида $(ax+b)(cx+d)=0$ 7 клас

За решаване на уравнения от вида $(ax+b)(cx+d)=0$ съществено ще използваме факта, че едно произведение от множители е равно на 0, когато един или повече от тези множители са равни на 0. С други думи произведението $A.B=0$, тогава и само тогава, когато $A=0$ или $B=0$ (казаното разбира се важи и, ако множителите са повече от два). Други знания, които ще ни бъдат необходими за решаването на уравнения от този вид е разлагането на многочлени на множители, различните видове разлагания можете да си припомните в предните ни уроци (разлагане на многочлен чрез изнасяне на общ множител, разлагане на многочлен на множители чрез прилагане на формулите за съкратено умножение, разлагане на многочлен на множители чрез групиране и разлагане на многочлен на множители чрез комбинирано прилагане на останалите методи), както и разбира се решаването на линейни уравнения (виж тук).

1 Задача Решете уравнението $2x(x-5)=0.$

Решение: Множителите които имаме в това уравнение са $2x$ и $(x-5)$, следователно това уравнение ще бъде равно на $0$, когато $2x=0$ или $x-5=0$, от където получаваме двата корена на уравнението $x_1=0$ и $x_2=5.$

2 Задача Решете уравнението $(3x-2)(4x+7)=0.$

Решение: От казаното по-горе, уравнението $(3x-2)(4x+7)=0$, тогава и само тогава, когато $3x-2=0$ или $4x+7=0$, следователно $3x=2$ или $4x=-7$, от където $x_1=\frac{2}{3}$ или $x_2=-\frac{7}{4}.$

3 Задача Решете уравнението $y(2y+1)-3(2y+1)=0.$

Решение: Изнасяме общият множител $(2y+1)$, следователно $(2y+1)(y-3)=0$, следователно $2y+1=0$ или $y-3=0$, от където получаваме, че $y_1=-\frac{1}{2}$ или $y_2=3.$

4 Задача Решете уравнението $49x^2-25=0.$

Решение: Прилагаме формулата $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, следователно, уравнението можем  да запишем във вида $(7x-5)(7x+5)=0$. Така получаваме, че:

$7x-5=0$ или $7x+5=0$, от където

$7x=5$ или $7x=-5$

$x_1=\frac{5}{7}$ или $x_2=-\frac{5}{7}.$

5 Задача Решете уравнението $x^3+6x^2+9x=0.$

Решение: Забелязваме, че в даденото уравнение, можем да изнесем общ знаменател $x$, следователно, $x(x^2+6x+9)=0.$ За множителят в скоби можем да приложим формулата $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$, така получаваме, че $x(x+3)^2=0$, сега от казаното по-горе следва, че $x_1=0$ или $x+3=0$ или $x+3=0$ от където $x_1=0$ или $x_{2,3}=-3$ (двоен корен).

6 Задача Решете уравнението $x^2-4x+3=0.$

Решение: Даденото уравнение записваме по следният начин $x^2-x-3x+3=0.$ Целтя ни е да разложим лявата страна на уравнението на множители за да доведем даденото ни уравнение до уравнение от вида $(ax+b)(cx+d)=0$. Така получаваме:

$x^2-x-3x+3=0$

$x(x-1)-3(x-1)=0$

$(x-1)(x-3)=0$.

Сега като приложим вече наученото знаем, че $x-1=0$ или $x-3=0$, от където $x_1=1$ или $x_2=3$.

7 Задача Решете уравнението $(x^3-81x)(4x^2-9)=0.$

Решение: Разлагаме на множители изразите в скобите:

$(x^3-81x)(4x^2-9)=0$

$x(x^2-81)(2x-3)(2x+3)=0$

$x(x-9)(x+9)(2x-3)(2x+3)=0$, следователно уравнението има $5$ решения $x_1=0$, $x_2=9$, $x_3=-9$, $x_4=\frac{3}{2}$ и $x_5=-\frac{3}{2}$.

8 Задача Даден е многочленът $M=(x-3)^2-6y(x-3)+8y^2-8xy-16x^2$.

а) Разложете $M$ на множители.

б) При $y=(\frac{2^7-2^6+2^5}{(-24)^2})^{-1}$ решете уравнението $M=0$.

Решение: а) Многочленът $M$ можем да запишем по следният начин:

$M=(x-3)^2-6y(x-3)+9y^2-y^2-8xy-16x^2$, следователно $M=(x-3-3y)^2-(x^2+8xy+16x^2)$ (тъй като, ако в израза $(x-3)^2-6y(x-3)+9y^2$ заменим $a=x-3$, а $b=3y$ получаваме $a^2-2ba+b^2=(a-b)^2$ т.е. $(x-3-3y)^2$). Освен това $y^2+8xy+16x^2=(y+4x)^2$. Следователно $M=(x-3-3y)^2-(y+4x)^2$. Сега можем да приложим формулата за сбор по разлика, така получаваме, че $M=[(x-3-3y)-(y+4x)][x-3-3y+y+4x]=$ $=(x-3-3y-y-4x)(x-3-3y+y+4x)=(-3x-4y-3)(5x-2y-3)$.

б) Първо нека да пресметнем на колко е равно $y$. Имаме, че:

$y=(\frac{2^7-2^6+2^5}{(-24)^2})^{-1}=(\frac{2^2.2^5-2^1.2^5+1.2^5}{(2^3.3)^2})^{-1}$ $(\frac{2^5(2^2-2^1+1)}{2^6.3^2})^{-1}=(\frac{3}{2.3^2})^{-1}=(\frac{1}{6})^{-1}=6$. Тогава при $y=6$ уравнението $M=0$ има вида (вземаме $M$ в разложен вид) $(-3x-4.6-3)(5x-2.6-3)=0$ от където:

 $(-3x-27)(5x-15)=0$ 

$-3x-27=0$ $\cup$ $5x-15=0$

$-3x=27$ $\cup$ $5x=15$

$x_1=-9$ $\cup$ $x_2=3$.

9 Задача Да се реши уравнението $1-x+2(x-1)^2=0$.

Решение: Не е трудно да видим, че даденото уравнение можем да запишем във вида:
$1.(1-x)+2(1-x)^2=0$ (използваме факта, че $(a-b)^2=(b-a)^2$) и изнасяме общият множител $(1-x)$ пред скоби, така получаваме:
$(1-x)[1+2(1-x)]=0$ 

$(1-x)(1+2-2x)=0$ 

$(1-x)(3-2x)=0$

$1-x=0$ $\cup$ $3-2x=0$

$x_1=1$ $\cup$ $x_2=\frac{3}{2}$.

Задачи за самостоятелна работа

1. Решете уравнението $(x-3)(2x+7)=0.$

2. Решете уравнението $(4x^2-9)(9x^2-16)=0.$

3. Решете уравнението $(x-1)^2-x(x-1)-0.$

4. Решете уравнението $6(\frac{2}{3}-x)^3-(x-\frac{2}{3})^2=0.$

5. Решете уравнението $y^2-5y+4=0.$

6. Решете уравнението $25(z-3)^2-16(z-2)^2=0.$

7. Решете уравнението $t^4-3t^2-4=0.$

8. Дадени са изразите $A=(2x+1)^2-2(1+x)(x-1)+x$ и $B=(x-\frac{1}{2})^2-\frac{17-4x}{4}$. 

а) Намерете стойностите на $x$, за които $A.B=0.$

б) намерете корена на уравнението $A=2.B$.

9.  а) Да се реши уравнението $\frac{3x-1}{2}-\frac{1}{3}(x-\frac{5-x}{4})-\frac{5-2x}{6}=a-\frac{x}{2}$, в което $a=\frac{60^2.15^6.16^3}{6^8.10^8}$.

б) Да се разложи на множители $P=x^3-1-(x^2-2x+1)(x-2)$ и да се намерят онези стойности на $x$, за които $P=0$. (58-ма Национална олимпиада по математика - общински кръг)

10. Дадено е уравнението $\frac{(2x-4)^2}{-4}-\frac{4x-3}{-12}+\frac{1}{4}=\frac{1}{3}x(1-3x)$.

а) Решете уравнението.

б) Проверете дали числото $a=\frac{|-\frac{5^2.13.7}{25.7}|+(-1)^{-2}}{5^0}$ е корен на това уравнение. (Национална олимпиада по математика)

11. Разложете многочлена $M=y^2-11y+24$ не множители. Намерете сбора от корените на уравнението $(x^2+2x)^2-11(x^2+2x)+24=0$.

12. Разложете на множители израза $y^2-2y-8$. Решете уравнението $(x^2-3x)^2-2x^2+6x=8$

Ако искате да разгледате още допълнително решени задачи по темата може да го направите във видеото ми по-долу:

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020 

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за наицоналното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015 

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +