Формули за съкратено умножение - $(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$ 7 клас
В началото на учебната година всеки седмокласник се сблъсква с формулите за съкратено умножение. С настоящият урок и със следващите след него ще се опитаме заедно да преодолеем трудностите в решаването на различни задачи, в които се прилагат тези формули. Нека преди да започнем да ги припомним:
1. $(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$;
2. $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$;
3. $(a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}$;
4. $(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})=a^{3}\pm b^{3}$.
В тази статия, ще разгледаме формулите $(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$.
Да решим някои задачи, с които да покажем как ще ги прилагаме:
1 Задача Извършете степенуването $(2x+y)^{2}.$
Решение: Нека разгледаме формулата $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$. В нашият израз ролята на $a$ играе $2x$, а ролята на $b$ играе $y$. Нека сега вместо $a$ да запишем $2x$, а вместо $b$ да запишем $y$. Така получаваме, че $(2x+y)^{2}=(2x)^{2}+2.2x.y+y^{2}$. Сега трябва да степенуваме $(2x)^{2}$. Нека да припомним следното свойство изучавано в 6-ти клас $(a.b)^{n}=a^{n}.b^{n}$, следователно $(2x)^{2}=2^{2}.x^{2}=4x^{2}$. Нека сега след, като направихме това уточнение да се върнем на задачата, където получихме, че:
$(2x+y)^{2}=(2x)^{2}+2.2x.y+y^{2}=$
$=4x^{2}+4xy+y^{2}$.
2 Задача Извършете степенуването $(3n+4m)^{2}.$
Решение: Отново прилагаме формулата $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$. Този път $a=3n$, а $b=4m$. Така получаваме:
$(3n+4m)^{2}=(3n)^{2}+2.3n.4m+(4m)^{2}=$
$=9n^{2}+24mn+16m^{2}$.
3 Задача Извършете степенуването $(9k-3x)^{2}.$
Решение: Прилагаме формулата $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$, където $a=9k$, а $b=4m$ следователно:
$(9k-3x)^{2}=(9k)^{2}-2.9k.3x+(3x)^{2}=$
$=81k^{2}-54kx+9x^{2}$.
4 Задача Извършете степенуването $(-5+3x)^{2}$.
Решение: Прилагаме разместителното свойство за израза в скобите и получаваме, че $(-5+3x)^{2}=(3x-5)^{2}$. Сега прилагаме формулата $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ и получаваме, че:
$(3x-5)^{2}=(3x)^{2}-2.3x.5+5^{2}=$
$=9x^{2}-30x+25$.
5 Задача Извършете степенуването $(x+y+z)^{2}$.
Решение: Когато имаме три събираеми, отново можем да приложим формулата $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$, като в този случай $a=(x+y)$, а $b=z$. Разбира се може да предпочетем $a=x$, а $b=(y+z)$. Така, след прилагането на формулата получаваме: $(x+y+z)^{2}=(x+y)^{2}+2(x+y)z+z^{2}=$
$=x^{2}+2xy+y^{2}+2xz+2yz+z^{2}=$
$=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2xz+2yz.$
6 Задача Опростете израза $x^{2}+64-(x-8)^{2}$.
Решение: Забелязваме, че в този израз участва формулата $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$. Прилагаме формулата и имаме, че $x^{2}+64-(x-8)^{2}=x^{2}+64-(x^{2}-16x+64)$. Разкриваме скобите и променяме знаците на събираемите в тях
$x^{2}+64-(x^{2}-16x+64)=$
$=x^{2}+64-x^{2}+16x-64=16x$.
7 Задача Извършете означените действия и приведете в нормален вид $(a-b-3)^{2}+(a-b)^{2}$.
Решение: Извършваме степенуванията
$(a-b)^{2}-2(a-b)3+3^{2}+a^{2}-2ab+b^{2}=$
$=a^{2}-2ab+b^{2}-6a+6b+9+a^{2}-2ab+b^{2}=$
$=2a^{2}+2b^{2}-6a+6b+9.$
8 Задача Извършете означените действия и приведете в нормален вид $(3-x)^{2}-(4x+1)^2$.
Решение: $(3-x)^{2}-(4x+1)^2=$
$=3^{2}-2.3.x+x^{2}-[(4x)^{2}+2.4x.1+1^{2}]=$
$=9-6x+x^{2}-(16x^{2}+8x+1)=$
$=9-6x+x^{2}-16x^{2}-8x-1=$
$-15x^{2}-14x+8.$
9 Задача Намерете числената стойност на израза $(x+1)(y-2)-(x-y-2)^{2}$, при $x=-|-5+4|$ и $y=-(-5+4)^{2}$.
Решение: Първо, ще опростим израза буквено, а след това ще заменим $x$ и $y$ със съответните им стойности. Първите две скоби, ще умножим по правилото "всяко по всяко", а за $(x-y-2)^{2}$ ще приложим формулата $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$. Така получаваме:
$(x+1)(y-2)-(x-y-2)^{2}=$
$=xy-2x+y-2-[(x-y)^{2}-2(x-y).2+2^{2}]=$
$=xy-2x+y-2-(x^{2}-2xy+y^{2}-4x+4y+4)=$
$=xy-2x+y-2-x^{2}+2xy-y^{2}+4x-4y-4=$
$=-x^{2}-y^{2}+3xy+2x-3y-6$.
Сега е време да пресметнем стойностите на $x=-|-1|=-1$ и $y=-(-1)^{2}=-1$. Заместваме в израза $-(-1)^{2}-(-1)^{2}+3(-1)(-1)+2(-1)-3(-1)-6=-1-1+3-2+3=2.$
10 Задача Като използвате формулите за съкратено умножение пресметнете рационално $13,4^{2}+2.13,4.6,6+6,6^{2}$.
Решение: Ако заместим във формулата $a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$. Това е веча добре познатата ни формула $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ с разменени лява и дясна страна. Ако заместим $a=13,4$ и $b=6,6$ в $a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$, получаваме $13,4^{2}+2.13,4.6,6+6,6^{2}=(13,4+6,6)^{2}=20^{2}=400$.
11 Задача Като използвате формулите за съкратено умножение пресметнете рационално $36^{2}-2.36.6+6^{2}$.
Решение: Вече лесно забелязваме, че това е формулата $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$, написана от ляво на дясно, следователно $36^{2}-2.36.6+6^{2}=(36-6)^{2}=30^{2}=900.$
12 Задача Като използвате формулите за съкратено умножение пресметнете рационално $59^2$.
Решение: Представяме $59$, като $60-1$, следователно $59^2=(60-1)^2$. Сега прилагаме формулата $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ и получаваме, че $(60-1)^2=60^2-2.60.1+1^2=3600-120+1=3481.$
13 Задача Докажете тъждеството $(x+y)^2+(x-y)^2=2(x^2+y^2)$.
Решение: Когато трябва да доказваме тъждества е необходимо да покажем, че лявата страна на равенството е равна на дясната страна на равенството, за целта нека вземем лявата страна на нашето равенство и разкрием скобите в нея:
$ЛС=(x+y)^2+(x-y)^2=x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2=2x^2+2y^2$.
Сега вземаме дясната страна и разкриваме скобите:
$ДС=2(x^2+y^2)=2x^2+2y^2$.
Очевидно $ЛС=ДС$ и следователно равенството е тъждество.
Задачи за самостоятелна работа
1. Извършете степенуването:
а) $(y-5)^{2};$ б) $(3y+2)^{2};$ в) $(-2x+4y)^2;$ г) $(\frac{1}{4}x-4y)^{2};$ д) $(x+2y-3z)^2;$
e) $(2x-y+1)^2;$ ж) $(\frac{1}{3}y^2-3x)^2.$
2. Преобразувайте израза във вид на многочлен в нормален вид:
а) $(3x-4)^{2}+3;$ б) $2(6n+1)^{2}+1;$ в) $-2(k+2t)^{2}-4t^2+1;$
г) $(2t-3)^{2}-4t^2-9;$ д) $(11t+5)^2-121t^2-25;$ e) $(\frac{1}{2}y+2)^2-2(\frac{3y^2}{8}-1);$
ж) $(-2+m)^2-(2-m)^2-3(-m-2)^2$.
3. Опростете израза:
а) $(x+1)^2+(1-2x)^2;$ б) $(2x-y)^2-(x-y)(2x+1);$
в) $(x-2)^2+(x-3)^2-2x(x-5);$ г) $2(b+2)^2-(3b-1)^2$.
4. Представете израза $4(y-2)+(y+1)^2$ с нормален многочлен.
5. Докажете тъждеството $(ax+ay)^2=a^2(x^2+y^2).$
6. Като използвате формулата $(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$ пресметнете:
а) $51^2;$ б) $43^2;$ в) $999^2;$ г) $73^2+2.73.27+27^2;$ д) $126^2-2.126.76+76^2.$
7. Да се докаже, че изразът $(x-7)^2+2(x-7)(1-x)+(1-x)^2$ не зависи от стойността на $x$.
8. Да се докаже, че стойността на израза $Y=(\frac{y}{2}-1)(\frac{y}{2}+4)-(\frac{y}{2}+2)^2+\frac{1}{2}y$ не зависи от стойността на $y$.
9. Намерете най-малката стойност на израза $(x-2)^2+4x+1.$
10. Намерете най-голямата стойност на израза $2(8-3x)-(3-x)^2.$
11. Намерете числената стойност на израза:
а) $3(a-\frac{1}{3}b)^2+\frac{(a-3b)^2}{3}$ при $a=-1$, $b=0;$
б) $2(\frac{1}{2}x-2)^2-\frac{(x-2)^2}{2}$ при $x=\frac{(-2)^5.54}{-3^3}.$
12. Приведете израза $A=(y-b)(y+2b)+(y-b+1)^2$ във вид на многочлен в нормален вид. За коя стойност на параметъра $b$ коефициентът на члена от първа степен е равен на $-7$?
13. Опростете израза $(3-x)^2-x(x-3)+9$ (Национално външно оценяване по математика за 7 клас 2020 г.).
14. Да се намери нормалният многочлен, тъждествен на израза:
а) $(a^2+1)^2+(a-1)(a^2+1)-a^2$;
б) $3(a^2+1)^2+2(a-1)(a^2+1)-5(a-1)^2-4(0,75a^4+3a-1)$.
15. Да се докаже, че при всяка стойност на променливата $y$ изразът $A=2(2y+1)^2-(4y+3)^2+8y(y+2)$ приема една и съща числена стойност.
16. Да се намери стойността на израза $a(a+b)^2-b(a-b)^2+2b(a^2+b^2)$ при $a=2,5$ и $b=0,5$.
Ако искате да разгледате още допълнително решени задачи по темата може да го направите във видеата ми по-долу:
За да проверите знанията си върху темата "Едночлен, действия с едночлени" може да направите теста, който ще намерите в линка по-долу:
Използвана литература:
1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020
2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020
3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София
4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018
5. Текуща подготовка по математика за наицоналното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020
6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015
7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017
8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008
9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011
10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014
11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009
12. Сп. Математика
13. Сп. Математика +
13. Сп. Математика +
Коментари
Публикуване на коментар