Разлагане на квадратен тричлен на множители 8 клас

Определение 1: Израз от вида $ax^2+bx+c$, където $a\neq 0$ ще наричаме квадратен тричлен.

Всеки квадратен тричлен, на който дискриминантата е по-голяма или равна на нула, може да се разложи на множители, като приложим формулата $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_1)$, където $x_1$ и $x_2$ са корени на квадратното уравнение $ax^2+bx+c=0$. Когато $D<0$ ще казваме, че квадратният тричлен е неразложим над $\mathbb{R}$.

Разлагането на квадратен тричлен на множители не е ново за един осмокласник. Такива задачи са разглеждани в 7 клас, в темите свързани с разлагане на многочлени на множители чрез формули за съкратено умножение, чрез групиране и чрез комбинирано прилагане на групирането, изнасянето на общ множител пред скоби и прилагането на формулите за съкратено умножение.

Нека да разгледаме квадратният тричлен $x^2+5x-6$. Забелязваме, че можем да го запишем във вида $x^2-x+6x-6$. Групираме първите две и вторите две събираеми и изнасяме общите им множители, така получаваме, че $x^2-x+6x-6=x(x-1)+6(x-1)$. Сега изнасяме общият множител $(x-1)$ пред скоби и окончателно получаваме, че $x^2+5x-6=(x-1)(x+6)$.

Разлагане на квадратен тричлен на множители можем да направим и чрез допълване до точен квадрат. Да разгледаме например квадратният тричлен $x^2-10x+26$. Забелязваме, че този квадратен тричлен можем да запишем във вида $x^2-2.x.5+5^2-1^2$ (така представихме квадратният тричлен, че можем да приложим формулата $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$, където $a=x$ и $b=5$). Следователно имаме, че $x^2-2.x.5+5^2-1^2=(x-5)^2-1^2$. Сега прилагаме формулата за сбор по разлика ($a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, където $a=(x-5)$, а $b=1$). Така получаваме, че $(x-5)^2-1^2=(x-5-1)(x-5+1)=(x-6)(x-4)$. 

Нека сега със следващите примери покажем приложението на формулата за разлагане на квадратен тричлен.

1 Задача Разложете на множители изразите:

а) $7x^2-13x$; б) $4x^3+11x^2$; в) $4-(3x-1)^2$; г) $(2x+1)^2-(3x-2)^2$.

Решение: а) Забелязваме, че в израза $7x^2-13x$ можем да изнесем общ множител $x$ пред скоби така получаваме, че $7x^2-13x=x(7x-13)$.

б) Отново виждаме, че в даденият израз можем да изнесем общ множител $x^2$ следователно $4x^3+11x^2=x^2(4x+11)$.

в) За разлагането на този израз ще приложим формулата за сбор по разлика, следователно $4-(3x-1)^2=[2-(3x-1)][2+(3x-1)]=(2-3x+1)(2+3x-1)=$$=(-3x+3)(3x+1)=3(-x+1)(3x+1)$.

г) За разлагането на даденият израз отново прилагаме формулата за сбор по разлика, следователно $(2x+1)^2-(3x-2)^2=[(2x+1)-(3x-2)][(2x+1)+(3x-2)]=$$=(2x+1-3x+2)(2x+1+3x-2)= (-x+3)(5x-1)$.

2 Задача Разложете на множители квадратният тричлен $x^2-15x+26$.

Решение: Ще приложим формулата за разлагане на квадратният тричлен $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$. Тъй като в нея участват корените на квадратното уравнение $x^2-15x+26=0$ трябва да го решим за да ги намерим. За $x^2-15x+26=0$ имаме, че $a=1$, $b=-15$ и $c=26$. Пресмятаме дискриминантата $D=b^2-4ac$ т.е. $D=(-15)^2-4.1.26=225-104=121$. Сега намираме и корените $x_1$ и $x_2$ по формулата $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$ т.е. $x_{1,2}=\frac{15\pm 11}{2}$ следователно $x_1=\frac{4}{2}=2$ и $x_2=\frac{26}{2}=13$. Сега можем да запишем и квадратният тричлен в разложен вид $x^2-15x+26=(x-2)(x-13)$.

3 Задача Разложете на множители квадратният тричлен $4x^2-8x+3$.

Решение: Отново ще приложим формулата за разлагане на квадратен тричлен, като преди това ще решим квадратното уравнение $4x^2-8x+3=0$. Имаме, че $a=4$, $b=-8$ и $c=3$, $D=(-8^2)-4.4.3=64-48=16$. Така намираме, че $x_1=\frac{8+4}{8}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$ и $x_2=\frac{8-4}{8}=\frac{1}{2}$. Следователно имаме, че $4x^2-8x+3=4(x-\frac{3}{2})(x-\frac{1}{2})$. Сега привеждаме под общ знаменател изразите в скобите и получаваме $4(\frac{2x-3}{2})(\frac{2x-1}{2})=(2x-3)(2x-1)$.

4 Задача Опростете дробта $\frac{x^2-x-20}{x^2-16}$.

Решение: За да опростим разглежданата дроб първо ще разложим на множители нейният числител и знаменател. Решаваме квадратното уравнение $x^2-x-20=0$, като $a=1$, $b=-1$ и $c=-20$. Пресмятаме $D=(-1)^2-4.1.(-20)=81$. Следователно $x_1=\frac{1+9}{2}=5$ и $x_2=\frac{1-9}{2}=-4$. От тук може да кажем, че $x^2-x-20=(x-5)(x+4)$. Сега разлагаме знаменателят като приложим формулата за сбор по разлика, от където намираме, че $x^2-16=(x-4)(x+4)$. Така дадената дроб можем да запишем във вида $\frac{(x-5)(x+4)}{(x-4)(x+4)}$ и след като съкратим еднаквите множители в числителя и знаменателя окончателно получаваме, че дадената дроб е равна на $\frac{x-5}{x-4}$.

5 Задача Опростете дробта $\frac{x^2-(a-2b)x-2ab}{x^2+(a+2b)x+2ab}$.

Решение: За да опростим дадената дроб първо ще разложим на множители нейният числител, а после и нейният знаменател. Решаваме уравнението $x^2-(a-2b)x-2ab=0$, $D=[-(a-2b)]^2-4(-2ab)=a^2-4ab+4b^2+8ab=a^2+4ab+4b^2=(a+2b)^2$. Така за корените на това уравнение получаваме, че $x_1=\frac{a-2b+(a+2b)}{2}=a$ и $x_2=\frac{a-2b-(a+2b)}{2}=-2b$, следователно $x^2-(a-2b)x-2ab=(x-a)(x+2b)$. Сега решаваме и уравнението $x^2+(a+2b)x+2ab=0$ за което имаме, че $D=(a+2b)^2-4.2ab=a^2+4ab+4b^2-8ab=(a-2b)^2$. Така за корените на това урвнение получавеме $x_1=\frac{-(a+2b)+(a-2b)}{2}=-2b$ и $x_2=\frac{-(a+2b)-(a-2b)}{2}=-a$. От тук намираме, че $x^2+(a+2b)x+2ab=(x+a)(x+2b)$. Сега записваме дадената дроб във вида $\frac{(x-a)(x+2b)}{(x+a)(x+2b)}$ и след като съкратим еднаквите множители окончателно получаваме дробта $\frac{x-a}{x+a}$.

Задачи за самостаятелна работа:

1. Разложете на множители изразите:

а) $x^2-3x$; б) $5x^3-4x$; в) $5-(2x-1)^2$; г) $25x^2-(7x+9)^2$; д) $(5x-1)^2-(3x+2)^2$.

2. Да се разложи на множители квадратният тричлен:

а) $x^2-8x+7$; б) $-y^2-3y+5$; в) $3z+2z^2-7$; г) $3x^2+(9-\sqrt{3})x-3\sqrt{3}$.

3. Опростете дробта:

а) $\frac{t^2-3t-10}{t+2}$; б) $\frac{49y^2+14y-15}{49y^2-35y+6}$ в) $\frac{x^2+4x-21}{x^2-9x+18}$; г) $\frac{4x^2-32x-36}{2x^2-26x+72}$; д) $\frac{m^2+(5-\sqrt{2})m-5\sqrt{2}}{m^2-(6+\sqrt{2})m+6\sqrt{2}}$.

Още решени и обяснени задачи може да намерите във видеото ми по-долу: