Разлагане на многочлен чрез изнасяне на общ множител 7 клас

Често в решаването на различни задачи се налага даден многочлен да го представим, като произведение от множители. Тези множители могат да бъдат, както едночлени, така и други многочлени. Например добре известно е, че $a(b+c)=a \cdot b+a \cdot c$. Ако запишем това равенство в обратен ред, т.е. $a \cdot b+a \cdot c=a(b+c)$, виждаме, че сбора от едночлените $ab$ и $bc$ вече сме представили като произведение. Да разгледаме някои задачи.

1 Задача Пресметнете рационално $14.85+14.15$.

Решение: Първият варянт за решаването на тази задача е да пресметнем първо произведението $14.85$ и произведението $14.15$ и след това получените числа да ги съберем. Начинът не е грешен, разбира се, но не отговаря на понятието „рационален“. Нека вместо това разгледаме равенството $a \cdot b+a \cdot c=a(b+c)$, където $a=14$, $b=85$ и $c=15$. Заместваме и получаваме: $$14.85+14.15=14(85+15)=14 \cdot 100=1400.$$

2 Задача Да се разложи на множители многочлена $5t+5m$.

Решение: Забелязваме, че и в двете събираеми има общ множител $5$. Следователно: $$5t+5m=5(t+m).$$

3 Задача Да се разложи на множители многочлена $3x-3y^4$.

Решение: Общият множител е $3$, така че след като го изнесем пред скоби получаваме: $$3x-3y^4=3(x-y^4).$$

4 Задача Да се разложи на множители многочлена $$20x^2y^3+25x^3y^4+30x^4y^3.$$

Решение: Забелязваме, че коефициентите на всички едночлени могат да се разделят на $5$. Изнасяме $5$ и също най-ниските степени на $x$ и $y$ – в случая $x^2y^3$: $$20x^2y^3+25x^3y^4+30x^4y^3=5x^2y^3(4+5xy+6x^2).$$

5 Задача Да се разложи на множители многочлена $2(2y-5)-3y(2y-5)$.

Решение: Виждаме, че и двата члена съдържат множителя $(2y-5)$. Изнасяме го пред скоби: $$2(2y-5)-3y(2y-5)=(2y-5)(2-3y).$$

6 Задача Да се разложи на множители многочлена $x(x+2y)+y(x+2y)$.

Решение: Общият множител е $x+2y$, затова: $$x(x+2y)+y(x+2y)=(x+2y)(x+y).$$

7 Задача Да се разложи на множители многочлена $xy+3xy^2$.

Решение: Записваме израза като $1 \cdot x \cdot y + 3x \cdot y \cdot y$. Общият множител е $xy$, така че: $$xy+3xy^2=xy(1+3y).$$ (Забележка: В литературата вместо $1 \cdot xy$ се записва само $xy$.)

8 Задача Да се разложи на множители многочлена $4m(5-n)-3t(n-5)$.

Решение: Виждаме, че множителите $(5-n)$ и $(n-5)$ са подобни, но не еднакви. Тъй като $(n-5)=-(5-n)$, можем да пренаредим, като изнесем знак минус. След това: $$4m(5-n)-3t(n-5)=4m(5-n)-3t[-(5-n)]=4m(5-n)+3t(5-n)=(5-n)(4m+3t).$$

9 Задача Да се разложи на множители многочлена $3x(x-y)-5(x-y)^2$.

Решение: Общият множител е $(x-y)$. Изнасяме го пред скоби: $$3x(x-y)-5(x-y)^2=(x-y)[3x-5(x-y)]=(x-y)(3x-5x+5y)=(x-y)(-2x+5y).$$

10 Задача Пресметнете стойността на израза $12m(4m-3)-3n(4m-3)-(3-4m)$ при $m=10$ и $n=7$.

Решение: Общият множител е $(4m-3)$. Забелязваме, че $(3-4m)=-(4m-3)$. Следователно даденият израз можем да запишем във вида: $$12m(4m-3)-3n(4m-3)-(3-4m)=12m(4m-3)-3n(4m-3)+1\cdot(4m-3)=(4m-3)(12m-3n+1).$$ Замествайки $m=10$ и $n=7$ получаваме: $$(4\cdot10-3)(12\cdot10-3\cdot7+1)=(40-3)(120-21+1)=37\cdot100=3700.$$

Задачи за самостоятелна работа

1. Да се разложи на множители многочлена:
а) $3mb+m$;
б) $\frac{5}{3}-\frac{5}{3}x$;
в) $15x^2y+30xy^3$;
г) $36a^2b^2-27b^3$;
д) $5t^7+t^{11}$.

2. Да се разложи на множители многочлена:
а) $7(x-z)+p(x-z)$;
б) $2x(a+3b)-3y(a+3b)$;
в) $(m-3)5+(m-3)3n$;
г) $(k+p)-2x(k+p)$;
д) $3x(5y-7z)+7t(5y-7z)$.

3. Да се разложи на множители многочлена:
а) $2(x-y)+3z(x-y)+4q(y-x)$;
б) $5(a+b)^2-c(a+b)$;
в) $2(p-q)^3-3m(p-q)$;
г) $x+y+3(x+y)$;
д) $3(p-q)+7x(p-q)^2+4y(q-p)^3$;
е) $2a(2x-5)+b(5-2x)$.

4. Пресметнете стойността на израза $x^6y^2+x^3y^3-x^5y^4$, за $x=1$ и $y=2$.

5. Да се разложи на множители многочлена:
а) $2a^m+3a^{m+1}+4a^{m+2}$;
б) $(a+b+c)^2-na-nb-nc$.

Видео уроци

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020 

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за националното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София, 2015 

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +