Разлагане на многочлен чрез изнасяне на общ множител 7 клас

Често в решаването на различни задачи се налага даден многочлен да го представим, като произведение от множители. Тези множители могат да бъдат, както едночлени, така и други многочлени. Например добре известно е, че $a(b+c)=a.b+a.c$. Ако запишем това равенство в обратен ред т.е. $a.b+a.c=a(b+c)$ виждаме че сбора от едночлените $ab$ и $bc$ вече сме представили като произведение. Да разгледаме някои задачи.

1 Задача Пресметнете рационално $14.85+14.15.$

Решение: Първият варянт за решаването на тази задача е да пресметнем първо произведението $14.85$ и произведението $14.15$ и след това получените числа да ги съберем. Начина не е грешен разбира се, но не се вмества в думата рационален. Нека сега вместо това разгледаме равенството  $a.b+a.c=a(b+c)$, където $a=14$, $b=85$ и $c=15$. Заместваме буквите със съответно равните им числа и получаваме $14.85+14.15=14.(85+15)=14.100=1400.$ 

2 Задача Да се разложи на множители многочлена $5t+5m.$

Решение: Забелязваме, че в първото и второто събираемо имаме един и същи множител $5$, следователно можем да приложим  $a.b+a.c=a(b+c)$, т.е. $5t+5m=5(t+m).$

3 Задача Да се разложи на множители многочлена $3x-3y^4.$

Решение: Еднаквият множител в този случай е $3$, следователно като го изнесем пред скоби получаваме $3(x-y^4).$

4 Задача Да се разложи на множители многочлена $20x^2y^3+25x^3y^4+30x^4y^3.$ 

Решение: Забелязваме, че коефициентите на всички едночлени, които участват в този многочлен могат да се разделят на 5, т.е. 5 можем да изкараме, като общ множител. Освен това всеки един от едночлените в този многочлен съдържа променливите $x$ и $y$ от различна степен. Изнасяме коефициентът 5, както и най-ниските степени на променливите $x$ и $y$ в случая $x^2y^3$ пред скоби, следователно $20x^2y^3+25x^3y^4+30x^4y^3=5x^2y^3(4+5xy+6x^2).$

5 Задача Да се разложи на множители многочлена $2(2y-5)-3y(2y-5).$

Решение: Забелязваме, че в първото и второто произведение имаме един и същи множител $(2y-5)$, следователно можем да го изнесем пред скоби и така получаваме $2(2y-5)-3y(2y-5)=(2y-5)(2-3y).$

6 Задача Да се разложи на множители многочлена $x(x+2y)+y(x+2y).$

Решение: Тук общият множител е $x+2y$, следователно $x(x+2y)+y(x+2y)=(x+2y)(x+y).$

7 Задача Да се разложи на множители многочлена $xy+3xy^2.$ 

Решение: Даденият многочлен можем да запишем във вида $1.x.y+3x.y.y.$ Общият множител в този случай е $xy$, следователно $xy(1+3y)$. Нека отбележим, че в литературата вместо $1.xy$ се записва само $xy$.

8 Задача Да се разложи на множители многочлена $4m(5-n)-3t(n-5).$

Решение: Както виждаме в даденият многочлен множителите $(5-n)$ и $(n-5)$ доста си "приличат", но не са едни и същи за да можем да ги изнесем пред скоби. Съществува обаче начин да ги направим едни и същи, нека припомним, че $(n-5)=-(5-n)$, разбира се проверката лесно може да се направи. Следователно за да сменя местата на събираемите е необходимо да изнеса знак "-" пред скоби. Сега вече сме готови да разложим $4m(5-n)-3t(n-5)=4m(5-n)-3t[-(5-n)]=4m(5-n)+3t(5-n)=(5-n)(4m+3t).$ 

9 Задача Да се разложи на множители многочлена $3x(x-y)-5(x-y)^2.$

Решение: Изнасяме пред скоби общият множител $(x-y)$, следователно $3x(x-y)-5(x-y)^2=(x-y)[3x-5(x-y)]=(x-y)(3x-5x+5y)=(x-y)(-2x+5y).$

10 Задача Пресметнете стойността на израза $12m(4m-3)-3n(4m-3)-(3-4m)$ при $m=10$ и $n=7.$
Решение: Общият множител в този многочлен е $(4m-3)$, като разбира се в последната скоба
$(3-4m)=-(4m-3)$, следователно $12m(4m-3)-3n(4m-3)-(3-4m)=12m(4m-3)-3n(4m-3)+1.(4m-3)=(4m-3)(12m-3n+1)$. Сега заместваме в полученото произведение $m=10$ и $n=7$, така получаваме, че числената стойност на израза е $(4.10-3)(12.10-3.7+1)=37.100=3700.$

Задачи за самостоятелна работа

1. Да се разложи на множители многочлена:
а) $3mb+m;$ б) $\frac{5}{3}-\frac{5}{3}x;$ в) $15x^2y+30xy^3;$ г) $36a^2b^2-27b^3;$ д) $5t^7+t^11.$ 

2. Да се разложи на множители многочлена:
а) $7(x-z)+p(x-z);$ б) $2x(a+3b)-3y(a+3b);$ в) $(m-3)5+(m-3)3n;$ г) $(k+p)-2x(k+p);$ д) $3x(5y-7z)+7t(5y-7z).$ 

3. Да се разложи на множители многочлена:
а) $2(x-y)+3z(x-y)+4q(y-x);$ б) $5(a+b)^2-c(a+b);$ в) $2(p-q)^3-3m(p-q);$ г) $x+y+3(x+y);$ д) $3(p-q)+7x(p-q)^2+4y(q-p)^3;$ е) $2a(2x-5)+b(5-2x).$ 

4. Пресметнете стойността на израза $x^6y^2+x^3y^3-x^5y^4$, за $x=1$ и $y=2.$

5.  Да се разложи на множители многочлена:
а) $2a^m+3a^{m+1}+4a^{m+2};$ б) $(a+b+c)^2-na-nb-nc.$

Ако искате да разгледате още допълнително решени задачи по темата може да го направите във видеото ми по-долу:

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020 

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за наицоналното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015 

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +