Разлагане на многочлен на множители чрез комбинирано прилагане на различни методи 7 клас

При комбинираният метод на разлагане се прилагат някои от вече изучените основни методи. Последователността на прилагане е следната:

1. Изнасяме общ множител пред скоби (ако е възможно);

2. Прилагаме някоя от формулите за съкратено умножение (ако е възможни);

3. След като сме приключили с прилагането на горните два метода, многочленът разлагаме чрез групиране.

1 Задача Да се разложи на множители многочлена $18x^2-8.$

Решение: Забелязваме, че в даденият многочлен можем да изнесем общ множител 2, следователно получаваме $2(9x^2-4)$. Сега за израза в скобите можем да приложим формулата $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, следователно $2(9x^2-4)=2(3x-2)(3x+2).$ Ясно се вижда последователността, с която разложихме даденият многочлен. Първо изнесохме общ множител пред скоби, а после приложихме една от формулите.

2 Задача Да се разложи на множители многочлена $3y^2-12y+12.$ 

Решение: В даденият многочлен, можем да изкараме общ множител 3, следователно получаваме $3(y^2-4y+4)$. Сега за израза в скобите прилагаме формулата $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$, от където  $3(y^2-4y+4)=3(y-2)^2.$

3 Задача Да се разложи на множители многочлена $4x^2-25y^2+4x+1.$ 

Решение: Прилагайки разместителното свойство, даденият многочлен можем да запишем във вида $4x^2+4x+1-25y^2.$

4 Задача Да се разложи на множители многочлена $m^5-5m^3+4m.$

Решение: Записваме даденият многочлен във вида $m^5-4m^3-m^3+4m=(m^5-4m^3)-(m^3-4m).$ Сега от от първата и втората скоба забелязваме, че можем да изнесем общ множител, съответно $m^3$ и $m$, следователно $(m^5-4m^3)-(m^3-4m)=m^3(m^2-4)-m(m^2-4).$ Изнасяме пред скоби $(m^2-4)$, така получаваме $m^3(m^2-4)-m(m^2-4)=(m^2-4)(m^3-m).$ За изразът в първата скоба прилагаме формулата $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, а от израза във втората скоба изнасяме общ множител $m$ и прилагаме и за него формулата $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Така окончателно $m^5-5m^3+4m=m(m-2)(m+2)(m-1)(m+1).$ 

5 Задача Да се разложи на множители многочлена $x^2+8x+12.$

Решение: Записваме даденият многочлен във вида $x^2+2.x.4+16-4.$ Прилагаме формулата $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$, където $a=x$, а $b=4$ и получаваме $(x+4)^2-4.$ Сега за полученият израз прилагаме формулата $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, при $a=(x+4)$ и $b=2$. Така получаваме окончателно, че  $x^2+8x+12=(x+4-2)(x+4+2)=(x+2)(x+6).$ Повече за формулата $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ може да прочетете тук, а за формулата $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, тук.   

6 Задача Да се докаже, че многочленът $2a^4-a^2b^2-b^4$ се дели на $2a^2+b^2.$ На кои други двучлени се дели даденият многочлен?

Решение: Записваме многочлена във вида $a^4+a^4-a^2b^2-b^4.$ Сега групираме по следният начин $a^4-b^4+a^4-a^2b^2.$ За първото и второто събираемо прилагаме формулата $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, а за последните две събираеми, изнасяме $a^2$ като общ множител пред скоби, следователно $a^4-b^4+a^4-a^2b^2=(a^2-b^2)(a^2+b^2)+a^2(a^2-b^2).$ Изнасяме общият множител $(a^2-b^2)$, от където $(a^2-b^2)(a^2+b^2)+a^2(a^2-b^2)=(a^2-b^2)(a^2+b^2+a^2)=(a-b)(a+b)(2a^2+b^2).$ Ясно се вижда, че в полученото произведение имаме множител $(2a^2+b^2)$ и следователно даденият израз се дели на него. Също така изразът се дели и на двучлените (a-b) и (a+b), защото те също са множители в полученият израз.

7 Задача Да се разложи на множители многочлена $z^3-5z^2-5z+1.$

Решение: Представяме многочлена във вида $z^3+1-5z^2-5z.$ Групираме първите две събираеми, за които прилагаме формулата $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ (повече за тази формула може да откриете тук) и вторите две за които пък можем да изнесем общ множител $-5z$. Така получаваме $z^3+1-5z^2-5z=(z+1)(z^2-z+1)-5z(z+1)=(z+1)(z^2-z+1-5z)=(z+1)(z^2-6z+1).$   

Задачи за самостоятелна работа

1. Да се разложи на множители многочлена:

а) $b^5-a^4-a+1;$ б) $y^2-10y+25-9x^2;$ в) $x^2-6x+9+2ax-6a;$ г) $b^3-3b^2+4;$ д) $a^3+a^2-4a-4;$

2. Да се разложи на множители многочлена:

а) $(1+2ab)^2-(a+b)^2;$ б) $5x^{n-1}+5x^n.$

3. Да се докаже, че многочленът $A=-x^3+3x+2$ се дели на многочлена $B=x+1$ и да се намери частното $\frac{A}{B}.$ Да се намери стойността на $\frac{A}{B}$ за $x=-2.$

4. Да се докаже, че многочленът $c^2+3c-4$ се дели на двучлена $c-1$. На кой друг двучлен се дели даденият многочлен? Да се намери числената стойност на многочлена, като $c$ се замени със стойността на израза $C=-(-\frac{2}{3}.1\frac{1}{2})^{-7}.$

Ако искате да разгледате още допълнително решени задачи по темата може да го направите във видеото ми по-долу:

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020 

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за наицоналното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015 

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +