Формули за съкратено умножение - $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ 7 клас

Продължаваме със следващата от формулите за съкратено умножение $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Да разгледаме някои задачи, с които ще илюстрираме нейните приложения.

1 Задача: Извършете умножението $(x+y)(x-y)$.

Решение: Забелязваме, че тъй като умножението е комутативно имаме, че: $(x+y)(x-y)=(x-y)(x+y)$. Сега прилагаме формулата: $$(a-b)(a+b)=a^2-b^2,$$ където $a=x$ и $b=y$. Получаваме: $$(x-y)(x+y)=x^2-y^2.$$

2 Задача: Извършете умножението $(3x-4y)(3x+4y)$.

Решение: Прилагаме формулата $$(a-b)(a+b)=a^2-b^2,$$ в този случай $a=3x$ и $b=4y$. Следователно: $$(3x-4y)(3x+4y)=(3x)^2-(4y)^2=9x^2-16y^2.$$

3 Задача: Извършете умножението $(x^2-z)(x^2+z)$.

Решение: Прилагаме формулата $$(a-b)(a+b)=a^2-b^2,$$ с $a=x^2$ и $b=z$. Получаваме: $$(x^2-z)(x^2+z)=(x^2)^2-z^2=x^4-z^2.$$ Нека да припомним свойството за степенуване на степен, което използвахме в разглежданата задача: $(a^n)^m=a^{n\cdot m}$.

4 Задача: Пресметнете по рационален начин $17.23$.

Решение: Представяме $17.23$ като произведението: $$17.23=(20-3)(20+3),$$ след което прилагаме формулата $$(a-b)(a+b)=a^2-b^2.$$ Получаваме: $$(20-3)(20+3)=20^2-3^2=400-9=391.$$

5 Задача: Опростете израза $(3x-1)(3x+1)-(x-2)(x+2)$.

Решение: Използваме формулата $$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$ за двете произведения: $$(3x-1)(3x+1)=(3x)^2-1^2=9x^2-1,$$ и $$(x-2)(x+2)=x^2-2^2=x^2-4.$$ Сега изваждаме: $$9x^2-1-(x^2-4)=9x^2-1-x^2+4=8x^2+3.$$

6 Задача: Опростете израза $(x+2)^2-(x+1)(x-1)$.

Решение: Използваме формулата за квадрата на сбор: $$(x+2)^2 = x^2+4x+4,$$ и формулата за разлика на квадрати: $$(x+1)(x-1)=x^2-1.$$ Така: $$(x+2)^2-(x+1)(x-1)= \big(x^2+4x+4\big)-(x^2-1)=4x+5.$$

7 Задача: Докажете тъждеството $$(a+b)(a-b)+(b+c)(b-c)+(c+a)(c-a)=0.$$

Решение: Прилагаме формулата $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ за всяко от произведенията:
$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2, \quad (b+c)(b-c)=b^2-c^2, \quad (c+a)(c-a)=c^2-a^2.$$ Сумата им е: $$a^2-b^2+b^2-c^2+c^2-a^2=0.$$

8 Задача: Извършете умножението $(x+y+z)(x+y-z)$.

Решение: Записваме произведението като: $$[(x+y)+z]\cdot[(x+y)-z],$$ и прилагаме формулата $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ с $a=x+y$ и $b=z$: $$(x+y)^2-z^2 = x^2+2xy+y^2-z^2.$$

9 Задача: Опростете израза $(a+b)(b-a)+a(a-4c)$ и намерете числената му стойност при $a=2$, $b=-5$ и $c=3$.

Решение: Първо, забелязваме, че $$(a+b)(b-a) = -(a+b)(a-b) = -\big(a^2-b^2\big).$$ Така, $$(a+b)(b-a)+a(a-4c) = -\big(a^2-b^2\big)+a^2-4ac = -a^2+b^2+a^2-4ac = b^2-4ac.$$ Замествайки $a=2$, $b=-5$ и $c=3$ получаваме: $$(-5)^2-4\cdot2\cdot3 = 25-24=1.$$

10 Задача: Намерете числената стойност на израза $(2x-3)^2-(x-2)(x+2)-(x-1)(3x-2)$ при $x=\frac{1}{3}$.

Решение: Изчисляваме отделно:
$(2x-3)^2 = 4x^2-12x+9,$
$(x-2)(x+2)=x^2-4,$
а произведението $(x-1)(3x-2)$ умножаваме по правилото "всяко по всяко" като: $$(x-1)(3x-2)=3x^2-2x-3x+2=3x^2-5x+2.$$ След това: $$4x^2-12x+9 - (x^2-4) - (3x^2-5x+2)=4x^2-12x+9-x^2+4-3x^2+5x-2.$$ Групираме: $$(4x^2-x^2-3x^2)+(-12x+5x)+(9+4-2)=0x^2-7x+11.$$ При $x=\frac{1}{3}$: $$-7\cdot\frac{1}{3}+11 = -\frac{7}{3}+11 = \frac{-7+33}{3}=\frac{26}{3}.$$

11 Задача: Като използвате формулите за съкратено умножение пресметнете рационално $36^2-2\cdot36\cdot6+6^2$.

Решение: Това е формулата $$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2,$$ с $a=36$ и $b=6$. Затова: $$36^2-2\cdot36\cdot6+6^2 = (36-6)^2 = 30^2 = 900.$$

12 Задача: Като използвате формулите за съкратено умножение пресметнете рационално $59^2$.

Решение: Представяме $59$ като $60-1$: $$59^2=(60-1)^2 = 60^2-2\cdot60\cdot1+1^2=3600-120+1=3481.$$

13 Задача: Докажете тъждеството $$(x+y)^2+(x-y)^2=2(x^2+y^2).$$

Решение: Разкриваме лявата страна: $$(x+y)^2+(x-y)^2 = (x^2+2xy+y^2)+(x^2-2xy+y^2)=2x^2+2y^2.$$ Дясната страна: $$2(x^2+y^2)= 2x^2+2y^2.$$ Следователно, равенството е доказано.

Задачи за самостоятелна работа

1. Извършете степенуването:
а) $(1-4x)(1+4x);$ б) $(-5+a)(-5-a);$ в) $(3x^2-4y^2)(3x^2+4y^2);$ г) $\left(\frac{1}{3}x-y\right)\left(\frac{1}{3}x+y\right);$ д) $(a-b-c)(a-b+c).$

2. Пресметнете произведението, като приложите формулата за сбор по разлика на две числа:
а) $98\cdot102;$ б) $47\cdot53;$ в) $11,5\cdot10,5.$

3. Сравнете стойностите на изразите $40^2$ и $38\cdot42$.

4. Опростете изразите:
а) $(x-8)(x+8)-(x-8)^2;$ б) $(a-5)(5+a)-(1-a)^2;$ в) $(x+y)(x-y)+(x+y)^2-2xy.$

5. Намерете нормалният вид на израза:
а) $(y-2)(y+2)(y^2+4);$ б) $\left(\frac{a}{7}-\frac{6x}{5}\right)\left(\frac{a}{7}+\frac{6x}{5}\right).$

6. Пресметнете стойността на израза, като предварително го опростите:
а) $\left(2x+\frac{1}{3}\right)\left(2x-\frac{1}{3}\right)-x(4x-3)$, при $x=1;$
б) $5x^2-(3+2x)(2x-3)$, при $x=0,3;$
в) $10y^2-(2+3y)(3y-2)$, при $y=0,2$.

7. Докажете тъждеството $(x+y)(x-y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)=x^8-y^8.$

8. Докажете тъждеството $(9a-4)(a+1)+(3a-2)(-2-3a)=5a.$

9. Намерете числената стойност на израза $A=(x-3)(x-2)(x+3)-(x+2)(x^2-9)-36$, ако $x=3-|-2|$.

10. Ученик избира по случаен начин един от изразите $a^2-b^2$, $(a+b)^2$, $(c-d)^2$, $b^2-a^2$, $a^2+b^2$, $(a-b)(a+b)$, $3a-3b$. Какъв е шансът да избере израз, който е разлика от квадратите на две числа?

11. Намерете стойностите на израза $Q=q(q-1)+(2+q)(2-q)$ за всички $q$ от множеството $\{1,2,3,4,5\}$.

12. Да се намери нормалният многочлен, тъждествен на израза:
а) $(a-b)^2-2(a-b)(a+b)+(a+b)^2$;
б) $(x^2+2)^2-(x-2)(x+2)(x^2+4)$;
в) $5(a-2)(a+2)-\frac{1}{2}(8a-6)^2+38$;
г) $(a-1)(a^2+1)(a-1)-(a^2-1)^2$;
д) $2(m-n)^2-2(m+n)^2-4(m+n)(m-n)+8mn$;
е) $(2a-1)(2a+1)-\left[\frac{1}{2}(4a-3)\right]^2+(2a-13)\left(a-\frac{1}{4}\right).$

13. Вярно ли е, че при всяко $x$ от израза $C=(5-x)^2-(x-3)(x+3)+5(2x-5)$ се получава $C>0$?

Тест: Формули за съкратено умножение

1. След като умножим многочлените $(8r-5s)(8r+5s)$ се получава:

$8r^2 - 5s^2$ $64r^2 - 10rs + 25s^2$ $64r^2 - 25s^2$ $64r^2 + 25s^2$

2. След като опростим израза $(3x-5)(3x+5)+(4x-7)(4x+7)$, се получава:

$25x^2 - 14$ $25x^2 - 49$ $25x^2 - 74$ $25x^2 - 24$

3. Кой от изброените по-долу изрази е тъждествено равен на $(2y-1)(2y+1)-2y(2y-1)$?

$2y-1$ $4y$ $2y+1$ $4y-1$

4. Като приложите формулата за сбор по разлика, пресметнете $(301)(299)$

$89998$ $89999$ $90001$ $90000$

5. На колко е равно неизвестното $x$ в равенството $(x+3)(x-1) - (x-2)^2 = 2x+5$?

$x=3$ $x=1$ $x=-1$ $x=2$

6. На колко е равна стойността на израза $\Bigl(\frac{3}{4}x-5\Bigr)\Bigl(\frac{3}{4}x+5\Bigr)+9$, когато $x=8$?

21 18 25 20

7. След разкриване на скобите в израза $(5+2a-b)(5-2a+b)$ се получава:

$25-4a^2-b^2-2ab$ $25-4a^2-b^2$ $25-4a^2-b^2+2ab$ $25-4a^2-b^2+4ab$

8. За кой от изброените изрази е вярно, че той не зависи от стойността на променливата $x$?

(Изберете този, който след правилно прилагане на формулата за сбор по разлика се свежда до константа.)

$\bigl[(x-2)(x+2)(x^2+4)+ 4x(x-2)(x+2)\bigr]$ $\bigl[(x-1)(x+1)(x^2+1)+(1-x^4)\bigr]$ $\bigl[(x-2)(x+2)(x^2+4)+ (4x - x^4)\bigr]$ $\bigl[(x-3)(x+3)(x^2+9)+(9x-x^4)\bigr]$

9. Приведете в нормален вид произведението $(x^m-y^4)(x^m+y^4)$

$x^{2m} - y^8$ $x^{2m} + y^8$ $x^m - y^8$ $x^m + y^4$

10. Кой от изброените изрази е тъждествено равен на $(u+v)(u-v)(u^2+v^2)(u^4+v^4)$?

$u^8+v^8$ $u^8-v^8$ $u^4-v^4$ $u^4+v^4$

11. След като опростим израза $(x+3)(x-3) - (x^2-9)$, се получава:

$0$ $x^2+9$ $x^2-9$ $2x^2-18$

12. Кой е нормалният многочлен, тъждествено равен на $5x - x(x-1)(x+1) + x^2(x+1)$?

$x^2+5x+2$ $x^2+6x$ $x^2+5x$ $x^2+6x+1$

13. Като използвате формулите за квадрат на двучлен и сбор по разлика, пресметнете израза: $404^2 - 3\cdot404$

$162020$ $162000$ $162004$ $162010$

14. След като приведете в нормален вид произведението $\left(\frac{5}{3}x^p-\frac{2}{5}y\right)\left(\frac{5}{3}x^p+\frac{2}{5}y\right)$, се получава:

$\frac{25}{9}x^{2p}-\frac{2}{5}y^2$ $\frac{25}{9}x^{2p}-\frac{4}{25}y^2$ $\frac{25}{45}x^{2p}-\frac{8}{25}y^2$ $\frac{25}{9}x^{2p}+\frac{4}{25}y^2$

15. За кой от изброените изрази е вярно, че той не зависи от стойността на променливата $x$?

$\bigl[(x-5)(x+5)(x^2+25) + (25x-x^4)\bigr]$ $\bigl[(x-3)(x+3)(x^2+9) + (9x-x^4)\bigr]$ $\bigl[(x-1)(x+1)(x^2+1)+(1-x^4)\bigr]$ $\bigl[(x-2)(x+2)(x^2+4) - (x^4-16x)\bigr]$

Видео уроци

За да проверите знанията си върху темата "Едночлен, действия с едночлени" може да направите теста, който ще намерите в следния линк:

https://docs.google.com/forms/d/1z1cNj0UQN2onOU3cWPDA7mmWBTjGSni0dgjGIQxymMg/

За да проверите знанията си върху темата "Многочлени, действия с многочлени" може да направите теста, който ще намерите в следния линк:

https://docs.google.com/forms/d/1yDFkR7V1w3wdFPAjyRMEJEY00YXF76de1Yh289ThELE

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за националното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София, 2015

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика
13. Сп. Математика +