Формули за съкратено умножение - $(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)=a^3\pm b^3$ 7 клас

Продължаваме със следващата и последна от формулите за съкратено умножение, които се изучават в 7 клас, а именно формулата $(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)=a^3\pm b^3$. Ще разгледаме някои задачи, с които ще покажем приложенията на тази формула.

1 Задача: Извършете умножението $(3-x)(9+3x+x^2).$

Решение: Забелязваме, че даденият израз може да се запише като $(3-x)(3^2+3x+x^2).$ Прилагаме формулата $$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3,$$ като заменяме $a=3$ и $b=x$, получаваме: $$(3-x)(3^2+3x+x^2)=3^3-x^3.$$

2 Задача: Извършете умножението $(3t+2)(9t^2-6t+4).$

Решение: Даденият израз може да се запише като $$(3t+2)\Big[(3t)^2-3t\cdot2+2^2\Big].$$ Прилагаме формулата $$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3,$$ с $a=3t$ и $b=2$. Следователно: $$(3t+2)(9t^2-6t+4)=(3t)^3+2^3=27t^3+8.$$

3 Задача: Опростете израза $(x-2)(x^2+2x+4)-x(x-2)(x+2)-4(x-2).$

Решение: Прилагаме първо формулата $$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3,$$ с $a=x$ и $b=2$: $$(x-2)(x^2+2x+4)=x^3-2^3=x^3-8.$$ Също използваме $$(a-b)(a+b)=a^2-b^2,$$ за изчисляване на $$x(x-2)(x+2)=x\big(x^2-4\big)=x^3-4x.$$ И накрая изваждаме: $$(x^3-8)-\big(x^3-4x\big)-4(x-2)=x^3-8-x^3+4x-4x+8=0.$$

4 Задача: Опростете израза и намерете числената му стойност $(2y-3)(4y^2+6y+9)+(y+3)(y^2-3y+9),$ при $y=2$.

Решение: Използваме формулата $$(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)=a^3\pm b^3.$$ За първия множител избираме $a=2y$ и $b=3$: $$(2y-3)(4y^2+6y+9)=(2y)^3-3^3=8y^3-27.$$ За втория множител с $a=y$ и $b=3$: $$(y+3)(y^2-3y+9)=y^3+3^3=y^3+27.$$ Сумираме: $$8y^3-27+y^3+27=9y^3.$$ При $y=2$: $$9\cdot2^3=9\cdot8=72.$$

5 Задача: Намерете неизвестното число $x$ в равенството $(x+4)(x^2-4x+16)-x(x-2)(x+2)=8.$

Решение: Прилагаме формулата $$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3,$$ с $a=x$ и $b=4$: $$(x+4)(x^2-4x+16)=x^3+4^3=x^3+64.$$ Също така, $$x(x-2)(x+2)=x\big(x^2-4\big)=x^3-4x.$$ Равенството става: $$x^3+64-\big(x^3-4x\big)=64+4x=8.$$ Оттук: $$4x=8-64=-56,\quad x=-14.$$

6 Задача: Намерете числената стойност на израза $(x+2)(x^2-2x+4)-(2x+1)(2x-1)-9,$ ако $x=-2.$

Решение: Прилагаме формулата $$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3,$$ т.е. $$(x+2)(x^2-2x+4)=x^3+2^3=x^3+8.$$ Освен това, $$(2x+1)(2x-1)= (2x)^2-1^2=4x^2-1.$$ Така изразът става: $$x^3+8-\big(4x^2-1\big)-9=x^3+8-4x^2+1-9=x^3-4x^2.$$ При $x=-2$: $$(-2)^3-4(-2)^2=-8-16=-24.$$

7 Задача: Докажете, че стойността на израза $(2x-1)(4x^2+2x+1)-8x(x+2)(x-2)-32x+4$ не зависи от стойността на $x$.

Решение: Прилагаме формулата $$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3,$$ с $a=2x$ и $b=1$: $$(2x-1)(4x^2+2x+1)=(2x)^3-1^3=8x^3-1.$$ Забелязваме, че $$(x+2)(x-2)=x^2-4.$$ След това изразът става: $$8x^3-1-8x\big(x^2-4\big)-32x+4.$$ Разгръщаме: $$= 8x^3-1-8x^3+32x-32x+4=3.$$ Така независимо от $x$ изразът е равен на 3.

8 Задача: Докажете тъждеството $(x-1)(x^2+x+1)-(x-1)^3=3x(x-1).$

Решение: Разграждаме лявата страна:
$(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1$ (по тъждеството за куб на двучлен), а $(x-1)^3 = x^3-3x^2+3x-1.$
Изваждаме: $$(x-1)(x^2+x+1)-(x-1)^3 = \big(x^3-1\big)-\big(x^3-3x^2+3x-1\big)=3x^2-3x.$$ Дясната страна: $$3x(x-1)=3x^2-3x.$$ Следователно равенството е доказано.

Задачи за самостоятелна работа

1. Извършете умножението:
а) $(x-y)(x^2+xy+y^2);$
б) $(y^2-7)(y^4+7y^2+49);$
в) $\left(\frac{1}{2}a+b\right)\left(\frac{1}{4}a^2-\frac{1}{2}ab+b^2\right);$
г) $\left(\frac{1}{3}-2a\right)\left(\frac{1}{9}+\frac{2}{3}a+4a^2\right).$

2. Докажете тъждеството:
а) $(y-1)^3-(y+2)(y^2-2y+4)=3(-y^2+y-3);$
б) $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y).$

3. Опростете израза:
а) $(3x-4)(9x^2+12x+16)-(3x-2)^3-2x(x+4);$
б) $(x-3)^2-(x-3)(x^2+3x+9).$

4. Намерете числената стойност на израза:
а) $3(x-1)^2+(x+2)(x^2-2x+4)-(x+1)^3$ при $x=\frac{1}{27};$
б) $-\big(b-1\big)(b^2+b+1)+b(b+3)(b-3)$ при $b=\left(-\frac{1}{9}\right)^2.$

5. Даден е изразът $A=(x-m)^3-(x-m)(x^2+xm+m^2)-3mx(m+3)$, където $m$ е параметър.
а) Приведете израза в нормален вид.
б) За коя стойност на $m$ коефициентът на члена от втора степен е 18?

6. Даден е изразът $8+3(2y^2-y)-(y-3)(y^2+3y+9)+(y-2)^3:$
а) Намерете нормалния вид на дадения израз;
б) Намерете числената стойност на израза за $y=-3.$

7. Даден е изразът $a-(a-b^2)(a^2+b^4+ab^2)+(a-b^3)(a+b^3):$
а) Намерете нормалния вид на дадения израз;
б) Намерете числената стойност на израза за $a=-2.$

8. Дадено е, че $\frac{a+b}{a^3+b^3}=\frac{1}{6}$ и $a^2+b^2=10$. Намерете на колко е равно $ab.$

9. Ако имаме, че $$\frac{4(x^3-y^3)}{x^2+xy+y^2}+\frac{1}{2}\left(\frac{x^2-y^2}{x+y}\right)=35,$$ то на колко ще бъде равно $x-y$?

10. Пресметнете по рационален начин израза $$\frac{68^2-68\cdot32+32^2}{68^3+32^3}.$$

11. Докажете, че стойността на израза $$(-2y-1)^2-y(7y+1)-(y-1)^3+(y^2+y+1)(y-1)$$ не зависи от стойностите на променливата $y$.

12. Покажете, че независимо от стойността на променливата $z$ изразът $$(z^2-2z+4)(z^2+2z+4)(z+2)(z-2)-(-64+z^6)$$ е тъждествено равен на 0.

Ако искате да разгледате още допълнително решени задачи по темата, може да ги намерите във видеата ми по-долу:

За да проверите знанията си върху темата "Едночлен, действия с едночлени" може да направите теста, който ще намерите в следния линк:

https://docs.google.com/forms/d/1z1cNj0UQN2onOU3cWPDA7mmWBTjGSni0dgjGIQxymMg/

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2020
2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020
3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София
4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018
5. Текуща подготовка по математика за националното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020
6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София, 2015
7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017
8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008
9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011
10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014
11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009
12. Сп. Математика
13. Сп. Математика +