Разлагане на многочлен на множители чрез прилагане на формулите за съкратено умножение 7 клас

Често в решаването на различни задачи се налага даден многочлен да го представим като произведение от множители. Тези множители могат да бъдат, както едночлени, така и други многочлени. Например, добре известно е, че $a(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$. Ако запишем това равенство в обратен ред, тоест $a\cdot b+a\cdot c=a(b+c)$, виждаме, че сбора от едночлените $ab$ и $bc$ вече сме представили като произведение. По същия начин се записват и другите равенства, например $a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$. Ясно е, че в лявата страна имаме многочлен, а в дясната – произведение. Нека да запишем и останалите формули с разменена лява и дясна част: $$a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3=(a\pm b)^3 \quad \text{и} \quad a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2).$$ По-долу ще видим как можем да прилагаме тези равенства в конкретни задачи.

1 Задача: Да се разложи на множители многочлена $4x^2-y^2.$

Решение: Записваме израза по следния начин: $$4x^2-y^2=(2x)^2-y^2.$$ Прилагаме формулата $$(a-b)(a+b)=a^2-b^2,$$ (повече за нея може да намерите тук) като тук $a=2x$ и $b=y$. Следователно: $$4x^2-y^2=(2x-y)(2x+y).$$

2 Задача: Да се разложи на множители многочлена $p^2-(x+y)^2.$

Решение: Прилагаме отново формулата $$a^2-b^2=(a-b)(a+b),$$ като поставяме $a=p$ и $b=x+y$. Това дава: $$p^2-(x+y)^2=[p-(x+y)](p+x+y)=(p-x-y)(p+x+y).$$

3 Задача: Да се разложи на множители многочлена $16b^2-8b+1.$

Решение: За разлагането на този многочлен използваме формулата $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2.$$ (повече за нея може да намерите тук) Тук можем да запишем: $$16b^2-8b+1=(4b-1)^2.$$

4 Задача: Да се разложи на множители многочлена $8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3.$

Решение: Записваме дадения многочлен така: $$8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3=(2x)^3+3(2x)^2y+3(2x)y^2+y^3.$$ Прилагаме формулата за куб на двучлен $$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,$$ (повече за нея може да намерите тук) като в нашия случай $a=2x$ и $b=y$. Получаваме: $$(2x+y)^3.$$

5 Задача: Да се разложи на множители многочлена $64a^3+27b^3.$

Решение: Представяме многочлена във вида $$64a^3+27b^3=(4a)^3+(3b)^3.$$ Прилагаме формулата за сумата на кубове: $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),$$ (повече за нея може да намерите тук) където $a=4a$ и $b=3b$. Следователно: $$(4a)^3+(3b)^3=(4a+3b)(16a^2-12ab+9b^2).$$

6 Задача: Да се разложи на множители тричленът $x^2-8x+15.$

Решение: Записваме тричлена като $$x^2-8x+15.$$ Можем да го представим като $$(x-4)^2-1,$$ тъй като $x^2-8x+16=(x-4)^2$ и $15=16-1$. Прилагаме формулата за разлика на квадрати: $$(x-4)^2-1^2=(x-5)(x-3).$$

7 Задача: Намерете най-голямата стойност на $\frac{6}{x^2+4x+5}$ и стойността на $x$, при която се получава тя.

Решение: Представяме знаменателя: $$x^2+4x+5=(x+2)^2+1.$$ Тъй като $(x+2)^2\geq 0$ за всяко $x$, най-малкият знаменател е получен при $(x+2)^2=0$, т.е. при $x=-2$. Затова, $$\frac{6}{(x+2)^2+1}=\frac{6}{0+1}=6,$$ което е максималната стойност на дробта.

8 Задача: Да се разложи на множители многочлена $x^6-1$.

Решение: Записваме многочлена като разлика на квадрати: $$x^6-1=(x^3)^2-1^2.$$ Прилагаме формулата $$a^2-b^2=(a-b)(a+b),$$ като поставяме $a=x^3$ и $b=1$. Получаваме: $$x^6-1=(x^3-1)(x^3+1).$$ След това разлагаме всеки фактор с помощта на формулите: $$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1),\quad x^3+1=(x+1)(x^2-x+1).$$ Така: $$x^6-1=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1).$$

9 Задача: Да се разложи на множители многочлена $x^{2k}+2x^ky^l+y^{2l}$.

Решение: Многочлена можем да представим като: $$(x^k)^2+2x^ky^l+(y^l)^2.$$ Прилагаме формулата $$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2,$$ като поставяме $a=x^k$ и $b=y^l$. Получаваме: $$x^{2k}+2x^ky^l+y^{2l}=(x^k+y^l)^2.$$

Задачи за самостоятелна работа

1. Да се разложи на множители многочлена:
а) $x^2+18x+81;$ б) $4x^2-16y^2;$ в) $y^3+15y^2+75y+125;$ г) $27u^3-64v^3.$

2. Намерете числената стойност на израза $(2x-1)^2-81x^2$, при $x=1.$

3. Докажете, че ако $a+b$ се дели на 5, то $a^2-b^2$ също се дели на 5.

4. Намерете най-малката стойност на израза $x^2-10x+37$ и стойността на $x$, при която тя се достига.

5. Докажете тъждеството $$(a(x+y)+b(x-y))^2-(a(x-y)+b(x+y))^2=4xy(a-b)(a+b).$$

Видео уроци

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за националното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София, 2015

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +