Разлагане на многочлен на множители чрез прилагане на формулите за съкратено умножение 7 клас

Представяне на многочлени като произведение – Разлагане на многочлени на множители

Често в решаването на различни задачи се налага даден многочлен да го представим като произведение от множители. Тези множители могат да бъдат, както едночлени, така и други многочлени. Например, добре известно е, че a(b+c)=a\cdot b+a\cdot c. Ако запишем това равенство в обратен ред, тоест a\cdot b+a\cdot c=a(b+c), виждаме, че сбора от едночлените ab и bc вече сме представили като произведение. По същия начин се записват и другите равенства, например a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2. Ясно е, че в лявата страна имаме многочлен, а в дясната – произведение. Нека да запишем и останалите формули с разменена лява и дясна част: a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3=(a\pm b)^3 \quad \text{и} \quad a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2).

По-долу ще видим как можем да прилагаме тези равенства в конкретни задачи.

1 Задача: Да се разложи на множители многочлена 4x^2-y^2.

Решение: Записваме израза по следния начин: 4x^2-y^2=(2x)^2-y^2.

Прилагаме формулата (a-b)(a+b)=a^2-b^2,
(повече за нея може да намерите тук) като тук a=2x и b=y. Следователно: 4x^2-y^2=(2x-y)(2x+y).

2 Задача: Да се разложи на множители многочлена p^2-(x+y)^2.

Решение: Прилагаме отново формулата a^2-b^2=(a-b)(a+b),

като поставяме a=p и b=x+y. Това дава: p^2-(x+y)^2=[p-(x+y)](p+x+y)=(p-x-y)(p+x+y).

3 Задача: Да се разложи на множители многочлена 16b^2-8b+1.

Решение: За разлагането на този многочлен използваме формулата (a-b)^2=a^2-2ab+b^2.

(повече за нея може да намерите тук) Тук можем да запишем: 16b^2-8b+1=(4b-1)^2.

4 Задача: Да се разложи на множители многочлена 8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3.

Решение: Записваме дадения многочлен така: 8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3=(2x)^3+3(2x)^2y+3(2x)y^2+y^3.

Прилагаме формулата за куб на двучлен (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,
(повече за нея може да намерите тук) като в нашия случай a=2x и b=y. Получаваме: (2x+y)^3.

5 Задача: Да се разложи на множители многочлена 64a^3+27b^3.

Решение: Представяме многочлена във вида 64a^3+27b^3=(4a)^3+(3b)^3.

Прилагаме формулата за сумата на кубове: a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),
(повече за нея може да намерите тук) където a=4a и b=3b. Следователно: (4a)^3+(3b)^3=(4a+3b)(16a^2-12ab+9b^2).

6 Задача: Да се разложи на множители тричленът x^2-8x+15.

Решение: Записваме тричлена като x^2-8x+15.

Можем да го представим като (x-4)^2-1,
тъй като x^2-8x+16=(x-4)^2 и 15=16-1. Прилагаме формулата за разлика на квадрати: (x-4)^2-1^2=(x-5)(x-3).

7 Задача: Намерете най-голямата стойност на \frac{6}{x^2+4x+5} и стойността на x, при която се получава тя.

Решение: Представяме знаменателя: x^2+4x+5=(x+2)^2+1.

Тъй като (x+2)^2\geq 0 за всяко x, най-малкият знаменател е получен при (x+2)^2=0, т.е. при x=-2. Затова, \frac{6}{(x+2)^2+1}=\frac{6}{0+1}=6,
което е максималната стойност на дробта.

8 Задача: Да се разложи на множители многочлена x^6-1.

Решение: Записваме многочлена като разлика на квадрати: x^6-1=(x^3)^2-1^2.

Прилагаме формулата a^2-b^2=(a-b)(a+b),
като поставяме a=x^3 и b=1. Получаваме: x^6-1=(x^3-1)(x^3+1).
След това разлагаме всеки фактор с помощта на формулите: x^3-1=(x-1)(x^2+x+1),\quad x^3+1=(x+1)(x^2-x+1).
Така: x^6-1=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1).

9 Задача: Да се разложи на множители многочлена x^{2k}+2x^ky^l+y^{2l}.

Решение: Многочлена можем да представим като: (x^k)^2+2x^ky^l+(y^l)^2.

Прилагаме формулата a^2+2ab+b^2=(a+b)^2,
като поставяме a=x^k и b=y^l. Получаваме: x^{2k}+2x^ky^l+y^{2l}=(x^k+y^l)^2.

Задачи за самостоятелна работа

1. Да се разложи на множители многочлена:
а) x^2+18x+81; б) 4x^2-16y^2; в) y^3+15y^2+75y+125; г) 27u^3-64v^3.

2. Намерете числената стойност на израза (2x-1)^2-81x^2, при x=1.

3. Докажете, че ако a+b се дели на 5, то a^2-b^2 също се дели на 5.

4. Намерете най-малката стойност на израза x^2-10x+37 и стойността на x, при която тя се достига.

5. Докажете тъждеството (a(x+y)+b(x-y))^2-(a(x-y)+b(x+y))^2=4xy(a-b)(a+b).


Видео уроци


Използвана литература:
1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за националното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София, 2015

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +


Коментари

Популярни публикации от този блог

Триъгълник. Сбор на ъгли в триъгълник. Външен ъгъл на триъгълник 7 клас

Ъгли получени при пресичането на две прави с трета. Теореми признаци, за успоредност на две прави 7 клас

Множества. Основни понятия - обединение, сечение, разлика и допълнение на множества