Разлагане на многочлен на множители чрез прилагане на формулите за съкратено умножение 7 клас
Често в решаването на различни задачи се налага даден многочлен да го представим като произведение от множители. Тези множители могат да бъдат, както едночлени, така и други многочлени. Например, добре известно е, че a(b+c)=a\cdot b+a\cdot c. Ако запишем това равенство в обратен ред, тоест a\cdot b+a\cdot c=a(b+c), виждаме, че сбора от едночлените ab и bc вече сме представили като произведение. По същия начин се записват и другите равенства, например a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2. Ясно е, че в лявата страна имаме многочлен, а в дясната – произведение. Нека да запишем и останалите формули с разменена лява и дясна част: a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3=(a\pm b)^3 \quad \text{и} \quad a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2).
1 Задача: Да се разложи на множители многочлена 4x^2-y^2.
Решение: Записваме израза по следния начин: 4x^2-y^2=(2x)^2-y^2.
2 Задача: Да се разложи на множители многочлена p^2-(x+y)^2.
Решение: Прилагаме отново формулата a^2-b^2=(a-b)(a+b),
3 Задача: Да се разложи на множители многочлена 16b^2-8b+1.
Решение: За разлагането на този многочлен използваме формулата (a-b)^2=a^2-2ab+b^2.
4 Задача: Да се разложи на множители многочлена 8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3.
Решение: Записваме дадения многочлен така: 8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3=(2x)^3+3(2x)^2y+3(2x)y^2+y^3.
5 Задача: Да се разложи на множители многочлена 64a^3+27b^3.
Решение: Представяме многочлена във вида 64a^3+27b^3=(4a)^3+(3b)^3.
6 Задача: Да се разложи на множители тричленът x^2-8x+15.
Решение: Записваме тричлена като x^2-8x+15.
7 Задача: Намерете най-голямата стойност на \frac{6}{x^2+4x+5} и стойността на x, при която се получава тя.
Решение: Представяме знаменателя: x^2+4x+5=(x+2)^2+1.
8 Задача: Да се разложи на множители многочлена x^6-1.
Решение: Записваме многочлена като разлика на квадрати: x^6-1=(x^3)^2-1^2.
9 Задача: Да се разложи на множители многочлена x^{2k}+2x^ky^l+y^{2l}.
Решение: Многочлена можем да представим като: (x^k)^2+2x^ky^l+(y^l)^2.
Задачи за самостоятелна работа
1. Да се разложи на множители многочлена:
а) x^2+18x+81;
б) 4x^2-16y^2;
в) y^3+15y^2+75y+125;
г) 27u^3-64v^3.
2. Намерете числената стойност на израза (2x-1)^2-81x^2, при x=1.
3. Докажете, че ако a+b се дели на 5, то a^2-b^2 също се дели на 5.
4. Намерете най-малката стойност на израза x^2-10x+37 и стойността на x, при която тя се достига.
5. Докажете тъждеството (a(x+y)+b(x-y))^2-(a(x-y)+b(x+y))^2=4xy(a-b)(a+b).
Видео уроци
13. Сп. Математика +
Коментари
Публикуване на коментар