Разлагане на многочлен на множители чрез групиране 7 клас

При прилагане на методът на разлагане чрез групиране, многочленът, който трябва да разложим се представя като сбор от няколко други многочлена, като от всеки от тях ще се стремим да изнесем общ множител. Така, ако след изнасянето на общите множители във всяка от скобите остане един и същи многочлен, изнасяме и него извън скоби. Казаното ще илюстрираме с няколко примера.

1 Задача Да се пресметне по рационален начин стойността на израза $21.56+21.44+79.56+79.44.$

Решение: Забелязваме, че от първите две събираеми можем да изкараме $21$ пред скоби, а от последните две събираеми $79$, следователно $21.56+21.44+79.56+79.44=21(56+44)+79(56+44).$ Сега лесно се вижда, че отново можем да изнесем пред скоби $(56+44)$, така получаваме $(56+44)(21+79)=100.100=10 000.$

2 Задача Да се представи като произведение от два многочлена следният израз $4b(a-3)+3c(a-3).$

Решение: В този израз двучлените, които са в скобите са едни и същи и можем да ги изнесем като общ множител, т.е. $4b(a-3)+3c(a-3)=(a-3)(4b+3c).$

3 Задача Да се разложи на произведение от прости множители многочлена $ma+mb+5a+5b.$

Решение: От първите две събираеми, можем да изнесем $m$ като общ множител пред скоби, а от последните две можем да изнесем $5$, получаваме $m(a+b)+5(a+b)$, сега изнасяме $(a+b)$, от където $m(a+b)+5(a+b)=(a+b)(m+5).$ Нека отбележим, че задачата можехме да решим и по друг начин. Нека сега да групираме събираемите $ma$ с $5a$ и $mb$ с $5b$, следователно $ma+5a+mb+5b$. Сега от първите две изваждаме пред скоби общ множител $a$, а от последните две $b$, следователно $ma+5a+mb+5b=a(m+5)+b(m+5)=(m+5)(a+b).$

4 Задача Да се разложи на произведение от прости множители многочлена $amx+amy-bmx-bmy.$  

Решение: Групираме първите две и последните две събираеми и изнасяме пред скоби съответно $am$ и $bm$, следователно $amx+amy-bmx-bmy=am(x+y)-bm(x+y)$. Сега изнасяме като общ множител $(x+y)$, от където $am(x+y)-bm(x+y)=(x+y)(am-bm)$. Забелязваме, че от израза във втората скоба можем да изнесем общ множител $m$. Така окончателното решение на задачата става $m(x+y)(a-b).$

5 Задача Да се разложи на множители многочлена $y^2+(a+b)y+ab.$

Решение: Преди да преминем към разлагането на този израз ще разкрием скобитe  $y^2+(a+b)y+ab=y^2+ay+by+ab.$ Сега групираме първите две и последните две събираеми и изнасяме съответно общите множители $y$ и $b$, така получаваме $y^2+ay+by+ab=y(y+a)+b(y+a)=(y+a)(y+b).$

6 Задача Докажете, че ако $x$ и $y$ са числа с еднакви знаци, то изразът $x^3y+xy^3+3x^2+3y^2$ приема само неотрицателни стойности.

Решение: Групираме първите две и последните две събираеми като изнасяме пред скоби общите множители съответно за първите две $xy$, а за вторите две $3$, така получаваме $x^3y+xy^3+3x^2+3y^2=xy(x^2+y^2)+3(x^2+y^2)=(x^2+y^2)(xy+3)$. В първата скоба едночлените $x^2$ и $y^2$ ($x^2=x.x$, а $(+).(+)=(+)$ и $(-).(-)=(+)$, аналогично e и за $y^2$ ) са по-големи или равни на $0$, а във втората скоба съобразяваме, че произведението $xy$ ще бъде също по-голямо или равно на 0, защото $x$ и $y$ по условие са с еднакви знаци ($(+).(+)=(+)$ и $(-).(-)=(+)$). Даденият израз, ще бъде равен на $0$ само ако $x$ и $y$ едновременно са равни на $0$, защото тогава $x^2+y^2=0$, а от там и цялото произведение.

7 Задача Да се разложи на множители многочлена $x^2+5mx+4m^2.$

Решение: Даденият многочлен записваме във вида $x^2+mx+4mx+4m^2$. Сега групираме първите две и последните две събираеми, като изнасяме и общите множители (за първите две общият множител е $x$, а за вторите две $4m$), така получаваме $x^2+mx+4mx+4m^2=x(x+m)+4m(x+m)=(x+m)(x+4m).$

Задачи за самостоятелна работа

1. Да се разложи на множители многочлена:

 а) $a-b+ax-bx;$ б) $a^2+ab+ma+mb;$ в) $3a^2x+6ax-2ay-4y;$ г) $5xy^2z+5xyz^2+7y+7z;$ д)

$7ax^2+abx+7x+b.$

2. Да се докаже, че многочленът $a^3+a^2b-ab^2-b^3$ се дели на двучлена $a-b$ ($a\neq 0$).

3. Разложете на множители многочлена $12kx^2-9ky+15k-8lx^2+6ly-10l$.

4. Разложете на множители многочлена $m^3+m^2n-n^2p-mnp$ и намерете числената му стойност при $m=19,2$, $n=-19,2$ и $p=78,3$.

6. Докажете, че ако $a$ и $b$ са числа с различни знаци, то изразът $a^3b+ab^3-a^2-b^2+ab-1$ приема само отрицателни стойности. 

Ако искате да разгледате още допълнително решени задачи по темата може да го направите във видеото ми по-долу:

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020 

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за наицоналното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015 

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +