Разлагане на многочлен на множители чрез групиране 7 клас

Разлагане на многочлени на множители – Примери и задачи
При прилагане на методът на разлагане чрез групиране, многочленът, който трябва да разложим се представя като сбор от няколко други многочлена, като от всеки от тях ще се стремим да изнесем общ множител. Така, ако след изнасянето на общите множители във всяка от скобите остане един и същи многочлен, изнасяме и него извън скоби. Казаното ще илюстрираме с няколко примера.

1 Задача Да се пресметне по рационален начин стойността на израза 21.56+21.44+79.56+79.44.

Решение: Забелязваме, че от първите две събираеми можем да изкараме 21 пред скоби, а от последните две събираеми 79, следователно 21.56+21.44+79.56+79.44=21(56+44)+79(56+44).

Сега лесно се вижда, че отново можем да изнесем пред скоби (56+44), така получаваме (56+44)(21+79)=100\cdot100=10\,000.

2 Задача Да се представи като произведение от два многочлена следният израз 4b(a-3)+3c(a-3).

Решение: В този израз двучлените, които са в скобите, са едни и същи и можем да ги изнесем като общ множител, т.е. 4b(a-3)+3c(a-3)=(a-3)(4b+3c).

3 Задача Да се разложи на произведение от прости множители многочлена ma+mb+5a+5b.

Решение: От първите две събираеми можем да изнесем m като общ множител, а от последните две – 5, получаваме m(a+b)+5(a+b).

Сега изнасяме (a+b), от където: m(a+b)+5(a+b)=(a+b)(m+5).
(Задачата може да се реши и по друг начин – групирайки ma с 5a и mb с 5b, получаваме същия резултат.)

4 Задача Да се разложи на произведение от прости множители многочлена amx+amy-bmx-bmy.

Решение: Групираме първите две и последните две събираеми и изнасяме общите множители – за първите две am и за последните две bm: amx+amy-bmx-bmy=am(x+y)-bm(x+y).

Изнасяме (x+y): am(x+y)-bm(x+y)=(x+y)(am-bm).
Забелязваме, че във втората скоба можем да изнесем още m, така че окончателно: (x+y)(am-bm)=m(x+y)(a-b).

5 Задача Да се разложи на множители многочлена y^2+(a+b)y+ab.

Решение: Първо разкриваме скобите: y^2+(a+b)y+ab = y^2+ay+by+ab.

Групираме първите две и последните две събираеми и изнасяме съответно y и b: y^2+ay+by+ab = y(y+a)+b(y+a)=(y+a)(y+b).

6 Задача Докажете, че ако x и y са числа с еднакви знаци, то изразът x^3y+xy^3+3x^2+3y^2 приема само неотрицателни стойности.

Решение: Групираме първите две и последните две събираеми, като изнасяме общите множители – за първите две xy, а за последните две 3: x^3y+xy^3+3x^2+3y^2=xy(x^2+y^2)+3(x^2+y^2)=(x^2+y^2)(xy+3).

Тъй като x^2+y^2 \ge 0 за всяко x,y, и xy \ge 0 когато x и y имат еднакви знаци, изразът е неотрицателен. Той е равен на 0 само когато x = y = 0.

7 Задача Да се разложи на множители многочлена x^2+5mx+4m^2.

Решение: Записваме многочлена като: x^2+5mx+4m^2 = x^2+mx+4mx+4m^2.

Групираме първите две събираеми (изнасяме x) и последните две (изнасяме 4m): x(x+m)+4m(x+m)=(x+m)(x+4m).


Задачи за самостоятелна работа

1. Да се разложи на множители многочлена:

  • а) a-b+ax-bx;
  • б) a^2+ab+ma+mb;
  • в) 3a^2x+6ax-2ay-4y;
  • г) 5xy^2z+5xyz^2+7y+7z;
  • д) 7ax^2+abx+7x+b.

2. Да се разложи на множители многочлена:

  • а) 7(x-z)+p(x-z);
  • б) 2x(a+3b)-3y(a+3b);
  • в) (m-3)5+(m-3)3n;
  • г) (k+p)-2x(k+p);
  • д) 3x(5y-7z)+7t(5y-7z).

3. Да се разложи на множители многочлена:

  • а) 2(x-y)+3z(x-y)+4q(y-x);
  • б) 5(a+b)^2-c(a+b);
  • в) 2(p-q)^3-3m(p-q);
  • г) x+y+3(x+y);
  • д) 3(p-q)+7x(p-q)^2+4y(q-p)^3;
  • е) 2a(2x-5)+b(5-2x).

4. Пресметнете стойността на израза x^6y^2+x^3y^3-x^5y^4, за x=1 и y=2.

5. Да се разложи на множители многочлена:

  • а) 2a^m+3a^{m+1}+4a^{m+2};
  • б) (a+b+c)^2-na-nb-nc.

Видео уроци

За да проверите знанията си върху темата "Едночлен, действия с едночлени" може да направите теста, който ще намерите в следния линк:

https://docs.google.com/forms/d/1z1cNj0UQN2onOU3cWPDA7mmWBTjGSni0dgjGIQxymMg/

Използвана литература:
1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за националното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София, 2015

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Това е за DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +

Коментари

Популярни публикации от този блог

Триъгълник. Сбор на ъгли в триъгълник. Външен ъгъл на триъгълник 7 клас

Ъгли получени при пресичането на две прави с трета. Теореми признаци, за успоредност на две прави 7 клас

Множества. Основни понятия - обединение, сечение, разлика и допълнение на множества