Квадратни уравнения с параметър 8 клас

При решаването на квадратни уравнения с параметър е добре да имаме в предвид следните известни вече до момента факти. 

Първият от тях се касае до това, какво ще наричаме решение или корен на едно уравнение. Нека да го припомним, ако някой е забравил.

Определение 1: Решение (корен) на дадено уравнение ще наричаме такова число, което като го поставим на мястото на неизвестното в даденото уравнение то се превръща във вярно числово равенство. 

Пример: Нека разгледаме линейното уравнение $2x-1=0$, което очевидно има за корен числото $x=\frac{1}{2}$. Сега нека заменим $x$ в даденото уравнение с числото $\frac{1}{2}$, получаваме числовото равенство $2.\frac{1}{2}-1=0$, което очевидно е вярно и следователно $x=\frac{1}{2}$ наистина е решение на уравнението $2x-1=0$. 

Следващите факти, които ще припомним преди да преминем към решаването на квадратни уравнения с параметър са свързани с броя на корените на едно квадратно уравнение и стойностите на неговата дискриминанта. В урока за квадратни уравнения видяхме, че ако $D>0$ квадратното уравнение притежава два различни реални корена, ако $D=0$, квадратното уравнение има точно един двоен корен и накрая, ако $D<0$ уравнението няма реални корени. 

Как се решават квадратни уравнения може да си припомните в урокът ни тук, а непълни квадратни уравнения тук.

Нека сега да разгледаме някои примери.

1 Задача Намерете стойността на параметъра $t$ и решете уравнението $x^2+14x+t=0$, ако то има корен $x_1=-4$.

Решение: Тъй като числото $-4$ е корен на даденото уравнение то според Определение 1 от този урок означава, че като заменим $x$ със $-4$ в даденото уравнение ще получим вярно числово равенство, следователно $(-4)^2+14(-4)+t=0$. Последното уравнение е линейно уравнение относно параметъра $t$, от където намираме, че $t=40$. Сега квадратното уравнение, като заменим $t$ с $40$, така получаваме: 

$x^2+14x+40=0$

$a=1$, $b=14$, $c=40$

$D=14^2-4.1.40=196-160=36$

$x_{1,2}=\frac{-14\pm 6}{2}$ и $x_1=-4$ и $x_2=-10$.

2 Задача Намерете стойностите на реалния параметър $k$, при които уравнението $x^2-2x+3k-7=0$ има два различни реални корена.

Решение: Както знаем за да има едно квадратно уравнение два различни реални корена е необходимо неговата дискриминанта да бъде по-голяма от $0$. Следователно за даденото уравнение имаме, че $D=(-2)^2-4(3k-7)$ и трябва да решим линейното неравенството $4-4(3k-7)>0\iff 4-12k+28>0$ $\iff -12k>-32/:(-4)$ $\iff k<\frac{8}{3}$ т.е. $(-\infty,\frac{8}{3})$. (повече за решаване на линейни неравенства може да прочетете в урокът ни посветен на тази тема тук) Така получихме, че за $k<\frac{8}{3}$ даденото квадратно уравнение ще има два различни реални корена.

3 Задача Намерете стойностите на реалния параметър $p$, при които уравнението $2x^2+px+18=0$ има само един реален корен.

Решение: Както вече видяхме, от урокът ни за квадратни уравнения, едно квадратно уравнение има един двоен корен тогава и само тогава, когато дискриминантата му е равна на $0$. Следователно даденото уравнение, ще има един корен, когато неговата дискриминаната е равна на $0$, т.е. $D=p^2-4.2.18=p^2-144$. Сега решаваме непълното квадратно уравнение $p^2-144=0\iff (p-12)(p+12)=0$ от където намираме, че $p_1=12$, $p_2=-12$.

4 Задача Намерете стойностите на реалния параметър $m$, при които уравнението $5x^2+18x+m=0$ няма реални корени.

Решение: За да няма даденото уравнение реални корени е необходимо неговата дискриминанта да бъде по-малка от нула. Следователно решаваме неравенството $D<0\iff 18^2-4.5.m<0\iff 324-20m<0$ $\iff 20m>324\iff m>\frac{81}{5}$ т.е. $m\in [\frac{81}{5},+\infty)$.

5 Задача Решете квадратното уравнение $x^2-(k-5)x-5k=0$, където $k$ е реален параметър.

Решение: Определяме коефициентите на квадратното уравнение $a=1$, $b=-(k-5)$ и $c=-5k$. Сега пресмятаме дискриминантата $D=[-(k-5)]^2-4.1.(-5k)=(k-5)^2+20k=k^2-10k+25+20k$. Така намираме, че $D=k^2+10k+25=(k+5)^2$. Тъй като $(k+5)^2\geq 0$ за всяко $k$ следва, че уравнението има реални корени $x_{1,2}=\frac{-[-(k-5)]\pm (k+5)}{2}=\frac{k-5\pm(k+5)}{2}$. Така за $x_1$ получаваме, че $x_1=\frac{k-5+k+5}{2}=k$, а за $x_2=\frac{k-5-k-5}{2}=-5$.

6 Задача Намерете стойностите на реалния параметъра $a$, за които квадратното уравнение $(t+1)x^2+2(t+1)x+t-2=0$:

а) има два различни реални корена;

б) има два равни корена;

в) няма реални корени.

Решение: а) За да имаме два различни реални корена е необходимо $D>0$. Нека намерим дискриминантата на даденато квадратно уравнение: $D=4(t+1)^2-4(t+1)(t-2)=4(t^2+2t+1)-4(t^2-2t+t-2)=$ $=4t^2+8t+4-4t^2+4t+8=12t+12$. Сега решаваме неравенството $12t+12>0\iff t>-1$, следователно $x\in (-1,+\infty)$.

б) За да имаме два еднакви реални корена е необходимо $D=0$. От а) видяхме, че $D=12t+12$ и следователно след като решим уравнението $12t+12=0$ получаваме, че $t=-1$, но за да бъде даденото уравнение квадратно, коефициентът пред $x^2$ трябва да е различен от $0$, т.е. $t+1\neq 0\iff t\neq -1$, следователно нямаме стойности за които да имаме два еднакви реални корена и едновременно даденото уравнение да е квадратно.

в) За да няма реални корени даденото уравнение е необходимо $D<0$ т.е. решаваме неравенството $12t+12<0\iff x<-1$ и следователно $x\in (-\infty, -1)$.

Задачи за самостоятелна работа:

1. Да се реши уравнението $x^2-3ax-4a^2=0$, където $a$ е параметър.

2. Да се реши уравнението $x^2+8bx+15b^2=0$, където $b$ е параметър.

3. Да се реши уравнението $x^2-(a+2b)x+b^2+ab=0$, където $a$ и $b$ са параметри.

4. Намерете стойностите на реалния параметър $t$, за които квадратното уравнение $2x^2-3tx+7t=0$ има за корен числото $2$.

5. Намерете стойностите на реалния параметър k, при които квадратното уравнение $x^2-2x+3k-7=0$ има два различни реални корена.

6. Намерете стойностите на реалния параметър k, при които квадратното уравнение $x^2+(k+2)x+2k=0$ има eдин реален корен.

7. Намерете стойностите на реалния параметър k, при които квадратното уравнение $7x^2+4x+k+1=0$ няма реални корени.

8. Решете уравнението $tx^2+2x+1=0$, където $t$ е реален параметър.

9. Единият корен на уравнението x^2-4x+c=0 е $x_1=2-\sqrt{3}$. Кое е числото $c$?

10. За кои стойности на реалния параметър $k$ корените на уравнението $x^2-2(k+7)x+2k+13=0$ са равни?

11. Намерете числото $k$, ако знаете, че корените на уравнението $x^2-2(2k-3)x+3k^2+5k+9=0$ са равни.

12. За кои стойности на реалния параметър $m$ корените на уравнението $(m-2)x^2-(2m+1)x+m-1=0$ са реални и различни?

13. Да се докажеч, че корените на уравнението $4x^2+kx-k^2-1=0$ са реални и различни за всяко реално $k$.

Още решени и обяснени задачи може да намерите във видеото ми по-долу: