Линейни уравнения 7 клас

Продължаваме със следващата тема, от учебното съдържание на 7 клас - линейни уравнения. Нека да дадем определение на това, какво ще наричаме линейно уравнение.

Определение: Уравнение от вида $ax+b=0$, където $a$ и $b$ са числа, а $x$ е променлива, ще наричаме линейно уравнение.

Да решим едно уравнение (да намерим неговият корен) означава да намерим такова число, че като го поставим на мястото на $x$ в даденото уравнение, то да се превръща във вярно числово равенство.

Пример: Разглеждаме уравнението $3x+3=0$, сега търсим такова число, че като го поставим на мястото на  $x$ в това уравнение да получим вярно числово равенство. Решението (корена) на това уравнение е $x=-1$, защото $3.(-1)+3=0.$

В зависимост от стойностите на $a$ и $b$, на уравнението $ax+b=0$, съществуват няколко случая, на които е добре да обърнем внимание:

1 сл.) Ако $a\neq 0$ и $b\neq 0$, тогава уравнението $ax+b=0$ решаваме, като прехвърлим $b$ от дясната страна на знака $=$ и след това разделим на $a$, т.е.  $ax=-b$ и от тук $x=-\frac{b}{a}.$ 

2 сл.) Ако $a\neq 0$ и $b=0$, тогава получаваме уравнение от вида $ax=0$. Сега ясно се вижда, че щом  $a\neq 0$, тогава $x=0.$

3 сл.) Ако $a=0$ и $b=0$, получаваме уравнение от вида $0.x=0$, което очевидно е вярно за всяко едно число $x$, защото каквото и $x$ да вземем, умножено по $0$, винаги ще получаваме $0$. За това в този случай казваме, че всяко $x$ е решение.

4 сл.) Ако $a=0$ и $b\neq 0$, получаваме уравнение от вида $0.x=b$, което не е вярно, защото противоречи на правилото, че всяко число умножено по $0$ е равно на $0$, следователно в този случай не бихме намерили число $x$, което да може да превърне уравнението във вярно числово равенство. За това в тази ситуация, казваме, че уравнението няма решение.

Определение: Две уравнения ще наричаме еквивалентни, ако имат едни и същи решения или и двете нямат решение.

Пример: Уравненията $x-1=0$ и $2x-2=0$ са еквивалентни, защото имат едно и също решение, а именно $x=1$, защото $1-1=0$ и $2.1-2=0$. Уравненията $0x-3=0$ и $0x-5=0$ също са еквивалентни, защото и двете уравнения нямат решения (0.x=3 и $0.x=5$, няма как да намерим число $x$ което да превърне тези уравнения във верни числови равенства.)

Сега е време да решаваме уравнения.

1 Задача Да се реши уравнението $(x+2)(x-3)-x(x+4)=54.$ 

Решение: Разкриваме скобите и извършваме привиденията:

$x^2-3x+2x-6-x^2-4x=54$. Сега прехвърляме $x$-те от лявата страна на уравнението, а числата от дясната страна, следователно:

$x^2-3x+2x-x^2-4x=54+6$, от където след като съберем подобните едночлени отляво и числата отдясно на знака $=$ получаваме, че $-5x=60$ и като приложим правилото, че  ако $a.x=b$, то $x=-\frac{b}{a}.$

2 Задача Да се реши уравнението $(x-4)^2-(x+2)^2=3(2x-5).$

Решение: Ще разкрием скобите, в лявата страна на уравнението, като приложим формулите $(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$ (повече за тях тук), а в дясно умножаваме $3$ с $(2x-5)$, така получаваме $x^2-8x+16-(x^2+4x+4)=6x-15$, следователно $x^2-8x+16-x^2-4x-4=6x-15.$ Сега прехвърляме $x$-те лявата страна на уравнението, а числата от дясната страна и след това събираме подобните едночлени отляво и числата отдясно:

$x^2-8x-x^2-4x-6x=-15+4-16$

$-18x=-27$, и следователно $x=\frac{-27}{-18}=\frac{3}{2}.$

3 Задача Да се реши уравнението $9(z+8)-3(z-5)=25-6(1-z).$

Решение: Разкриваме скобите и извършваме привиденията:

$9z+72-3z+15=25-6+6z$, следователно $9z-3z-6z=25-6-15-72$. Така получаваме, че $0.z=-68.$ От казаното в началото на урока, няма число, което умножено по $0$ да бъде каквото и друго освен $0$, т.е. в настоящата задача, няма как да открием число $z$, което умножено с $0$ да прави $-68$, и следователно задачата няма решение.

4 Задача Да се реши уравнението $(5x+1)(5x-1)-[(3x)^2-2]=(4x+1)^2-8x.$

Решение: Забелязваме, че в даденото уравнение можем да приложим формулите за съкратено умножение $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ и $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, така получаваме:

$25x^2-1-(9x^2-2)=16x^2+8x+1-8x$, следователно $25x^2-1-9x^2+2=16x^2+8x+1-8x.$ Сега прехвърляме изразите с $x$ от лявата страна на знака $=$ а числата от дясната страна и имаме $25x^2-9x^2-16x^2-8x+8x=1-2+1$, от където $0.x=0$. Така от казаното по горе, можем да кажем, че решението на уравнението е всяко $x$, защото каквото и число да вземем, умножим ли го по $0$, винаги ще получаваме $0$, т.е. вярно числово равенство.

5 Задача Да се реши уравнението $2x^2-3(1-x)(x+2)+(x-4)(1-5x)+58=0$

Решение: Разкриваме скобите в дясната страна на уравнението за да го доведем до вида $ax+b=0$:
$2x^2-3(1-x)(x+2)+(x-4)(1-5x)+58=0$

$2x^2-3(x+2-x^2-2x)+x-5x^2-4+20x+58=0$

$2x^2+3x-6+3x^2+21x-5x^2+54=0$

$24x=-48$

$x=-2$.

6 Задача Да се реши уравнението $\frac{x+7}{2}+\frac{x-9}{7}=2.$

Решение: Привеждаме даденото уравнение под общ знаменател, който е $14$ и така получаваме:

$\frac{7(x+7)+2(x-9)}{14}=\frac{2.14}{14}$. Уравнението можем да запишем и още във вида $\frac{7(x+7)+2(x-9)-28}{14}=0.$ Ясно е, че ако в равенството $\frac{A}{B}=0$, при $B\neq 0$ следва, че $A=0$. Така след като приведем даденото уравнение под общ знаменател , за да намерим онова (или онези) числа $x$ за които $A=0$ е достатъчно да решим само $A=0$ т.е. знаменателят не е необходимо да бъде записван повече. Така от казаното до тук, за нашето уравнение получаваме:

$7(x+7)+2(x-9)-28=0$

$7x+49+2x-18-28=0$

$7x+2x=-49+18+28$

$9x=-3$ и $x=-\frac{3}{9}=-\frac{1}{3}.$

7 Задача Да се реши уравнението $\frac{2x+1}{3}-\frac{x+5}{2}=1-\frac{x+7}{6}.$

Решение: Записваме уравнението по следният начин $\frac{2x+1}{3}-\frac{x+5}{2}=\frac{1}{1}-\frac{x+7}{6}$ и привеждаме под общ знаменател, който е $6$. Следователно имаме:

$2(2x+1)-3(x+5)=6.1-1(x+7)$

$4x+2-3x-15=6-x-7$

$4x-3x+x=6-7+15-2$

$2x=12$ и $x=6$.

8. Задача Дадени са многочлените $A=1-x^2+2xy-y^2$ и $B=x^3+x^2-2$.

а) Разложете $A$ и $B$ на множители.

б) Решете уравнението $-[(x-2)^3-B]-7(x-3)(x+4)=0$ и сравнете противоположното число на корена на уравнението със стойността на $A$ при $x=3,5$ и $y=1$.

Решение: а) Ще разложим на множители първо многочленът $A=1-x^2+2xy-y^2$. Забелязваме, че можем да изнесем множител $-1$ пред скоби, пред едночлена $x^2$. Така получаваме, че $A=1-(x^2-2xy+y^2)$. Не е трудно да се види, че изразът в скобите е формулата за съкратено умножение, за квадрат на двучлен, следователно можем да запишем многочленът $A$ по следният начин $A=1^2-(x-y)^2$. Прилагаме формулата за сбор по разлика и получаваме, че $A=[1+(x-y)][1-(x-y)]=(1+x-y)(1-x+y)$.

Сега ще разложим на множители многочленът $B=x^3+x^2-2$. Забелязваме, че $B$ можем да запишем по следният начин $B=x^3-1+x^2-1$ ($-2$ в многочлена представяме, като $-2=-1-1$ и след това прилагаме разместителното свойство и групираме). Прилагаме формулата $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ за $x^3-1$ и $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ за $x^2-1$. Така получаваме, че $B=(x-1)(x^2+x+1)+(x-1)(x+1)$. Сега изнасяме общият множител $(x-1)$ пред скоби и имаме, че $B=(x-1)[(x^2+x+1)+(x+1)]=(x-1)(x^2+2x+2)$ с което тази подточка е решена. (Повече за разлагане на многочлени на множители може да видите в уроците ми свързани с тази тематика, а именно разлагане на многочлени на множители чрез изнасяне на общ множител пред скоби, разлагане чрез прилагане на формулите за съкратено умножение, разлагане чрез групиране и разлагане чрез комбинирано прилагане на изброените методи)

б) Решаваме уравнението $-[(x-2)^3-B]-7(x-3)(x+4)=0$. Заместваме $B$ в уравнението с равното му и получаваме уравнението:

$-[(x-2)^3-(x^3+x^2-2)]-7(x-3)(x+4)=0$. Сега разкриваме скобите и решаваме:

$-(x^3-6x^2+12x-8-x^3-x^2+2)-7(x^2+4x-3x-12)$

$-(-7x^2+12x-6)-7(x^2+x-12)=0$

$7x^2-12x+6-7x^2-7x+84=0$

$-19x=-90$

$x=\frac{90}{19}=4\frac{14}{19}$.

Противоположното число на корена $x=4\frac{14}{19}$ е $-4\frac{14}{19}$. Сега пресмятаме стойността на израза $A$ за $x=3,5$ и $y=1$. Така получаваме, че $A=(1-3,5+1)(1+3,5-1)=-1,5.3,5=-5,25$ и следователно $-4\frac{14}{19}>-5,25$.

Задачи за самостоятелна работа

1. Да се реши уравнението $(x+5)^2-2(x-5)(x+5)=x(1-x).$

2. Да се реши уравнението $(2x-1)^2-x(1-2x)(1+2x)-9=4(x+1)x^2-3.$

3. Да се реши уравнението $(\frac{2x+1}{2})^2-(\frac{3x+1}{3})^2=1-\frac{x+5}{6}.$

4. Да се реши уравнението $(x+2)^3-x(x+1)(x-3)=(3x-2)(x-4)+5x^2.$

5. Да се реши уравнението $\frac{(x+2)(x-3)}{4}-\frac{(x+5)^2}{3}=x-\frac{(x+7)(x-2)}{12}.$

6. Да се реши уравнението $(y+2)(y^2-2y+4)-2y(y+\frac{3}{2})^2+(y+2)^3-1=0.$

7. Да се реши уравнението $\frac{x-1}{3}+\frac{3x+1}{2}=2x+\frac{1-x}{6}.$

8. Намерете за коя стойност на параметъра $m$ двете уравнения $(x^2-x-1)^2-x^2(x^2-2x-1)=7$ и $2x-m-5=0$ са еквивалентни.

9. Ако $a=\frac{(-6)^{-10}.(-12)^5}{(-9)^{-4}.102^0}$, а $b$ е корен на уравнението $(2x-\frac{1}{2})^2-x=(3+2x)(2x-3)+\frac{1}{4}$, то намерете отношението $\frac{b}{a}.$

10. Дадени са уравнението $\frac{3+x}{2}-\frac{1}{3}(5+\frac{3-9x}{4})=\frac{x-1}{3}-1$ и многочлена $A=a^2-3a+b^2-3b+2ab$. Решете уравнението. Разложете на множители многочлена $A$. Намерете числената стойност на многочлена $A$, ако сборът $a+b$ е равен на корена на уравнението.

11. Да се реши уравнението $(3x-1)^2-\frac{(1+3x)(3x-1)}{4}-\frac{5}{4}x(x-1)=5,5x^2-13$ и да се провери дали числото $a=\frac{3.2013^2-3.2014^2}{(\frac{1}{2})^{-2}.10^3+3^3}$ е корен на уравнението.

12. Дадено е уравнението $2(x-a)(x+a)=\frac{5}{4}(x-a)^2+0,75(x+a)^2$, в което $a$ е параметър.

а) Да се реши уравнението при $a=502$.

б) Да се намерят всички стойности на параметъра $a$, за които числото $2008$ е решение на уравнението (LVII Национална олимпиада по математика - областен кръг)

13. Решете уравнението $a^2x-4(x-2a)=4a-8$, където $a$ е параметър и намерете целите стойности на $a$, за които уравнението има поне един цял отрицателен корен. (61-ва Национална олимпиада по математика - общински кръг)

14. Да се реши уравнението $\frac{x-5}{2}+\frac{x-1}{8}=\frac{10-1,5x}{-4}$. (Национална олимпиада по математика)

15. Решете уравнението $(x+3)^3-(-3x+1)^2=x(x+1)(x-1)$. (Национална олимпиада по математика) 

16. Решете уравнението $\frac{2-\frac{x-1}{2}}{2}+\frac{2-x}{-0,25}=3\frac{1}{2}(2-\frac{3x}{2})-(\frac{2}{5})^{-2}$.

17. Решете уравнението $\frac{2x-0,7}{0,4}-\frac{1-\frac{x-2}{2}}{-4}-\frac{(2x-1)^2}{4}=-(x+0,5)^2$.

18. Да се реши уравнението:

а) $(12x+5)^2-(8x-1)^2-(10x+7)(8x+3)=78$;

б) $(11x-5)^2-(10x+1)^2-(3x-20)(7x+10)=124$;

в) $(6x-1)^2(x+1)-(6x+5)^2(x-1)=14$;

г) $(10x-3)^2-4(5x-1)(5x+1)=-7$;

д) $3x-(x-\frac{1}{2})^2=x(4-x)$;

е) $(13x-4)(13x+4)-(12x-1)^2-(5x+3)^2=4$;

ж) $(9y-4)^2+(40y+1)^2-(41y-1)(41y+2)=25$;

з) $3(x-1)^2+(2-3x)^2-9(x^2-1)-1=3(x^2-6x+5)$;

и) $(7x+11)(7x-11)+4(12x+5)^2-25(5x-1)^2=27$;

к) $\frac{1}{4}+x(x+3)-(x-2)(x+2)=3x+\frac{17}{4}$;

л) $(2x-3)^2-2(2x+1)(2x-5)=3x-14$;

м) $14+(3x-2)^2-5(2x-1)^2+(6x+9)(2x-2)=(x-2)^2$;

н) $16-(2-5x)^2+25(x-3)^2=13(1-10x)$;

о) $3(y+1)-\frac{10-y}{2}=\frac{4y+11}{5}+12$.

19. Дадено е уравнението $\frac{(2x-4)^2}{-4}-\frac{4x-3}{-12}+\frac{1}{4}=\frac{1}{3}x(1-3x)$.

а) Решете уравнението.

б) Проверете дали числото $a=\frac{|-\frac{5^2.13.7}{25.7}|+(-1)^2}{5^0}$ е корен на това уравнение.

20. Да се реши уравнението $3(\frac{1}{2}-\frac{x+3}{4})=\frac{(3x-2)(3x+2)}{9}-(x-2)^2$.

 

Ако искате да разгледате още допълнително решени задачи по темата може да го направите във видеото ми по-долу:

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020 

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за наицоналното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015 

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +