Линейни неравенства с едно неизвестно 7 клас

Линейни неравенства - теория и задачи

Определение 1: Неравенство на два израза, в което едното число, означено с буква, се приема за неизвестно, се нарича неравенство с едно неизвестно.

Стойност на неизвестното, за която от дадено неравенство с едно неизвестно се получава вярно числово неравенство, се нарича решение на неравенството.

Да решим една неравенство означава да намерим всичките му решения или да установим, че неравенството няма решение.

Определение 2: Две неравенства с едно неизвестно се наричат равносилни или еквивалентни, ако:

1) решенията на първото неравенство са решения и на второто, и обратно

2) двете неравенства нямат решение

1 Задача: Решете неравенството $$4x - 4 < x + 3$$ .

Решение:

$$4x - 4 < x + 3 \iff 4x-x<4+3$$

$3x<7 \iff x<\frac{7}{3}$

Решението записваме като $x\in(-\infty;\frac{7}{3})$

2 Задача: Решете неравенството $5(x-2)>3(x+2)$.

Решение:

$5(x-2)>3(x+2) \iff 5x-10>3x+6$

$5x-3x>10+6 \iff 2x>16$

$x>8$ или $x\in (8;+\infty)$

3 Задача: Решете неравенството $(x+1)^3-(3x+2)(x+1)>(x-2)(x^2+2x+4)$.

Решение:

$(x+1)^3-(3x+2)(x+1)>(x-2)(x^2+2x+4)$

$x^3+3x^2+3x+1-(3x^2+3x+2x+2)>x^3-8$

$x^3+3x^2+3x-3x^2-3x-2x-x^3>-8+2-1$

$-2x>-6$

ВАЖНО: При деление/умножение на неравенство с отрицателно число, знакът се обръща!

$x<3$ или $x\in (-\infty; 3)$

4 Задача: Решете неравенството $\frac{2x-1}{3}-\frac{3x+2}{4}\geq\frac{x+5}{6}-\frac{x+3}{12}$ и намерете най-голямото цяло решение.

Решение:

$\frac{2x-1}{3}-\frac{3x+2}{4}\geq\frac{x+5}{6}-\frac{x+3}{12}$

$4(2x-1)-3(3x+2)\geq 2(x+5)-(x+3)$

$8x-4-9x-6\geq 2x+10-x-3$

$-x-10\geq x+7$

$-2x\geq 17 \iff x\leq -\frac{17}{2}$ ($x\leq -8.5$)

Най-голямото цяло решение е $-9$.

5 Задача: Решете неравенството $2x^2-(x-3)(2x+1)\leq 13$.

Решение:

$2x^2-(2x^2+x-6x-3)\leq 13$

$2x^2-2x^2+5x+3\leq 13$

$5x\leq 10 \iff x\leq 2$

$x\in (-\infty; 2]$

6 Задача: Намерете целите положителни решения на $\frac{5-x}{2}>1-\frac{15-x}{6}$.

Решение:

$\frac{5-x}{2}>1-\frac{15-x}{6}$

$3(5-x)>6-(15-x)$

$15-3x>6-15+x$

$-4x>-24 \iff x<6$

Целите положителни решения: 1, 2, 3, 4, 5

Задачи за самостоятелна работа

Задача 1. Решете неравенството $(x+3)(x^2-3x+9)-x(x+2)(x-2)<2(x+3,5)$

Задача 2. Решете неравенството $(x-5)^2+(1-x)(x+1)\geq -5(3+2x)$

Задача 3. Решете неравенството $\frac{3x-1}{5}-\frac{13-x}{2}>\frac{7x}{2}-\frac{11(x+3)}{6}$

Задача 4. Решете неравенството $2x+\frac{5}{4}-\frac{1}{2}\left(2-\frac{3-2x}{3}\right)<2x+\frac{5}{6}$

Задача 5. Решете неравенството $\frac{(1+x)(1-x)}{3}+\frac{2(2x+5)^2-64}{-24}\leq\frac{5x+1}{2}$ и проверете дали $A=\frac{3^{2004}+72\cdot3^{2002}}{27\cdot3^{2003}}$ е решение

Задача 6. Решете неравенствата:

а) $\frac{x+1}{2}-\frac{2-x}{5}>5$

б) $(3x+1)^3-(8-3x)(3x+8)>9x^2(3x+4)$

в) $4x(1-x)>1$

Кои са еквивалентни?

Задача 7. Намерете най-малкото нечетно естествено число решение на $(2-x)^3+(x-1)(x^2-x+1)<(5-2x)(-5-2x)$

Задача 8. Решете:

а) Уравнението $x^2(x^2-25)+(5-x)(x+5)=8(x+1)(x^2-25)$

б) Неравенството $\frac{0,2x-1}{-0,3}-\frac{3-x}{6}<3,5$

Кои корени на уравнението са решения на неравенството?

Задача 9. Намерете най-малкото цяло число решение на $(x+3)^2<(-x-4)^2-\frac{1}{2}\left(3-\frac{x-50}{2}\right)$ и проверете за $(\frac{5}{7})^{-3}$, $(11\frac{4}{7}):(2\frac{5}{11})$, $(-0,7)^{-2}$

Задача 10. За $A=(2-x^2)^2-2(2-x^2)$ и $B=\frac{2\cdot(-16)^6}{(-32)^5}$:

а) Намерете за кои $x$ е вярно $A\leq B$

б) Докажете, че за всяко $x$ е вярно $A>1,1$

Задача 11. Решете $|x-a|=2a-7$ при $a=\frac{(0,125)^{-3}}{128}$ и определете кои корени са решения на $\frac{(1-x)^2}{0,4}-\frac{3-x}{2}\geq 2\frac{1}{2}(x^2-3x)+10\frac{1}{2}$

Задача 12. Намерете най-голямото цяло решение на $1-x-\frac{x}{5}\left(\frac{x^2}{2}-\frac{(x+2)(x-2)}{3}\right)\geq \frac{(2-x)(x^2+2x+4)}{6}$

Задача 13. Намерете най-малката цяла стойност на $x$, за която $\frac{9x+5}{4}-\frac{1}{2}\left(2-\frac{3-2x}{9}\right)<7x$

Задача 14. За кои стойности на $a$ изразът $(a-8)(a+8)-a^2-2a$ е винаги положителен?

Задача 15. Съществува ли естествено $n$, за което $(n-1)^2-(n+2)(n-2)>4$?

Задача 16. За кои стойности на $c$ изразът $\frac{3c-2}{5}-3c$ е отрицателен?

Задача 17. Решете:

а) $\frac{9x+5}{4}-\frac{1}{2}\left(2-\frac{3-2x}{9}\right)<7x$

б) $\frac{(x+1)^2}{3}+2x-\frac{(2x-1)^3}{3}>\frac{x(3x-4)}{5}$

Задачи за самостоятелна работа

Още решени и обяснени задачи по темата може да намерите във видеата ми по-долу:

Използвана литература

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за националното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +