Линейни неравенства с едно неизвестно 7 клас

Преди да започнем с решаването на задачи от тезата за неравенства ще припомним някои факти.

Определение 1: Неравенство на два израза, в което едното число, означено с буква, се приема за неизвестно, се нарича неравенство с едно неизвестно.

Стойност на неизвестното, за която от дадено неравенство с едно неизвестно се получава вярно числово неравенство, се нарича решение на неравенството.

Да решим една неравенство означава да намерим всичките му решения или да установим, че неравенството няма решение.

Две неравенства с едно неизвестно се наричат равносилни или еквивалентни, ако множеството от решенията им съвпадат или казано с по друг начин, ако е изпълнено едно от следните условия:

1) решенията на първото неравенство са решения и на второто, и обратно решенията на второто неравенство са решения и на първото;

2) двете неравенства нямат решение.

1 Задача Решете неравенството $4x-4<x+3$.

Решение: За решаването на това неравенство ще процедираме, както и при уравненията, ще прехвърлим от лявата страна на знака на неравенството едночлените, в които се съдържат неизвестните, а числата ще пръхвърлим от дясната страна на знака на неравенството (важно е да не се забравя, че когато прехвърляме от едната в другата страна на знака на неравенството, както и при уравненията трябва да променяме знаците на едночлените, които прехвърламе например, ако едночленът има знак $"+"$ в лявата страна на знака на неравенството, когато го прехвърлим отдясно на знака на неравенството то знакът му се променя и става $"-"$). Така получаваме, че $4x-4<x+3\iff 4x-x<4+3$, сега извършваме действията и получаваме $3x<7$. Разделяме лявата и дясната страна на неравенството на $3$ и получаваме, че $x<\frac{7}{3}$. Решението на неравенството записваме с числов интервал $x\in(-\infty;\frac{7}{3})$. 

2 Задача Решете неравенството $5(x-2)>3(x+2)$.

Решение: За решаването на това неравенство първо ще разкрием скобите, след това ще пръхвърлим едночлените, в които участва неизвестното от лявата страна на знака на неравенството, а числата отдясно, така получаваме $5(x-2)>3(x+2)\iff 5x-10>3x+6\iff 5x-3x>10+6\iff 2x>16$. Сега в последното неравенство разделяме лявата и дясната страна на $2$ и получаваме $x>8$. Решението на неравенството записваме с числов интевал $x\in (8;+\infty)$.

3 Задача Решете неравенството $(x+1)^3-(3x+2)(x+1)>(x-2)(x^2+2x+4)$. 

Решение: За решаването на това неравество ще разкрием скобите от лявата страна на знака на неравенството и отдясната страна на знака на неравенството (като приложим формулите за съкратено умножение, където това е възможно), след това ще прехвърлим едночлените, в които участва неизвестното от едната страна на знака на неравенството, а числата от другата страна, така получаваме:

$(x+1)^3-(3x+2)(x+1)>(x-2)(x^2+2x+4)$

$x^3+3x^2+3x+1-(3x^2+3x+2x+2)>x^3-2^3$

$x^3+3x^2+3x+1-3x^2-3x-2x-2>x^3-8$

$x^3+3x^2+3x-3x^2-3x-2x-x^3>-8+2-1$

$-2x>-6$

Сега в последното неравенство ще разделим лявата и дясната му страна на $(-2)$. Така получаваме, че $x<3$ и записваме решението с числов интервал $x\in (-\infty; 3).$

ВАЖНО!!!!

Винаги, когато делим или умножаваме лявата и дясната страна на едно неравенство с отрицателно число, трябва да променим знака на неравенството т.е. ако знакът на неравенството е $">"$, след умножение или деление на отрицателно число става $"<"$ и обратно. Това важи и ако знакът на неравенството е $\geq$, след умножение с отрицателно число става $\leq$ и обратно.

4 Задача Решете неравенството $\frac{2x-1}{3}-\frac{3x+2}{4}\geq\frac{x+5}{6}-\frac{x+3}{12}$ и намерете най-голямото цяло число, което е негово решение.

Решение: Привеждаме под общ знаменател, който е $12$ и получаваме:

$\frac{2x-1}{3}-\frac{3x+2}{4}\geq\frac{x+5}{6}-\frac{x+3}{12}$

$4(2x-1)-3(3x+2)\geq 2(x+5)-(x+3)$

$8x-4-9x-6\geq 2x+10-x-3$

$8x-9x-2x+x\geq 10-3+6+4$

$-2x\geq 17$, сега делим лявата и дясната страна на неравенството на $(-2)$ и променяме знака на неравенството:

$x\leq -\frac{17}{2}$.

Сега записваме решението на неравенството с числов интервал $x\in (-\infty; -\frac{17}{2}]$. Тъй като, $-\frac{17}{2}=-8,5$, а решенията на неравенството са всички числа по-малки или равни на $-8,5$ лесно съобразяваме, че най-голямото цяло число, което е решение на неравенството е $-9$.

5 Задача Да се реши неравенството $2x^2-(x-3)(2x+1)\leq 13$.

Решение: Умножаваме изразите в скобите и след това разкриваме скобите, така имаме:
$2x^2-(x-3)(2x+1)\leq 13\iff$ $2x^2-(2x^2+x-6x-3)\leq 13\iff$ $2x^2-2x^2+5x+3\leq 0$, следователно получаваме, че $5x\leq 10$, от където $x\leq 2$. Записваме решението с числов интервила $x\in (-\infty; 2]$.

6 Задача Да се намерят целите положителни стойности на $x$, при които стойностите на израза $\frac{5-x}{2}$ са по-големи от съответните стойности на израза $1-\frac{15-x}{6}$.

Решение: От казаното в условието на задачата търсим всички стойности на $x\in\mathbb{Z^+}$ за които е изпънено неравенството:
$\frac{5-x}{2}>1-\frac{15-x}{6}$. Тъй като общият знаменател тук е $6$, тогава след привеждане под общ знаменател получаваме неравенство еквивалентно на даденото т.е.
$\frac{5-x}{2}>1-\frac{15-x}{6}\iff 3(5-x)>6-(15-x)$. Разкриваме скобите и извършваме действията:

$15-3x>6-15+x$
$-3x-x>6-15-15$

$-4x>-24$/:$(-4)$

x<6.

Следователно търсените числа са $1$, $2$, $3$, $4$ и $5$.

Задачи от линейни уравнения може да намерите тук.

Задачи за самостоятелна работа

1. Решете неравенството $(x+3)(x^2-3x+9)-x(x+2)(x-2)<2(x+3,5).$

2. Решете неравенството $(x-5)^2+(1-x)(x+1)\geq -5(3+2x)$.

3. Решете неравенството $\frac{3x-1}{5}-\frac{13-x}{2}>\frac{7x}{2}-\frac{11(x+3)}{6}$.

4. Решете неравенството $2x+\frac{5}{4}-\frac{1}{2}(2-\frac{3-2x}{3})<2x+\frac{5}{6}$.

5. Да се реши неравенството $\frac{(1+x)(1-x)}{3}+\frac{2(2x+5)^2-64}{-24}\leq\frac{5x+1}{2}$ и да се провери дали числото $A=\frac{3^{2004}+72.3^{2002}}{27.3^{2003}}$ е решение на това неравенство.

6. Решете неравенствата $\frac{x+1}{2}-\frac{2-x}{5}>5$, $(3x+1)^3-(8-3x)(3x+8)>9x^2(3x+4)$ и $4x(1-x)>1$. Кои от тях са еквивалентни?

7. Намерете най-малкото нечетно естествено число, което е решение на неравенството $(2-x)^3+(x-1)(x^2-x+1)<(5-2x)(-5-2x)$.

8. Решете уравнението $x^2(x^2-25)+(5-x)(x+5)=8(x+1)(x^2-25)$ и неравенството $\frac{0,2x-1}{-0,3}-\frac{3-x}{6}<3,5$. Кои от корените на уравнението са решения на неравенството?

9. Намерете най-малкото цяло число, за което е вярно неравенството $(x+3)^2<(-x-4)^2-\frac{1}{2}(3-\frac{x-50}{2})$. Кои от числата $(\frac{5}{7})^{-3}$, $(11\frac{4}{7}):(2\frac{5}{11})$ и $(-0,7)^{-2}$ са решения на неравенството?

10. Ако $A=(2-x^2)^2-2(2-x^2)$ и $B=\frac{2.(-16)^6}{(-32)^5}$, намерете за кои стойности на $x$ е вярно неравенството $A\leq B$. Докажете, че за всяка стойност на $x$ е вярно неравенството $A>1,1$.

11. Решете уравнението $|x-a|=2a-7$ при $a=\frac{(0,125)^{-3}}{128}$. Кои от корените му са решения на неравенството $\frac{(1-x)^2}{0,4}-\frac{3-x}{2}\geq 2\frac{1}{2}(x^2-3x)+10\frac{1}{2}$?

12. Кое е най-голямото цяло решение на неравенството $1-x-\frac{x}{5}(\frac{x^2}{2}-\frac{(x+2)(x-2)}{3})\geq \frac{(2-x)(x^2+2x+4)}{6}$?

13. Коя е най-малката цяла стойност на $x$, за която е вярно неравенството $\frac{9x+5}{4}-\frac{1}{2}(2-\frac{3-2x}{9})<7x$?

14. За кои стойности на променливата $a$ изразът $(a-8)(a+8)-a^2-2a$ приема само положителни числени стойности?

15. Има ли такова естествено число $n$, за което стойността на израза $(n-1)^2-(n+2)(n-2)$ е по-голяма от $4$?

16. За кои стойности на променливата $c$ числените стойности на израза $\frac{3c-2}{5}-3c$ са отрицателни. 

17. Да се реши неравенството: 

а) $\frac{9x+5}{4}-\frac{1}{2}(2-\frac{3-2x}{9})<7x$;

б) $\frac{(x+1)^2}{3}+2x-\frac{(2x-1)^3}{3}>\frac{x(3x-4)}{5}$.

Още обяснени и решени задачи свързани с този урок можете да намерите във видеата ми по-долу:

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020 

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за наицоналното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015 

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +