Квадрат 7 клас

Преди да преминем към решаването на задачи, нека припомним някои факти за квадрата. 

Определение 1: Прагоъгълник с две равни съседни страни се нарича квадрат.

Определение 2: Ромб с прав ъгъл се нарича квадрат.

Квадратът притежава всички свойства на успоредника, правоъгълника и ромба.

1 Задача Нека $ABCD$ е квадрат, в който диагоналите $AC$ и $BD$ се пресичат в точката $O$. Ако разстоянието от $O$ до $AB$ е $7$ cm, то намерете периметъра и лицета на квадрата $ABCD$. 

Решение:

Спускаме перпендикуляра $OЕ$, към $AB$, следователно според условието на задачата $OE=7$ cm. Нека припомним, че разстоянието от точка до права (или отсечка) е перпендикулярът спуснат от точката към правата (или отсечката). Така имаме, че $\sphericalangle AEO=\sphericalangle BEO=90^{\circ}$. Освен това, квадратът е и ромб с прав ъгъл, следователно диагоналите $AC$ и $BD$ са и ъглополовящи, от където имаме, че $\sphericalangle BAC=\sphericalangle CAD=45^{\circ}$, така за правоъгълния $\triangle AEO$, след като приложим теоремата за сбор на ъгли в триъгълник имаме, че $\sphericalangle OAE+\sphericalangle AOE+\sphericalangle AEO=180^{\circ}$ т.е. $45^{\circ}+\sphericalangle AOE+90^{\circ}=180^{\circ}$ и така намираме, че $\sphericalangle AOE=45^{\circ}$. Така получихме, че $\triangle AEO$ е равнобедрен и $AE=OE=7$ cm. По аналогичен начин, ако разгледаме $\triangle BEO$ ще получим, че $\sphericalangle BOE=45^{\circ}$ и $BE=OE=7$ cm, но $AB=AE+BE=14$ cm. Сега не е трудно да пресметнем периметъра и лицето на квадрата. Тъй като $AB=BC=CD=DA$, следва, че $P_{ABCD}=4.AB=4.14=56$ cm. За лицето имаме, че $S_{ABCD}=AB^2=14^2=196$ $cm^2$.

2 Задача Докажете, че правоъгълник с перпендикуларни диагонали е квадрат.

Решение:

Нека имаме правоъгълника $ABCD$, за който е дадено, че $AC\perp BD$, т.е. (1) $\sphericalangle AOD=\sphericalangle AOB=\sphericalangle BOC=\sphericalangle COD=90^{\circ}$. Тъй като за всеки правоъгълник е изпълнено, че (2) $AO=CO=BO=DO$ следва, че триъгълниците $AOD$, $AOB$, $BOC$ и $COD$ са равнобедрени правоъгълни триъгълници, освен това диагоналите $AC$ и $BD$ са ъглополовящи. Тъй като $AD=BC$ и $AB=CD$ (свойство на успоредника и в това число и на правоъгълника), ще докажем че $AB=AD$, а от там ще следва и, че всички страни са равни, от където ще получим и, че $ABCD$ е квадрат. 

Разглеждаме триъгълниците $AOD$ и $AOB$.

1) $\sphericalangle AOD=\sphericalangle AOB=90^{\circ}$ (от (1));

2) $DO=BO$ (от (2));

3) $AO$ - обща,

следователно $\triangle AOD\cong\triangle AOB$ по I признак, от където следва, че $AB=AD$ и от тук получаваме, че $ABCD$ е квадрат.

3 Задача Точка $M$ е произволна точка от страната $BC$ на квадрата $ABCD$. Ъглополовящата на $\sphericalangle MAD$ пресича страната $DC$ в точка $P$. Да се докаже, че $AM=DP+MB$. 

Решение:

Построяваме $BK$, така че $BK=DP$ и нека $\sphericalangle DAP=\sphericalangle PAM=\alpha$ ($AP$ е ъглополовяща на $\sphericalangle MAD$ по условие). Разглеждаме триъгълниците $APD$ и $AKB$
1) $DP=BK$ (по построение);
2) $AD=AB$ ($ABCD$ е квадрат по условие);
3) $\sphericalangle ADP=\sphericalangle ABK=90^{\circ}$ (от $ABCD$ квадрат), следователно $\triangle APD=\triangle AKB$ по I признак. Така имамае, че $\sphericalangle DAP=\sphericalangle BAK=\alpha$. Имаме, че $\sphericalangle MAB=90^{\circ}-2\alpha$, от където получаваме, че $\sphericalangle AMB=2\alpha$. Тъй като $\sphericalangle BAK=\alpha$, а $\sphericalangle ABK=90^{\circ}$,следва, че $\sphericalangle AKB=90^{\circ}-\alpha$. Така получаваме, че $\triangle AKM$ е равнобедрен ($\sphericalangle MAK=\sphericalangle BAK+\sphericalangle MAB=\alpha+90^{\circ}-2\alpha=90^{\circ}-\alpha$ и $\sphericalangle MAK=\sphericalangle MKA=90^{\circ}-\alpha$). Така от това, че триъгълникът $AKM$ е равнобедрен имаме, че $AM=MK$, но $MK=MB+BK$, от където исканото равенство е доказано ($AM=MK$ и $BK=DP$, като ги заменим получаваме точно исканото равенство от условието на задачата). 

Задачи за самостоятелна работа

1. Точките $E$ и $F$ от диагонала на квадрата $ABCD$ са такива, че $AE=CF=AB$. Докажете, че $BEDF$ е ромб и намерете градусната мярка на ъглите му.

2. Даден е квадрат $ABCD$. Точка $E$ е от страната $AB$. Перпендикулярът, издигнат от върха $C$ към $EC$, пресича правата $AD$ в точка $F$. Ъглополовящата на $\sphericalangle ECF$ пресича правата $AB$ в точка $M$. Докажете, че $MC$ е ъглополовяща на $\sphericalangle FME$.

3. Външно за квадрата $ABCD$ са построени равностранните триъгълници $ABM$ и $BCN$. Намерете ъглите на $\triangle MND$.

4. В квадрата $ABCD$ е построен лъч с начало точка $B$, който минава през вътрешността на квадрата и образува ъгъл $65^{\circ}$ с $BC$. Ако точка $Q$ е петата на перпендикуляра, спуснат от точка $D$ към построения лъч, намерете големината на $\sphericalangle DCQ$.

5. В квадрата $ABCD$ е вписан равностранният $\triangle APQ$, като върховете му $P$ и $Q$ лежат съответно върху страните $BC$ и $DC$. Ако точка $F$ е средата на $AQ$ и $DF=2$ cm, намерете периметъра на $\triangle APQ$.

6. Точките $E$ и $F$ са от диагонала $AC$ на квадрата $ABCD$ и $AE=CF$. Докажете, че $BFDE$ е ромб.

7. Точките $M$, $N$, $P$ и $Q$ са съответно върху страните $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ на квадрата $ABCD$. Докажете, че $MP\perp NQ$ тогава и само тогава, когато $AM+CP=BN+DQ$.

8. Точките $E$ и $F$ са от диагонала $AC$ на квадрата $ABCD$ и са такива, че $AE=CF=AB$. Докажете, че $BEDF$ е ромб и намерете градусните мерки на ъглите му.

9. Нека $ABCD$ е квадрат и точките $M$, $N$, $P$ и $Q$ са съответно от страните ме $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ така, че $MP\perp NQ$. Докажете, че $MP=NQ$. 

10. През върха $A$ на квадрата $ABCD$ е построена произволна права, която пресича страната $BC$ в нейна вътрешна точка $M$. Ъглополовящата на $\sphericalangle MAD$ пресича страната $DC$ в точката $P$. Докажете, че $AP=DP+MB$.

11. Даден е квадратът $ABCD$. Точката $E$ е от страната $AB$. Перпендикулярът, издигнат от върха $C$ към $EC$, пресича правата $AD$ в точка $F$. Ъглополовящата на $\sphericalangle ECF$ пресича правата $AB$ в точка $M$. Докажете, че $MC$ е ъглополовяща на $\sphericalangle FME$.

Още обяснени и решени задачи свързани с този урок можете да намерите във видеото ми по-долу:

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020 

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за наицоналното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015 

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +