Ромб 7 клас

Нека да припомним следните факти свързани с ромба, които ще използваме при решаването на задачи.

Определение 1: Успоредник с равни съседни страни се нарича ромб.

Следващите две теореми, ще ни дадат възможност да определяме, кога даден четириъгълник е ромб.

Теорема 1: Успоредник, на който диагоналите са взаимно перпендикулярни, е ромб.

Теорема 2: Четириъгълник, на който всички страни са равни е ромб.

Следващите две теореми пък ни дават свойствата, които притежава ромба.

Теорема 3: В ромба диагоналите са взаимно перпендикулярни.

Теорема 4: В ромба диагоналите са ъглополовящи на ъглите му.

Сега накрая преди да преминем към задачите, нека кажем, че ромба е вид успоредни, и той притежава всички свойства на успоредника.

1 Задача Намерете лицето на ромб, чиито диагонали са $7$ cm и $10$ cm.

Решение: 

Нека е даден ромба $ABCD$ и $AC=10$ cm и $BD=7$ cm. Тъй като $ABCD$ e ромб това означава, че е и успоредник и следователно $AO=OC=5$ cm $BO=OD=3,5$ cm (в успоредника, диагоналите взаимно се разполовяват, повече за успоредника може да прочетете тук). Освен това, според Теорема 1 от този урок имаме, че $\sphericalangle AOB=\sphericalangle BOC=\sphericalangle COD=\sphericalangle DOA=90^{\circ}$, следователно триъгълниците $AOB$, $BOC$, $COD$ и $DOA$ са правоъгълни. Нещо повече тъй като $AB=BC=CD=AD$ (защото, $ABCD$ е ромб, а в ромба всички страни са равни) са хипотенузи в тези триъгълници, а $AO$, $OC$, $BO$ и $OD$ са катети в тях, като приложим специалният признак за еднаквост на два правоъгълни триъгълника ще получим, че $\triangle AOB\cong\triangle BOC\cong\triangle COD\cong\triangle DOA$ по IV признак (повече за специалният признак за еднаквост на два правоъгълни триъгълника може да прочетете тук). Така, сега за да намерим лицето на ромба, е достатъчно да намерим лицето на един от тези правоъгълни триъгълници и да го умножим по четири т.е. изпълнено е равенството $S_{ABCD}=4.S_{\triangle AOB}$. Така $S_{\triangle AOB}=\frac{AO.OB}{2}=\frac{5.3,5}{2}=8,75$ $cm^2$, така за лицето на ромба получаваме $S_{ABCD}=4.8,75=35$ $cm^2$ с което задачата ни е решена.

2 Задача Един от ъглите на успоредник е $72^{\circ}$. Определете другите ъгли на успоредника. Може ли този успоредник да е ромб?

Решение:

Нека разгледаме, успоредника $ABCD$ и да прекараме диагоналите му $AC$ и $BD$, които се пресичат в точката $O$. Нека още $\sphericalangle BAD=72^{\circ}$, следователно $\sphericalangle ABC=180^{\circ}-72^{\circ}=108^{\circ}$. Да допуснем, че $ABCD$ е ромб (в математиката този подход се използва много често при доказването на теореми или решаването на задачи допускаме, че дадено твърдение е истина и ако след това достигнем до противоречие значи това твърдение не е истина, ако няма противоречие, значи твърдението е истина и нашето допускане е правилно). Следователно $\sphericalangle DAC=\sphericalangle CAB=36^{\circ}$ (диагоналите $AC$ и $BD$ в ромба са ъглополовящи) и $\sphericalangle ABD=\sphericalangle DBC=54^{\circ}$. Така, ако разгледаме $\triangle AOB$ за $\sphericalangle AOB$ имаме, че $\sphericalangle AOB=180^{\circ}-(36^{\circ}+54^{\circ})=90^{\circ}$, от където получихме, че диагоналите $AC$ и $BD$ са взаимно перпендикулярни и според Теорема 1 имаме, че успоредникът $ABCD$ е ромб. Следователно отговорът на въпроса дали може този успоредник да е ромб е "Да, може."

Задачи за самостоятелна работа

1. Периметърът на ромба $ABCD$ е $60$ cm, а диагоналът $BD=15$ cm. Намерете острия ъгъл на ромба.

2. Да се намерят ъглите на ромб, ако:
а) височината, прекарана през върха на единия от тъпите ъгли на ромба разполовява страната;
б) периметърът на ромба е $40$ cm, а височината му е $5$ cm.

3. През пресечната точка $O$ на диагоналите на ромба $ABCD$ минават правите $MN\perp AB$ и $PQ\perp BC$ ($M\in AB$, $N\in DC$, $P\in BC$, $Q\in AD$). Докажете, че $MQNP$ е успоредник. 

4. Даден е равнобедрен $\triangle ABCD$ ($AC=BC$). Точките $M$, $N$ и $K$ са среди съответно на страните $AB$, $BC$ и $AC$. Докажете, че $MNCK$ е ромб.

5. За ромба $ABCD$ ($\sphericalangle A<90^{\circ}$) са построени ъглополовящите $AM$ и $CN$ ($M\in DC, N\in AB$) съответно на ъглите $DAC$ и $ACB$.
а) Докажете, че четириъгълникът $NBMD$ е успоредник.
б) Ако $AM=BD$, докажете, че $\triangle AND$ е равнобедрен.

6. Да се намерят ъглите на ромб, в който:

а) единият диагонал образува с една от страните му ъгъл $37^{\circ}$;

б) височината му разполовява страната, към която е прекарана;

в) периметърът му е $20$ $cm$, а височината - $2,5$ $cm$.

7. Даден е ромбът $ABCD$ с ъгъл $60^{\circ}$. Върху страните му $AB$ и $BC$ са отбелязани точките $M$ и $P$ така, че $BM+BP=AD$. Да се докаже, че триъгълникът $DMP$ е равностранен.

8. Да се намери лицето на ромб с остър ъгъл $30^{\circ}$ и страна $10$ $cm$.

9. Да се намери лицето на ромб с диагонали $15$ $cm$ и $20$ $cm$.

10. Даден е ромбът $ABCD$ с периметър $42$ $cm$. Да се намери дължината на по-малкия му диагонал, ако ъглополовящата на $\sqphericalangle BAC$, образува с $BD$ ъгъл, равен на $75^{\circ}$.

Още обяснени и решени задачи свързани с този урок можете да намерите във видеото ми по-долу:

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020 

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за наицоналното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015 

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +