Успоредник 7 клас

Преди да преминем към решаването на задачи от тази тема, нека припомним някои важни факти за успоредника.

Определение 1: Четириъгълник, на който двойките срещуположни страни са успоредни, се нарича успоредник.

Следващите три теореми ще ни дават възможност да определяме, кога даден четириъгълник е успоредник, за това те се наричат теореми - признаци.

Теорема 1: Четириъгълник, на който срещуположните страни са равни, е успоредник.

Теорема 2: Четириъгълник, на който една двойка срещуположни страни са успоредни и равни, е успоредник.

Теорема 3: Четириъгълник, на който диагоналите взаимно се разполовяват, е успоредник.

Следващите две теореми и две следствия пък ни дават свойствата, които притежава успоредника.

Теорема 4: В успоредника двойките срещуположни страни са равни.

Следствие 1: В успоредника срещуположните ъгли са равни.

Слествие 2: В успоредника сборът на прилежащите на коя да е страна ъгли е $180^{\circ}$.

Теорема 5: В успоредника диагоналите взаимно се разполовяват.

1 Задача Да се намерят ъглите на успоредник, ако ъгълът между височините му през върха на един от неговите остри ъгли е $140^{\circ}$.
Решение:

Нека $AE$ и $AF$ са височините съответно към страните $CD$ и $BC$. Нека още $\sphericalangle DAB=\alpha$, следователно от Следствие 2 в този уроки имаме, че $\sphericalangle ABC=180^{\circ}-\alpha$ (защото $\sphericalangle DAB+\sphericalangle ABC=180^{\circ}$). Освен това ъглите $ABC$ и $ABF$ са съседни ъгли (повече за съседните ъгли може да намерите тук), от където следва, че $\sphericalangle ABF=\alpha$ и $\sphericalangle FAB=90^{\circ}-\alpha$ (защото $\triangle BFA$ е правоъгълен и $\sphericalangle AFB=90^{\circ}$). От друга страна $\sphericalangle BAD=\sphericalangle ADE=\alpha$ (защото $AB\parallel CD$, тъй като $ABCD$ е успоредник и двата ъгъла са равни, защото са двойка кръстни ъгли), а $\sphericalangle DAE=90^{\circ}-\alpha$ (защото $\triangle DAE$ е правоъгълен и $\sphericalangle DAE=90^{\circ}$). Ъгълът между двете височини в успоредника $ABCD$ е $\sphericalangle EAF$ и $\sphericalangle EAF=\sphericalangle DAE+\sphericalangle DAB+\sphericalangle BAF=90^{\circ}-\alpha+\alpha+90^{\circ}-\alpha=140^{\circ}$ ($\sphericalangle EAF=140^{\circ}$ по условие), следователно получаваме равенството $180^{\circ}-\alpha=140^{\circ}$ и $\alpha=40^{\circ}$, т.е. $\sphericalangle BAD=\sphericalangle DCB=40^{\circ}$ и $\sphericalangle ADC=\sphericalangle ABC=140^{\circ}$.

2 Задача Периметърът на успоредника $ABCD$ е равен на $60$ cm. Ъглополовящите на ъглите $A$ и $B$ пресичат страната $CD$ съответно в точките $M$ и $N$. Намерете страните на успоредника, ако $MN=3$ cm.
Решение:

Нека $\sphericalangle DAM=\sphericalangle MAB=\alpha$ ($AM$ е ъглополовяща по условие), $\sphericalangle ABN=\sphericalangle CBN=\beta$ ($BN$ е ъглополовяща по условие), $AB=CD=a$ и $AD=BC=b$. От $AB\parallel CD$ ($ABCD$ е успоредник) следва, че $\sphericalangle BAM=\sphericalangle AMD$ (кръстни ъгли, повече за тях може да прочетете тук), от където получаваме, че $\triangle AMD$ е равнобедрен и $AD=DM=b$. Освен това $\sphericalangle ABN=\sphericalangle BNC$ (отново кръстни ъгли), следователно $\triangle BCN$ е равнобедрен и $BC=NC=b$. Така получихме, че $CD=DM+3+CN=2b+3$, т.е. $a=2b+3$. За периметъра на успоредника $ABCD$ имаме $P_{ABCD}=2(a+b)$, следователно $60=2(2b+3+b)\iff 60=2(3b+3)\iff 30=3b+3$ и така получаваме, че $3b=27$ и $b=9$ cm, а $a=2.9+3=21$ cm, с което задачата е решена.

Задачи за самостоятелна работа

1. В успоредника $ABCD$ ъглополовящите на ъглите $A$ и $B$ се пресичат в точка $M$ от страната $CD$. Докажете, че $M$ е среда на $CD$ и $AB=2AD$.

2. Нека $M$ и $N$ са средите съответно на страните $AB$ и $CD$ на успоредника $ABCD$. Докажете, че четириъгълниците $AMND$ и $MBCN$ са успоредници.

3. Докажете, че ако диагоналът $AC$ в успоредника $ABCD$ е ъглополовяща на ъгъл $A$, то диагоналът $BD$ е перпендикулярен на $AC$.

4. Докажете, че ако един четириъгълник има двойка успоредни страни и двойка равни срещуположни ъгли, той е успоредник.

5. Нека $K$ е пресечната точка на ъглополовящите на $\sphericalangle BAD$ и $\sphericalangle ADC$ на успоредника $ABCD$. Докажете, че $\sphericalangle AKD=90^{\circ}$.

6. Да се намерят ъглите на успоредник $ABCD$, ако:

а) $\sphericalangle A:\sphericalangle B=3:7$;

б) ъгълът между ъглополовящата на $\sphericalangle A$ и страната $DC$ е $27^{\circ}30^{\prime}$;

в) диагоналът $AC$ образува със страните $AB$ и $AD$ ъгли, равни съответно на $25^{\circ}$ и $35^{\circ}$.

7. Да се намерят страните на успоредника $ABCD$, ако периметърът му е $25,6$ cm и :

а) $AB-BC=2$ $cm$;

б) едната от частите, на които се разделя страната $CD$ от ъглополовящата на ъгъл $B$, е $4$ $cm$.

8. Периметърът на успоредника $ABCD$ е $36$ $cm$. Да се намерят страните му, ако разликата на периметрите на триъгълниците $ABO$ и $BCO$ е $2$ $cm$, където $O$ е пресечната точка на диагоналите на успоредника.

9. Да се намери диагоналът $AC$ на успоредника $ABCD$, ако периметърът му е $36$ $cm$, а периметърът на $\triangle ABC$ е $34$ $cm$.

10. Ъглополовящата на $\sphericalangle A$ на успоредника $ABCD$ пресича правата $CD$ в точка $M$. Да се намери периметърът на успоредника, ако $MC=12$ $cm$ и $MD=20$ $cm$.

11. Даден е успоредникът $ABCD$. Да се докаже, че при пресичането на ъглополовящите на два от ъглите на успоредника и ъглополовящите на външните му ъгли при другите му два върха се получава правоъгълник.

12. Да се докаже, че средите на страните на всеки успоредник са върхове на успоредник.

13. Да се докаже, че ако през пресечната точка на диагоналите на успоредник се прекара права, то отсечката от тази права, ограничена от страните на успоредника, се разполовява от пресечната точка на диагоналите му.

14. Даден е успоредникът $ABCD$. През пресечната точка на диагоналите му са прекарани две прави, които пресичат страните на успоредника съответно в точките $M$, $N$, $P$ и $Q$. Да се докаже, че четириъгълникът $MPNQ$ е успоредник.

15. Височината $DM$ към страната $AB$ на успоредника $ABCD$ разполовява тази страна. Да се намери периметърът на успоредника, ако:

а) $AM=4$ $cm$ и $BD=6$ $cm$; б) $BD=10$ $cm$ и $\sphericalangle A=60^{\circ}$.

16. Да се докаже, че ако ъглополовящите на два от ъглите на даден успоредник се пресичат в точка, лежаща на една от страните му, то страните на този успоредник се отнасят както $2:1$.

17. Периметърът на даден успоредник $ABCD$ е $30$ $cm$. През $D$ е прекарана ъглополовящата на външния ъгъл на успоредника, която пресича продълженията на $AB$ и $BC$ съответно в точките $M$ и $P$. Да се докаже, че триъгълникът $BMP$ е равнобедрен и да се намери бедрото му.

18. Периметърът на успоредник е $44$ $cm$, а ъглополовящата на един от ъглите му го дели на две фигури, разликата от периметрите на които е $4$ $cm$. Да се намерят страните на успоредника.

19. Даден е успоредникът $ABCD$ с периметър $42$ $cm$. Ъглополовящите на ъглите, прилежащи на $AB$, пресичат правата $CD$ в точките $M$ и $P$. Да се намерят страните на успоредника, ако $MP=3$ $cm$.

20. Даден е успоредникът $ABCD$, в който $AB=2BC$, $M$ е средата на $AB$ и $\sphericalangle BAD<150^{\circ}$. От $C$ е прекарана права, перпендикулярна на правата $AD$, която я пресича в точка $E$. Да се докаже, че $\sphericalangle BME=3.\sphericalangle AEM$. Каква зависимост има между тези ъгли, ако $\sphericalangle BAD>150^{\circ}$.

21. Две от страните на успоредник са $a$ и $b$, а един от ъглите му е $150^{\circ}$. Да се намери лицето на успоредника.

22. Даден е успоредникът $ABCD$ с периметър $62$ $cm$. Права, минаваща през пресечната точка на диагоналите му, пресича $AB$ и $CD$ съответно в точките $M$ и $K$, като $MB=5$ $cm$, а $KC=12$ $cm$. Да се намерят:

а) страните на успоредника;

б) лицето на успоредника, ако е дадено още, че един от ъглите му е равен на $150^{\circ}$.

Още обяснени и решени задачи свързани с този урок можете да намерите във видеото ми по-долу:

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020 

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за наицоналното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015 

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +