Правоъгълник 7 клас

Преди да преминем към задачите от този урок, нека споменем някои важни факти за правоъгълника.

Определение 1: Успоредник с прав ъгъл се нарича правоъгълник.

Следващите две теореми се наричат теореми - признаци и с тяхна помощ можем да кажем, кога един четириъгълник или успоредник е правоъгълник.

Теорема 1: Успоредник с равни диагонали е правоъгълник.

Теорема 2: Четириъгълник с три прави ъгъла е правоъгълник.

Следващата теорема ни дава информация за едно от свойствата на правоъгълника.

Теорема 3: В правоъгълника диагоналите са равни.

Тъй като правоъгълника е вид успоредник, той притежава абсолютно всички свойства на успоредника (повече за свойствата на успоредника може да намерите тук).

1 Задача За правоъгълника $ABCD$ точка $O$ е пресечна точка на диагоналите и $\sphericalangle BOC=60^{\circ}$. Докажете, че:

а) $\triangle AOD$ е равностранен;

б) $\sphericalangle DBA=30^{\circ}$.

Решение:

а) 

Тъй като $ABCD$ е правоъгълник, то той е и успоредник. Едно от свойствата на успоредника е, че диагоналите му взаимно се разполовяват, следователно $AO=CO$ и $BO=DO$, но от друга страна според Теорема 3 от този урок $AC=BD$, от където получаваме, че $AO=CO=BO=DO$ и $\sphericalangle BOC=\sphericalangle AOD=60^{\circ}$ (връхни ъгли, повече за тях може да прочетете тук) следоватерно $\triangle AOD$ е равнобедрен. Но ние знаем, че равнобедрен триъгълник, на който единия от ъглите е равен на $60^{\circ}$ е равностранен, следователно $\triangle AOD$ е равностранен.

б) Тъй като от подточка а) показахме, че $\triangle AOD$ е равностранен от това следва, че $\sphericalangle ADO=\sphericalangle AOD=\sphericalangle DAO=60^{\circ}$. Триъгълникът $ADB$ е правоъгълен, защото $\sphericalangle DAB=90^{\circ}$. Така получаваме, че $\sphericalangle DBA=180^{\circ}-(\sphericalangle DAB+\sphericalangle ADO)=180^{\circ}-(90^{\circ}+60^{\circ})=30^{\circ}$, с което задачата е решена.

2 Задача Диагоналите на правоъгълника $ABCD$ се пресичат в точката $O$. Симетралата на отсечката $OB$ минава през върха $C$. Намерете големината на ъглите $\sphericalangle BAO$ и $\sphericalangle DOA$.

Решение: 

Тъй като в условието на задачата ни е казано, че $s_{OB}$ минава през точката $C$, следва че $OC=BC$ (свойство на симетралата, може да научите повече тук). Така имаме, че $\triangle BOC$ е равнобедрен, но като вземем в предвид, че $OC=BC$ (Теорема 3) имаме, че $\triangle BOC$ е равностранен и $\sphericalangle BOC=\sphericalangle OCB=\sphericalangle OBC=60^{\circ}$. Ъглите $BOC$ и $DOA$ са връхни, от където $\sphericalangle BOC=\sphericalangle DOA=60^{\circ}$. Тъй като $\sphericalangle BOC=60^{\circ}$ и $\sphericalangle BOA$ са съседни ъгли следва, че $\sphericalangle BOA=120^{\circ}$, но $\triangle AOB$ е равнобедрен от където следва, че $\sphericalangle BAO=\sphericalangle ABO=30^{\circ}$, с което задачата е решена.

Задачи за самостоятелна работа

1. Намерете ъгъла между диагоналите на правоъгълник, ако едната му страна е два пъти по-малка от диагонала му.

2. Докажете, че ако симетралата на някоя от страните на успоредник го разделя на две равнолицеви части, този успоредник е правоъгълник.

3. В правоъгълника $ABCD$ точка $M$ е среда на $BC$ и $AM\perp MD$. Ако $P_{ABCD}=48$ cm, намерете $S_{ABCD}$.

4. В правоъгълника $ABCD$ диагоналите $AC$ и $BD$ се пресичат в точката $O$. Точката $H$ е петата на перпендикуляра, спуснат от върха $A$ към $BD$. Ъглополовящата на $\sphericalangle CAH$ пресича страната $CD$ в точка $L$. Ако $\sphericalangle BOC=50^{\circ}$, докажете, че $\triangle ALD$ е равнобедрен.

5. В правоъгълника $ABCD$ диагоналите $AC$ и $BD$ се пресичат в точката $O$. Точките $M$ и $N$ са съответно от отсечките $AB$ и $OB$ и са такива, че $OM=ON$. Докажете, че $\sphericalangle AOM=2\sphericalangle BON$.

6. Да се намерят страните на правоъгълник, периметърът на който е $20$ $cm$, а разликата на разстоянията от пресечната точка на диагоналите до страните му е $1$ $cm$.

7. Една от страните на даден правоъгълник е два пъти по-малка от диагонала му:

а) да се намери ъгълът между диагоналите на правоъгълника;

б) да се докаже, че разстоянието от края на единия диагонал на правоъгълника до другия му диагонал е равно на разстоянието от пресечната точка на диагоналите до по-малката страна на правоъгълника.

8. В правоъгълника $ABCD$ са прекарани ъглополовящите на $\sphericalangle A$ и $\sphericalangle C$, които пресичат $CD$ и $AB$ съответно в точките $M$ и $P$:

а) да се определи видът на четириъгълника $AMCP$;

б) да се докаже, че $MP$ минава през средата на $BD$.

9. В правоъгълника $ABCD$ е прекаран перпендикулярът от $D$ към $AC$, който образува с $BD$ ъгъл $26^{\circ}$. Да се намерят ъглите между $AC$ и страните на правоъгълника както и ъгълът между диагоналите му.

Още обяснени и решени задачи свързани с този урок можете да намерите във видеото ми по-долу:

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020 

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за наицоналното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015 

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +