Биквадратни уравнения 8 клас

Определение 1: Уравнение от вида $ax^4+bx^2+c=0$, където $a\neq 0$ се нарича биквадратно уравнение. 

Тук $a$, $b$ и $c$ са реални числа и се наричат коефициенти на биквадратното уравнение, а $x$ е неизвестното.

Забелязваме, че даденото биквадратно уравнение можем да запишем във вида $a(x^2)^2+bx^2+c=0$. Сега можем да положим $x^2=t$ (полагането представлява заменянето на променливата или израз в който участва тя в даденото уравнение с нова променлива, като по този начин получим по просто уравнение относно новата променлива). Така получаваме квадратното уравнение относно $t$ - $at^2+bt+c=0$. След, като решим даденото квадратно уравнение получаваме за корени съответно $t_1$ и $t_2$ (ако съществуват реални корени, ако не съществуват реални корени за квадратното уравнение относно променливата $t$, то и биквадратното уравнение няма реални корени). Връщаме се в положеното, където ще имаме, че от една страна $x^2=t_1$, а от друга страна $x^2=t_2$. Последните две уравнения представляват две непълни квадратни уравнения, които можем лесно да решим и така окончателно да намерим (или да покажем, че не съществуват реални решения на даденото биквадратно уравнение, ако $t_1<0$ и/или $t_2<0$) решенията на биквадратното уравнение.

Нека да разгледаме следните няколко примера, в които ще илюстрираме казаното по-горе.

1 Задача Решете биквадратното уравнение $x^4-x^2-6=0$.

Решение: Полагаме $x^2=t$ и получаваме следното квадратно уравнение относно новата променлива $t$: $t^2-t-6=0$. Сега трябва да решим квадратното уравнение относно $t$. Пресмятаме $D=(-1)^2-4.1.(-6)=25$, сега намираме и $t_{1,2}=\frac{1\pm 5}{2}$, следователно $t_1=3$, а $t_2=-2$. Връщаме се в положеното и така получаваме следните две непълни квадратни уравнения: $x^2=3$ или $x^2=-2$. Последното непълно квадратно уравнение $x^2=-2$ няма реални корени, а за първото получаваме, че $x^2=3\iff x^2-3=0\iff x^2-(\sqrt{3})^2=0\iff (x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=0$ $\iff  x_1=\sqrt{3}$ или $x_2=-\sqrt{3}$.

2 Задача Решете биквадратното уравнение $x^4+3x^2+2=0$.

Решение: Отново първо полагаме $x^2=t$, следователно $t^2+3t+2=0$. Решаваме квадратното уравнение относно новата променлива $t$: $D=3^2-4.2.1=1$, намираме, че $t_{1,2}=\frac{-3\pm 1}{2}$, от където $t_1=-1$ и $t_2=-2$. Сега след като се върнем в положеното имаме, че $x^2=-1$ или $x^2=-2$. И двете непълни квадратни уравнения относно $x$ нямат реални корени, следователно цялото биквадратно уравнение няма реални корени.

3 Задача Решете уравнението $x^4-5x^2+20+2x^2(x^2-9)=-5(x^2+9)$.

Решение: За да решим даденото уравнение първо ще разкрием скобите, после ще извършим действията с подобните едночлени и накрая ще преценим какъв тип уравнение имаме, тогава $x^4-5x^2+20+2x^2(x^2-9)=-5(x^2+9)\iff$ $x^4-5x^2+20+2x^4-18x^2=-5x^2-45\iff$ $3x^4-18x^2+65=0$. Полагаме $x^2=t$ и получаваме квадратното уравнение $3t^2-18t+65=0$, за което след като пресметнем $D$ намираме, че $D=-456<0$ и следователно даденото биквадратно уравнение няма реални корени.

4 Задача Да се разложи на множители тричлена $x^4-17x^2+52$.

Решение: След като положим $x^2=t$ даденият тричлен приема вида $t^2-17t+52$, който е квадратен тричлен, и за който имаме знанията да го разложим на множители. Нека припомним, че $t^2-17t+52=(t-t_1)(t-t_2)$. Нека намерим $t_1$ и $t_2$. Пресмятаме $t_{1,2}=\frac{17\pm 9}{2}$, следователно $t_1=13$ и $t_2=4$. Сега заместваме получените $t_{1,2}$ и намираме, че $t^2-17t+52=(t-13)(t-4)$. Връщаме се в положеното и заместваме $t$ с $x^2$ от където имаме, че $x^4-17x+52=(x^2-13)(x^2-4)$. Получените двучлени в скобите разлагаме, като приложим формулата за сбор по разлика, т.е. $x^4-17x+52=(x^2-13)(x^2-4)=(x-\sqrt{13})(x+\sqrt{13})(x-2)(x+2)$.

5 Задача За кои стойности на реалния параметър $s$ уравнението $x^4+sx^2+9=0$ има за корен числото $1$? След като намерите параметъра $s$ да се намерят и останалите корени на даденото уравнение.

Решение: Щом уравнението има за корен числото $1$ това означава, че като заместим $x=1$ в даденото уравнение трябва да получим вярно числово равенство т.е. $1^4+s.1^2+9=0$ от където намираме, че $s=-10$. Сега заместваме $s=-10$ в даденото уравнение и получаваме уравнението $x^4-10x^2+9=0$. Полагаме $x^2=t$, следователно $t^2-10t+9=0$. Намираме, че $t_{1,2}=\frac{10\pm 8}{2}$, следователно $t_1=9$ и $t_2=1$. Връщаме се в положеното от където имаме, че $x^2=9$ или $x^2=1$ и следователно $x_1=3$, $x_2=-3$, $x_3=1$ и $x_4=-1$.

6 Задача Дадено е уравнението $x^4-2(k+2)x^2+4k+4=0$, където $k$ е реален параметър. Да се намерят онези стойности на $k$, за които даденото уравнение има четири различни реални корена.

Решение: Даденото уравнение ще има четири различни реални корена, когато полученото след полагането $x^2=t$ квадратно уравнение има два реални различни и по-големи от нула корена. Нека да положим, следователно получаваме уравнението $t^2-2(k+2)x^2+4k+4=0$. Това уравнение ще има два различни реални корена, когато $D>0$. Нека намерим тези корени, а след това ще направим и допълнителните съображения (ако е необходимо) те да бъдат по-големи от $0$. Така имаме, че $D=[-2(k+2)]^2-4(4k+4)=4(k^2+4k+4)-16k-16=$ $=4k^2+16k+16-16k-16$. От тук намираме, $D=4k^2$. Лесно съобразяваме, че $D>0\iff k\neq 0$, т.е. $k\in (-\infty, 0)\cup (0,+\infty)$. Сега нега да видим какви са и корените на това уравнение $t_{1,2}=\frac{2(k+2)\pm 2k}{2}=k+2\pm k$ и следователно $k_1=2$, а $k_2=2k+2$. Тъй като по-горе казахме, че е необходимо $t_{1,2}>0$ трябва да съобразим, кога $t_2>0$, т.е. $2k+2>0\iff k>-1$. Сега окончателно можем да кажем, че даденото уравнение ще има четири различни реални корена, когато $k\in (-1,0)\cup (0,+\infty)$.

Задачи за самостоятелна работа:

1. Решете уравнението:

а) $x^4-13x^2+36=0$; б) $x^4-50x^2+49=0$; в) $4x^4-65x^2+16=0$;

г) $x^4+5x^2+6=0$

2. Да се опрости дробта $\frac{x^4-(a^2+12)x^2+12a^2}{x^4+(11-a^2)x^2-11a^2}$, $x\neq\pm a$.

3. Да се намерят всички стойности на реалния параметър $p$, за които уравнението $x^4+px^2+p-1=0$ има два различни реални корена.

Още решени и обяснени задачи може да намерите във видеото ми по-долу: