Аритметична прогресия 10 клас

Определение 1: Числова редица, в която всеки член след първия се получава като към предходния му се прибави едно и също число, се нарича аритметична прогресия.

Числото, което прибавяме към всеки член за да получим следващият се нарича разлика на аритметичната прогресия и обикновено означаваме с $d$. Други означения, които ползваме са $a_1$ - първият член на аритметичната прогресия, $a_n$ - $n$-тият член на аритметичната прогресия, $n$ - броят на членовете на аритметичната прогресия и накрая с $S_n$ ще означаваме сумата на аритметичната прогресия.

Една безкрайна аритметична прогресия е определена (т.е. можем да намерим всичко за нея), ако знаем нейният първи член и разликата й. За да е определена една крайна аритметична прогресия освен нейната разлика и първи член трябва да знаем и броя на членовете й.

Формулата за общият член на една аритметична прогресия има следният вид $a_n=a_1+(n-1)d$, а за сумата на първите $n$ члена имаме, че $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}.n$. Във формулата за сумата можем да заменим $a_n$ с равното му $a_1+(n-1)d$ (виж формулата за общия член), тогава получаваме следната формула за сумата на първите $n$ члена на една аритметична прогресия, а именно $S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}.n$.

Нека да разгледаме следната аритметична прогресия

$\underbrace{a_1,a_2,\ldots a_{k-1},a_k,}_{\text k-члена}$ $\underbrace{a_{k+1},a_{k+2},\ldots ,a_n,}_{\text k-члена}$ имаща следните свойства:

1) $2a_k=a_{k-1}+a_{k+1}$ (всеки среден член е средноаритметичен на съседните си два);

2) $a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=\ldots =a_k+a_{k+1}$ (сумата на първия и последния член е равна на сумата на втория и предпоследния член и т.н.).

Нека сега се спрем на някои задачи свързани с аритметичната прогресия.

1 Задача Да се намери аритметична прогресия състояща се от чест члена, ако третият и петият й член са съответно $7$ и $10$.

Решение: От формулата за общият член на на аритметична прогресия имаме, че $a_3=a_1+(3-1)d$ и $a_5=a_1+(5-1)d$, от където намираме, че $a_3=a_1+2d$ и $a_5=a_1+4d$ т.е. $a_1+2d=7$ и $a_1+4d=10$. Така получихме следната система съставена от две линейни уравнения, в които неизвестните са $a_1$ и $d$: 

$$\begin{cases} a_1+2d=7 \\ a_1+4d=10, \\ \end{cases}$$ която ще решим чрез заместване. От първото уравнение намираме, че $a_1=7-2d$ и заместваме във второто $a_1$ с $7-2d$, така получаваме следното линейно уравнение с неизвестно $d$, което ще решим: $7-2d+4d=10\iff 2d=3\iff d=\frac{3}{2}$. Сега намираме и $a_1$: $a_1=7-2.\frac{3}{2}=4$. След като вече знаем $a_1$ и $d$, а също така и $n$, крайната аритметична прогресия е напълно определена и ние можем да запишем нейните членове:

$a_1=4$, $a_2=a_1+d=4+1,5=5,5$, $a_3=7$, $a_4=7+1,5=8,5$, $a_5=8,5+1,5=10$ и накрая $a_6=10+1,5=11,5$.

2 Задача Намерете аритметична прогресия, ако сумата от първите три члена е $15$, а произведението им е $80$.

Решение: От условието на задачата имаме, че (1) $a_1+a_2+a_3=15$ и (2) $a_1.a_2.a_3=80$. От формулата за общият член на една аритметична прогресия изразяваме $a_2$ и $a_3$ чрез $a_1$ и $d$ и така получаваме, че $a_2=a_1+d$ и $a_3=a_1+2d$. Сега заместваме $a_2$ и $a_3$ изразени чрез $a_1$ и $d$ в равенствата (1) и (2) и получаваме следната система уравнения с две неизвестни (неизвестните са $a_1$ и $d$):

$$\begin{cases} a_1+a_1+d+a_1+2d=15 \\ a_1(a_1+d)(a_1+2d)=80. \\ \end{cases}$$ . Сега след като извършим действията, системата можем да запишем във вида:

$$\begin{cases} 3a_1+3d=15 \\ a_1(a_1+d)(a_1+2d)=80. \\ \end{cases}$$ . Делим първото уравнение в тази система на $3$ и получаваме:

$$\begin{cases} a_1+d=5 \\ a_1(a_1+d)(a_1+2d)=80. \\ \end{cases}$$ . Сега не е трудно да забележим, че можем да заменим $a_1+d$ в долното уравнение направо с $5$ от една страна, а от друга от първото уравнение можем за изразим например $a_1$ чрез $d$ (a_1=5-d) и да го заместим във второто уравнение, така получаваме:

$(5-d).5.(5-d+2d)=80\iff (5-d)(5+d)=16\iff 25-d^2=16$

$\iff d^2=9\iff d_{1,2}=\pm 3$. Получихме две стойности за $d$ и следователно ще имаме и две стойности за $a_1$: 

1) При $d=3$ имаме, че $a_1=2$, $a_2=5$ и $a_3=8$.

2) При $d=-3$ имаме, че $a_1=8$. $a_2=5$ и $a_3=2$.

3 Задача Намерете броят на членовете на аритметична прогресия, ако $a_2=4$, $a_7=19$ и сборът на всички членове е $210$.

Решение: Тъй като в условието на задачата имаме дадено, че сумата на всички членове е $210$ можем да запишем $210=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}.n$. Не е трудно да забележим, че липсващите ни $a_1$ и $d$ във формулата за сумата, можем да намерим, като вземем в предвид, че $a_2=4$ и $a_7=19$, прилагайки техниката от по-горните задачи. Получаваме следната система:

$$\begin{cases} a_1+d=4\\ a_1+6d=19\\ \end{cases}$$ . Която след като я решим намираме, че $a_1=1$ и $d=3$. Сега заместваме вече намерените $a_1$ и $d$ във формулата за сумата на аритметичната прогресия и получаваме, че  $210=\frac{2.1+(n-1).3}{2}.n$. Така в последното уравнение имаме само едно неизвестно - $n$, което представлява и търсеният брой на членовете на аритметичната прогресия. След като го решим и вземем в под внимание, че $n\in\mathbb{N}$, получаваме, че $n=12$.

4 Задача Сумата на третия и деветия член на аритметична прогресия е равна на $8$. Намерете сумата на първите $11$ члена на тази прогресия. 

Решение: От условието на задачата имаме, че $a_3+a_9=8\iff a_1+2d+a_1+8d=8\iff 2a_1+10d=8$. За сумата от първите $11$ члена имаме, че $S_{11}=\frac{2a_1+(11-1)d}{2}.11=\frac{2a_1+10d}{2}.11$. Но ние вече знаем, че $2a_1+10d=8$, заместваме във формулата за $S_{11}$ и получаваме, че $S_{11}=\frac{8.11}{2}=44$.

5 Задача Тринадесетият член на аритметична прогресия е равен на $5$. Намерете сумата на първите $25$ члена на тази прогресия.

Решение: От условието на задачата имаме, че $a_{13}=a_1+12d=5$. За сумата на първите $25$ члена на прогресията имаме, че $S_{25}=\frac{2a_1+24d}{2}.25=\frac{2(a_1+12d)}{2}.25$. Но ние вече знаем, че $a_1+12d=5$, следователно $S_{11}=\frac{2.5.25}{2}=125$.

Задачи за самостоятелна работа:

1. Между числата $8$ и $85$ да се вместят $6$ числа, които заедно с дадените да образуват аритметична прогресия.

2. Да се намери първият член и сумата от членовете на аритметична прогресия, за която $d=-\frac{1}{4}$, $n=13$ и $a_n=1$.

3. Да се докаже, че $1+2+3+\ldots +10+9+8+\ldots +2+1=100$.

4. Да се докаже, че $1+2+3+\ldots +(n-1)+n+(n-1)+\ldots +2+1=n^2$.

5. Нека $S_n$ е сумата от първите $n$ члена на аритметична прогресия. Да се намерят първите $3$ члена на онази прогресия, при която за всяко $n\in\mathbb{N}$:

а) $S_n=5n^2+3n$; б) $S_n=6n^2-5n$; в) $S_n=3n^2$.

6. Сумата на третия и деветия член на аритметична прогресия е равна на най-малката стойност на тричлена $2x^2-4x+10$. Да се намери сумата от първите $11$ члена на тази прогресия. 

7. В една аритметична прогресия $a_8=11,2$, $a_{15}=19,6$. Да се намери броят на членовете, които са по-малки от $30$.

8. Аритметична прогресия има $7$ члена. Първият е $11$, а последният е $35$. Колко члена има друга аритметична прогресия с крайни членове $38$ и $13$, ако четвъртите членове на двете прогресии са равни?

9. Докажете, че ако числата $a$, $b$ и $c$ образуват в посочения ред аритметична прогресия, то е в сила тъждеството $a^2+8bc=(2b+c)^2$. Вярно ли е обратното твърдение?

10. Да се намери сумата от първите $25$ члена на аритметична прогресия, за която $a_3+a_8+a_{10}+a_{16}+a_{18}+a_{23}=114$.

11. Дадена е аритметична прогресия $a_1,a_2,\ldots, a_n$, за която $a_3=8$, $a_5=14$ и $a_1+a_2+\ldots+a_n=100$. Да се намери $n$.

12. Петият и деветнадесетия член на аритметична прогресия са съответно равни на $9$ и $37$. Да се намери сборът на първите $29$ члена.

13. Да се намерят всички аритметични прогресии $a_1,a_2,\ldots$ за които $a^2_3-a_1a_9=3$, $a_1^2+a^2_5=2$ и $S_6<0$, където $S_6$ е сумата от първите шест члена на съответната прогресия.

14. Сумата на $a_{13}$ и $a_{16}$ на аритметична прогресия е $4$. На колко е равна сумата от първите $28$ члена на тази прогресия?

15. Да се намери първият член $a_1$ и разликата $d$ на аритметична прогресия, за която $a_2+a_3=14$ и $a_3+a_5=26$.

16. Известно е, че сумата $S_n$ от първите $n$ члена аритметична прогресия се представя с формулата $S_n=n^2+n$. Кой е третият член на тази прогресия?

17. За аритметична прогресия е дадено, че $a_3+a_5+a_{16}+a_{18}=40$. На колко е равно $a_8+a_{13}$?

18. Известно е, че сумата $S_n$ от първите $n$ члена на аритметична прогресия се представя с формулата $S_n=2n^2-n$. Да се намери първият член $a_1$ и разликата $d$ на прогресията.

19. Сумата от първия и петия член на една аритметична прогресия е $\frac{5}{3}$, а произведението от третия и четвъртия член е $\frac{65}{72}$. Да се намери сумата от първите $17$ члена на прогресията.

20. Да се намерят първият член и разликата на аритметична прогресия, за която $$\begin{cases} a_2+a_8=10\\ a_3+a_{14}=31. \end{cases}$$

21. Да се намери първият член и разликата на аритметична прогресия, за която $a_6-2a_3=2$ и $S_6+2S_3=75$.

22. Дадено е уравнението $x^2-2qx+q+2=0$, в което $q$ е реален параметър. Да се намерят стойностите на $q$, при които уравнението има реални корени $x_1$ и $x_2$ такива, че числата $a_1=x_1x_2$, $a_2=x_1+x_2$ и $a_{30}x^2_1+x^2_2$ са съответно първи, втори и тридесети член на аритметична прогресия.

23. Да се намерят стойностите на реалния параметър $a$, за които корените $x_1$ и $x_2$ на квадратното уравнение $x^2+2ax+3=0$ са реални и различни, а числата $2x_1-x_2$, $|x_1-x_2|$ и $2x_2-x_1$, взети в този ред образуват аритметична прогресия.

24. Да се намерят първият член и разликата на аритметична прогресия, за която $$\begin{cases} a_3+a_5-a_1=25\\ a_4+a_6-a_2=29. \end{cases}$$

25. За аритметична прогресия е дадено, че $a_4+a_6+a_8+a_{10}=40$. Намерете $a_5+a_9$.

26. Сумата на първите $5$ члена на растяща аритметична прогресия е равна на $15$, а произведението е равно на $1155$. Да се намери $60$-тия член на прогресията.

27. Сумата от първия и петия член на аритметична прогресия е равна на $5$, а произведението на третия и четвъртия член е равно на $\frac{65}{4}$. Да се намери сумата на първите $7$ члена на прогресията.

28. За аритметична прогресия $a_1, a_2,\ldots, a_n$ е дадено, че $a_1=-11$, $a_2=-8$, $a_1+a_2+\ldots + a_n=91$. Намерете $a_n$.

29. За аритметична прогресия $a_1, a_2,\ldots, a_{43}$ е известно, че $a_{15}+a_{43}=111,5$. Намерете $a_{29}$.

30. Нека $x\in [0,\frac{\pi}{2}]$, като $cosx$, $cos2x$, $cos3x$ са различни и са съответно първи, трети и пети член на аритметична прогресия. Да се намери сумата $S_8$ от първите $8$ члена на прогресията.

31. Дадена е аритметична прогресия, за която $8a_3-13=a_8$ и $a_4+a_6=a_7+4$. 

а) Намерете общия член $a_n$ на прогресията.

б) Намерете сумата на всички членове на прогресията, които удовлетворяват неравенството $x^2-140x+4800<0$.

32. Намерете броя на членовете на аритметична прогресия, в която сборът на всички членове е $112$, произведението на втория член с разликата на прогресията е $30$, а сборът на третия и петия член е $32$. Напишете първите три члена на тази прогресия.

33. Турист, изкачва планина, като през първия час изкачил $800$ $m$, а всеки следващ час изкачва с $25$ $m$ по-малко от предишния. Колко часа ще са му необходими за достигане на височина от $5700$ $m$.

34. При деление на деветият член на аритметична прогресия с втория член, получаваме частно $5$, а при деление на тринадесетият член на шестият частно $2$ и остатък $5$. Намерете първия член и разликата на прогресията.

35. Сумата на три числа, които образуват аритметична прогресия е равна на $2$, а сумата от квадратите им е равна на $\frac{14}{9}$. Намерете числата.

36. Сумата на втория, четвъртия и честия член на аритметична прогресия е равна на $18$, а тяхното произведение е $-168$. Намерете първият член и разликата на тази прогресия.

37. При каква стойност на разликата на аритметична прогресия, чиито седми член е равен на $3$, произведението на четвъртия и деветия член ще бъде най-голямо?

38. Изчислете:

$\small{(1+3^2+5^2+\ldots +(2n-1)^2+\ldots+199^2)-(2^2+4^2+6^2+(2n)^2+\ldots + 200^2)}$.

39. Първият член на аритметична прогресия е равен на $429$, а разликата и е равна на $-22$. Намерете броя на членовете на тази аритметична прогресия, ако $S_n=3069$.

40. Намерете естествени числа, образуващи аритметична прогресия, ако произведението на първите три и произведението на първите четири е равно съответно на $6$ и $24$.

41. Сумата на третия и деветия член на аритметична прогресия е равна на $6$, а произведението им е равно на $\frac{135}{16}$. Намерете сумата на първите $15$ члена на тази прогресия.

42. Известно е, че вътрешните ъгли на даден изпъкнал многоъгълник образуват аритметична прогресия, като най-малкият ъгъл е равен на $120^{\circ}$, а разликата на прогресията е $5^{\circ}$. Определете броя на страните на многоъгълника.

43. Докажете, че ако числата $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ($a_i \neq 0, i=1, \ldots, n$) образуват аритметична прогресия, то $\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+\ldots+\frac{1}{a_{n-1}a_n}=\frac{n-1}{a_1a_n}$.

44. Дадена е една аритметична прогресия $a_1, a_2,\ldots$, за която числата $a_1$, $a_n$ и $S_n$ също образуват аритметична прогресия и освен това удовлетворяват неравенството $S^{2}_{n}+7a_1<4a^2_n$. Първият член $a_1$ на дадената прогресия има стойност единица.

а) Да се намери $n$.

б) Да се определят стойностите на членовете $a_2, a_3,\ldots, a_n$ на дадената прогресия.

45. Нека $x_1,y_1,x_2,y_2$ образуват аритметична прогресия, като $x_1$ и $x_2$ са корени на уравнението $x^2+ax+b=0$, а $y_1$ и $y_2$ са корени на уравнението $x^2-6x+c=0$. Да се намерят $a$, $b$ и $c$, ако $a+b+c=0$.

46. Дадена е аритметична прогресия $a_1,a_2\ldots, a_n$ със сума $S_n$ на първите й $n$ члена и разлика $d$. Да се намерят:

а) $a_1$ и $n$, ако $d=4$, $a_n=50$, $S_n=330$;

б) $S_{10}$, ако $a_3+a_5+a_8=18$, $a_4+a_2=-2$;

в) $a_1$ и $d$, ако $a_6:a_9=3:5$ и $a_5=\frac{a_7+6}{2}$;

г) първите три члена, ако $S_5-S_2-a_5=0,1$ и $S_4+a_7=0,1$.

47. За аритметичната прогресия $a_1,a_2,\ldots, a_n,\ldots$ с разлика $d\neq 0$ е известно, че $a_8=a_1^3$ и освен това $a_1^2$ и $a_1^4$ са също членове на прогресията. Да се намерят $a_1$ и $d$.

48. Дадена е аритметичната прогресия $a_1, a_2,\ldots, a_n,\ldots$.

а) Да се докаже, че $a_1-3a_2+3a_3-a_4=0$.

б) Да се намери $a_n$, ако за някое естествено число $m$, $m<n$, е изпълнено $a_{m+n}=a$ и $a_{n-m}=b$.

49. Нека $n$ и $k$ са естествени числа, такива че $\frac{6n}{1+2+3+\ldots+n}=k$. Намерете сумата от всички такива числа $n$.

Още решени и обяснени задачи може да намерите във видеото ми по-долу: