Числови редици 10 клас

Ако по някакво правило на всяко естествено число съпоставим реално число, казваме, че сме задали числова редица.

Определение 1: Всяка числова функция $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}$, определена в множеството на естествените числа, се нарича числова редица. Стойностите $a_{n}=f(n)$ на тази функция се наричат членове на редицата.

Нека $A=a_{1}, a_{2},\ldots, a_{n},\ldots$, тук $a_{n}$ ще наричаме общ член на редицата $A$. Редицата $A$ ще означаваме и по следният начин $\{a_{n}\}_{n=1}^\infty$.

Числовите редици могат да бъдат крайни и безкрайни:

$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$ - крайна числова редица

$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16},\ldots, \frac{1}{2^{n}}\ldots$ - безкрайна числова редица.

Числовите редици могат да бъдат зададени по няколко начина:

1) чрез формула за общия член - $a_{n}=2.n$, тази редица ще има вида:

$2, 4, 6, 8,\ldots, 2n,\ldots$.

2) чрез рекурентна формула - $a_{1}=1$, $a_{2}=1$ и $a_{n}=a_{n-2}+a_{n-1}$, така получаваме редицата:

$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \ldots,(a_{n-2}+a_{n-1}) ,\ldots$.

Тази редица се нарича още и редица на Фибоначи.

3) чрез описание - $n$-тият член на редицата е $n$-тото просто число, тази редица ще има вида:

$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,\ldots$. 

Тази редица e редицата на простите числа.

Нека сега разгледаме някои примерни задачи.

1 Задача Напишете първите 4 члена на редица с общ член $a_{n}=\frac{2n+3}{3n+2}$.

Решение: За да намерим $a_1$, $a_2$, $a_3$ и $a_4$, заместваме съответно $n$ с $1$, $2$, $3$ и $4$ в общата формула и след пресмятане получаваме стойностите на съответните членове - 

$a_{1}=\frac{2.1+3}{3.1+2}=\frac{5}{5}=1$; $a_{2}=\frac{2.2+3}{3.2+2}=\frac{7}{8}$; $a_{3}=\frac{2.3+3}{3.3+2}=\frac{9}{11}$; $a_{4}=\frac{2.4+3}{3.4+2}=\frac{11}{14}$.

2 Задача Напишете първите 4 члена на редица с общ член $a_{n}=\frac{n}{2^{n}}$.

Решение: Отново както в 1 Задача заместваме в общият член $n$ съответно с $1$, $2$, $3$ и $4$ и пресмятаме $a_1$, $a_2$, $a_3$ и $a_4$ - 

$a_{1}=\frac{1}{2^{1}}=\frac{1}{2}$; $a_{2}=\frac{2}{2^{2}}=\frac{1}{2}$; $a_{3}=\frac{3}{2^{3}}=\frac{3}{8}$; $a_{4}=\frac{4}{2^{4}}=\frac{1}{4}$.

3 Задача Общият член на числова редица е $a_{n}=\frac{2n^{2}-1}{n+3}$. Намерете $a_{3}$, $a_{5}$ и $a_{n+1}$.

Решение: В този пример за да получим $a_3$ заместваме $n$ с $3$ в общия член на редицата и пресмятаме т.е. $a_{3}=\frac{2.3^{2}-1}{3+3}=\frac{17}{9}$. Сега за намирането на $a_5$ правим същото, както по-горе, само че $n$ този път ще заменим с $5$. Така имаме, че $a_{5}=\frac{2.5^{2}-1}{5+3}=\frac{49}{8}$. Накрая за намирането на $n+1$, заместваме $n$ в общият член на редицата с $n+1$ така имаме - $a_{n+1}=\frac{2(n+1)^{2}-1}{(n+1)+3}=\frac{2(n^{2}+2n+1)-1}{n+4}=\frac{2n^{2}+4n+1}{n+4}$.

Определение 2: Казваме, че редицата $\{a_{n}\}^{\infty}_{n=1}$ e растяща (намаляваща), ако за всяко $n\in \mathbb{N}$ е изпълнено $a_{n}\leq a_{n+1}$ ($a_{n}\geq a_{n+1}$).

Определение 3: Казваме, че редицата $\{a_{n}\}^{\infty}_{n=1}$ e строго растяща (строго намаляваща), ако за всяко $n\in \mathbb{N}$ е изпълнено $a_{n}<a_{n+1}$ ($a_{n}>a_{n+1}$).

Определение 4: Казваме, че редицата $\{a_{n}\}^{\infty}_{n=1}$ e монотонна, ако тя е растяща или намаляваща.

Да разгледаме следните примери:

Задача 4 Да се изследва растяща или намаляваща е числовата редицата с общ член $a_{n}=\frac{3n-1}{5n+2}$. 

Решение: За да отговорим на поставеният въпрос трябва да формираме $a_{n+1}$-вия член на редицата и да го сравним с $a_{n}$. Формираме $a_{n+1}=\frac{3(n+1)-1}{5(n+1)+2}=\frac{3n+3-1}{5n+5+2}=\frac{3n+2}{5n+7}$ (за намирането на $a_{n+1}$ заместваме в общия член $n$ с $n+1$). Нека да допуснем, че редицата е растяща. Следователно неравенството $a_{n+1}\geq a_n$ трябва да бъде вярно. Ще го решим и в случай, че получим някакво противоречие с допуснатото, от това ще следва, че нашето допускане е грешно и числовата редицата е намаляваща. Решаваме неравенството:

$\frac{3n+2}{5n+7}\geq \frac{3n-1}{5n+2}\iff \frac{3n+2}{5n+7}-\frac{3n-1}{5n+2}\geq 0 \iff \frac{(3n+2)(5n+2)-(3n-1)(5n+7)}{(5n+7)(5n+2)}\geq 0$

$\iff \frac{11}{(5n+7)(5n+2)}\geq 0$. Като вземем под внимание, че $n\in\mathbb{N}$, можем да направим извода, че $\frac{11}{(5n+7)(5n+2)}>0$, т.е. $a_{n+1}-a_{n}>0$ следователно от Определение 3 следва, че редицата е строго растяща. 

Задача 5 Да се изследва растяща или намаляваща е редицата с общ член $a_{n}=\frac{6-n}{2+5n}$. 

Решение: За да отговорим на поставеният въпрос трябва да формираме $a_{n+1}$-вия член на редицата и да го сравним с $a_{n}$. Формираме $a_{n+1}=\frac{6-(n+1)}{2+5(n+1)}=\frac{5-n}{5n+7}$. Допускаме, че редицата е растяща, следователно, ако е така трябва да е изпълнено, че  $a_{n+1}\geq a_{n}$ Решаваме неравенството:

$\frac{5-n}{5n+7}\geq \frac{6-n}{2+5n}\iff \frac{5-n}{5n+7}- \frac{6-n}{2+5n}\geq 0 \iff \frac{(5-n)(2+5n)-(5n+7)(6-n)}{(5n+7)(2+5n)}\geq 0$  

$\iff\frac{-32}{(5n+7)(2+5n)}\geq 0 \iff \frac{32}{(5n+7)(2+5n)}\leq 0$. Като вземем в предвид, че $n\in \mathbb{N}$, получаваме противоречие в последното неравенство следователно $a_{n+1}<a_{n}$, от където по Определение 3 следва, че редицата е строго намаляваща.

Определение 5: Казваме, че редицата $\{a_{n}\}$ е ограничена отгоре, ако съществува такова число $A$, че $a_{n}\leq A$ за всяко $n\in\mathbb{N}$. Числото $A$ се нарича горна граница на редицата $\{a_{n}\}$.

Определение 6: Казваме, че редицата $\{a_{n}\}$ е ограничена отдолу, ако съществува такова число $B$, че $a_{n}\geq B$ за всяко $n\in\mathbb{N}$. Числото $B$ се нарича долна граница на редицата $\{a_{n}\}$.

Определение 7: Казваме, че редицата $\{a_{n}\}$ е ограничена, ако тя е ограничена отгоре и отдолу.

Задачи за самостоятелна работа:

1. Да се запишат първите $5$ члена на редицата с общ член:

а) $a_n=2^{-n}+n+1$; б) $b_n=\frac{2n^2+1}{n+1}$; в) $(-1)^n+(n-2)^2$. 

2. Да се запишат първите $4$ члена на редицата, зададена чрез:

а) $a_1=a_2=1, a_{n+1}=2a_n-a_{n-1}$ при $n\geq 2$; б) $a_1=2$, $a_2=5$, $a_{n+1}=a_n-2a_{n-1}$ при $n\geq 2$.

3. Намерете първите $6$ члена на рекурентната редица, зададена с връзката $a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n$, ако $a_1=2$ и $a_2=5$.

4. Покажете, че редицата с общ член $a_n=2^n+3^n+4^n$ удовлетворява за всяко $n\in\mathbb{N}$ рекурентната връзка $a_{n+3}-9a_{n+2}+26a_{n+1}-24a_n=0$.

5. Покажете, че редицата с общ член $a_n=\frac{n^2+n-2}{n^2+3n}$ е растяща.

6. Покажете, че редицата с общ член $a_n=\frac{n}{(n+1)^2}$ е намаляваща.

7. Покажете, че редицата с общ член $a_n=3n-n^2$ е ограничена отгоре.

8. Намерете първите три члена на редицата с общ член $a_n=(1+n)^{sin\frac{\pi n}{2}}$.

9. Покажете, че редицата с общ член $a_n=n^2+3n+3$ е ограничена отдолу.

10. Покажете, че редицата с общ член $a_n=\frac{2n+1}{3n-1}$ е ограничена.

Още решени и обяснени задачи може да намерите във видеото ми по-долу: