Моделиране с линейни неравенства (Приложение на линейните неравенства) 7 клас

Едно от най-удивителните качества на математиката е нейната приложимост в другите науки. В този урок ще разгледаме някои приложения на линейните неравенства при различни ситуации и задачи, които могат да възникнат в нашето ежедневие.

1 Задача Мария попитала прятелката си Росица: "Колко страници от книгата, която ти дадох, прочете?". Тя й отговорила: "Ако добавиш номера на страницата, на която се намирам, към номера на следващата страница, плюс номера на по-следващата, сборът ще е поне 108". Най-малко колко страници може да е прочела Росица? 

Решение: Нека означим с $n$, номера на страницата на, която се намира в момента Росица. Знаем, че $n$ е естествено число, т.е. $n\in\mathbb{N}$, защото няма страница с отрицателен или нулев номер, нито пък с дробно число. Следователно, ако Росица се намира на $n$-та страница, то следващата страница ще бъде $n+1$, а по-следващата $n+2$. Така, като съберем $n+n+1+n+2$, получаваме сбора от страниците. Росица още е казала, че ако съберем този сбор ще получим поне $108$. С други думи, този сбор е равен или на $108$ или е по-голям от $108$. Сега от казаното до тук можем да запишем линейното неравенство:

$n+n+1+n+2\geq 108\iff 3n+3\geq 108\iff 3n\geq 105\iff n\geq35$. Следователно, най-малкото цяло число, което е решение на неравенството е $35$, т.е. Росица се намира на $35$ страница. Тогава със сигурност можем да твърдим, че тя е прочела поне $34$ страници.

2 Задача Кроасан и сок струват общо $1$ лв., а $5$ кроасана и $7$ сока струват по-малко от $6,20$ лв. колко струва един кроасан?

Решение: Нека кроасанът струва $x$ лв., а сокът $y$ лв. Тъй като, в условието на задачата ни е казано, че кроасанът и сокът струват $1$ лв., можем да запишем уравнението $x+y=1$. След това от факта, че $5$ кроасана и $7$ сока общо струват по-малко от $6,20$ лв. можем да запишем неравенството $5x+7y<6,20$ лв. Сега от равенството $x+y=1$ изразяваме едно от двете неизвестни чрез другото и заместваме в неравенството, т.е. от $x=1-y$ ($y=1-x$ няма значение кое неизвестно ще бъде изразено) получаваме линейното неравенство: 

$5(1-y)+7y<6,20\iff 5-5y+7y<6,20\iff 2y<1,20\iff y<0,60$, следователно цената на един сок може да бъде от $0,01$ лв. най-малко, до $0,59$ лв. най-много. От тук лесно съобразяваме, че кроасанът може да струва най-малко $0,41$ лв. и най-много $0,99$ лв.

3 Задача Въже е дълго не повече от $100$ m. Трябва да го разрежем на три части така, че втората да е три пъти по-дълга от първата, а третата да е $18$ m. Каква е най-голямата възможна дължина на втората част? 

Решение: Нека първата част на въжето е $x$ m, следователно дължината на втората част на въжето ще бъде $3x$ m. От казаното в условието на задачата, след като съберем трите части на въжето те трябва да бъдат не повече от $100$ m, следователно можем да запишем линейното неравенство:

$x+3x+18\leq 100\iff 4x\leq 82\iff x\leq 20,5$ m. Тъй като втората част на въжето има дължина $3x$, то тя ще има най-голяма дължина, когато първата част има най-голяма дължина. От факта, че $x\leq 20,5$ m можем да направим извод, че най-голямата дължина на първата  част на въжето е $20,5$ m, а от тук следва и, че най-голямата дължина на втората част на въжето е $3.x=3.20,5=61,5$ m.

Задачи свързани с моделиране с линейни уравнения може да намерите тук.

Задачи за самостоятелна работа

1. Сборът на три последователни нечетни числа е не по-голям от $25$. Коя е най-голямата стойност, която може да има най-малкото от тях?

2. За конкурс са се записали между $2000$ и $2100$ кандидати. Броят на жените е с $300$ по-малък от удвоения брой на мъжете. Колко мъже най-малко и колко жени най-много са се записали за участие в конкурса?

3. За победителите в едно състезание по математика били необходими $12$ награди. Организаторите решили да купят шапки по $2$ лв. и тениски по $5$ лв. Най-много колко тениски могат да купят, ако наградният фонд е не повече от $40$ лв.

Още обяснени и решени задачи свързани с този урок можете да намерите във видеото ми по-долу:

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020 

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за наицоналното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015 

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +