Моделиране с линейни уравнения 7 клас

Почти всичко от заобикалящият ни свят, може да се обясни на езика на математиката. Напредъка на науката и технологията би бил немислим, ако не се използва езика на математиката за описване на сложните процеси и явления и с това, тяхното по-дълбоко опознаване. Разбира се, за да можем да опишем неща като, движението на планетите; какво се случва около черните дупки; как еволюират звездите; как се развива популацията на определен животински вид; какви са структурите на кристалите и безброй други интересни въпроси трябва да сме навлезли доста по навътре в математическата наука. В настоящият урок ще разгледаме примери за това, какви примерни ситуации от живота можем да опишем и решим с дотук получените знания. Най-общо, ще класифицираме задачите в следните групи: моделиране на житейски ситуации чрез използване на линейни уравнения, задачи от движение, задачи от работа, задачи от смеси и сплави и задачи от капитал. След като направим математическият модел на съответната задачи, ние трябва да решим линейно уравнение (повече за решаването на линейни уравнения тук) и така да намерим търсеното неизвестно заложено в задачата.

I. Моделиране на житейски ситуации чрез използване на линейни уравнения

1 Задача Госпожа Иванова получила известна сума пари и с $\frac{3}{8}$ от нея купила нов кухненски робот, а с $\frac{3}{7}$ от останалата след това сума - нова рокля за себе си. Ако роклята струва 75 лв., то колко лева е струвал кухненският робот.

Решение: Нека г-жа Иванова е имала $x$ лв. От казаното в условието на задачата, кухненският робот струвал $\frac{3}{8}x$ лв., следователно останалата сума била $(x-\frac{3}{8}x)$. Тъй като с $\frac{3}{7}$ от останалата сума тя си купува нова рокля следва, че цената на роклята е $\frac{3}{7}(x-\frac{3}{8}x)$. Тъй като в условието на задачата ни е казано, че цената на роклята е $75$ лв. формираме уравнението $\frac{3}{7}(x-\frac{3}{8})=75.$ Решаваме даденото полученото уравнение:

$\frac{3}{7}(x-\frac{3}{8})=75\iff \frac{3}{7}x-\frac{9}{56}x=75\iff 24x-9x=75.56\iff 15x=4200$ и следователно $x=280.$ Така получихме, че г-жа Иванова е имала $280$ лв. Сега остава да намерим цената на кухненският робот, като заместим $x$ с $280$ и получаваме, че цената на кухненският робот $=\frac{3}{8}.280=105$ лв.

2 Задача Собственик на ресторант закупил за оборудването му $15$ маси и $54$ стола, за които платил общо $12 780$ лв. Намерете колко струва една маса и един стол поотделно, ако цените им се отнасят както $7:2.$

Решение: Нека означим с $x$ цената на една маса и с $y$ цената на един стол. От казаното в условието на задачата можем да запишем следното равенство $15x+54y=12780$, а също така и отношението $\frac{x}{y}=\frac{7}{2}.$ От основното свойство на пропорциите $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\iff a.d=b.c$ следва, че $2x=7y.$ От последното равенство изразяваме $x$ чрез $y$ или $y$ чрез $x$ т.е $x=\frac{7}{2}y$ или $y=\frac{2}{7}x.$ Избираме си едно от двете и го заместваме в равенството $15x+54y=12780.$ Кое от двете ще изберем, няма никакво значение, в единия случай ще получим равенството $15.\frac{7}{2}y+54y=12780$, а в другия $15x+54.\frac{2}{7}x=12780.$ Както забелязвате и в двете равенства неизвестното вече е само едно, т.е. получаваме линейно уравнение с едно неизвестно, което вече можем да решим. Така, ако решим първото ще намерим цената на един стол, а ако решим второто ще намерим цената на една маса. Нека решим например първото (може да решите което и да е от двете по избор, няма никакво значение):

$15.\frac{7}{2}y+54y=12780\iff 105y+108y=25560\iff 213y=25560$, следователно $y=\frac{25560}{213}=120.$ От тук получихме, че цената на един стол е $120$ лв. Така за цената на една маса получаваме $x=\frac{7}{2}.120=420$ лв.

3 Задача Семената на кедровите шишарки съдържат белтъчини, мазнини и скорбяла. Белтъчините са $3,4$ пъти по-малко от мазнините, а скорбялата е $\frac{3}{5}$ от количеството белтъчини. Намерете колко kg е количеството скорбяла в $12$ kg семена от кедър.

Решение: Нека означим с $x$ количеството мазнини, следователно белтъчините са $x:3,4$, а за скорбялата получаваме, че е $\frac{3}{5}(x:3,4).$ Сега трябва да решим уравнението $x+x:3,4+\frac{3}{5}(x:3,4)=12$. Записваме го във вида $x+\frac{x}{3,4}+\frac{3x}{5.3,4}=12.$ Общият знаменател е $5.3,4=17$, следователно $17x+5x+3x=204$, от където $x=8,16$ kg. Това е количеството мазнини, които се съдържат в $12$ kg семена от кедър. За да отговорим на въпроса, пресмятаме количеството скорбяла $=\frac{3}{5}.\frac{8,16}{3,4}=1,44$ kg.

4 Задача В един склад имало $5$ пъти повече книги, отколкото в друг. След като от първия продали $4000$ книги, а на втория доставили $7000$, във втория склад имало $2$ пъти по-малко книги, отколкото в първия. По колко книги е имало първоначално във всеки от двата склада?

Решение: Нека във втория склад е имало $x$ книги, следователно в първия склад е имало $5x$ книги. След като от първия продали $4000$ книги, значи в него останали $(5x-4000)$ книги. Във втория доставили $7000$ книги и така в него вече имало $(x+7000)$ книги. Казано ни е още в условието на задачата, че накрая във втория склад имало $2$ пъти по-малко книги, отколкото в първия склад. Това означава, че ако умножим количеството книги във втория склад по $2$ ще получим количеството книги в първия склад. Записваме и решаваме уравнението:

$5x-4000=2(x+7000)\iff 5x-4000=2x+14000\iff 3x=18000$, следователно $x=6000.$ Значи във втория склад първоначално е имало $6000$ книги, а в първия $30000.$

II. Задачи от движение

Нека припомним формулата $S=V\cdot t$, където:

• $S$ - изминатият път
• $V$ - скоростта
• $t$ - времето

5 Задача Влак изминал $370$ km за $5$ h $30$ min. Първите $4$ часа влакът се движил с постоянна скорост, а след това намалил скоростта си с $10$ km/h. Да се намери скоростта, с която се е движил влакът през първите $4$ часа.

Решение: Нека да означим скоростта на влака през първите $4$ часа с $V_{1}=x$ km/h, времето с $t_{1}=4$ h, и изминатият път със $S_{1}$, а през последният час и половина скоростта с $V_{2}=(x-10)$ km/h (в условието на задачата се казва, че последният час и половина влакът намалил скоростта си с $10$ km/h), времето с $t_{2}$ и изминатият път със $S_{2}.$ Нека да синтезираме данните в следната таблица:

Превозно средство	$V$	$t$	$S$
Влак (1)	$V_{1}=x$ [km/h]	$t_{1}=4$ [h]	$S_{1}=4x$ [km]
Влак (2)	$V_{2}=(x-10)$ [km/h]	$t_{2}=1,5$[h]	$S_{2}=1,5(x-10)$ [km]

Тъй като в условието на задачата е дадено, че целият път $S$ е $370$ km можем да заключим, че $S_{1}+S_{2}=S=370$ km.

Формираме уравнението $4x+1,5(x-10)=370\iff 4x+1,5x-15=370\iff 5,5x=385$, и следователно $x=70$ km/h, което е и отговорът на задачата, защото с $x$ ние означихме скоростта на влака през първите $4$ h.

6 Задача От град $A$ за град $B$ тръгнал товарен влак. Час и половина след него от $A$ в същата посока тръгнал пътнически влак, който се движил с $6$ km/h по-бързо от товарния. След $15$ часа от тръгването си пътническият влак изпреварил товарния с $30$ km. Намерете скоростта на товарния влак. 

Решение: Нека означим съответно скоростта, времето и пътя на товарният влак с $V_{1}, t_{1}$ и $S_{1}$, а на пътническият влак с $V_{2}, t_{2}$ и $S_{2}$. Нека скоростта на товарният влак е $V_{1}=x$ km/h, следователно от казаното в условието на задачата $V_{2}=(x+6)$ km/h. Тъй като пътническият влак тръгва $1$ час и $30$ минути по-късно от товарния и от факта, че след 15 часа той той е изпреварил товарният влак с $30$ km можем да кажем, че времето $t_{1}=16,5$ h., тогава $S_{1}=x.16,5$ и $S_{2}=15.(x+6).$ Сега остава само да вземем в предвид факта, че $S_{1}+30=S_{2}.$ Да систематизираме тези данни в следната таблица: 

Превозно средство	$V$	$t$	$S$
Товарен влак	$V_{1}=x$ [km/h]	$t_{1}=16,5$ [h]	$S_{1}=16,5x$ [km]
Пътнически влак	$V_{2}=(x+6)$ [km/h]	$t_{2}=15$[h]	$S_{2}=15(x+6)$ [km]

Формираме уравнението $16,5x+30=15(x+6)\iff 16,5x+30=15x+90\iff 1,5x=60$, следователно $x=40.$ Тъй като с $x$ сме означили скоростта на товарният влак можем да кажем, че тя е $40$ km/h.

7 Задача Разстоянието между селищата $A$ и $B$ е $270$ km. От $A$ и $B$ едновременно един срещу друг тръгват лека кола и автобус и се срещат след $1$ h и $30$ min. Ако скоростта на леката кола е с $20$ km/h по-висока от тази на автобуса, намерете:

а) скоростите на двете превозни средства;

б) пътят изминат от всяко от тях до срещата.

Решение: Нека означим съответно скоростта, времето и пътя на леката кола с $V_{1}, t_{1}$ и $S_{1}$, а на автобуса с $V_{2}, t_{2}$ и $S_{2}$. От казаното в условието на задачата, че двете превозни средства тръгват едновременно и се срещат след $1$ h и $30$ min следва, че $t_1=t_2=1,5$ h. Нека означим скоростта на леката кола с $x$, т.е. $V_1=x$ km/h, следователно $V_2=(x-20)$ km/h, така $S_1=x.1,5$, а $S_2=(x-20)1,5.$ Лесно се съобразява, че $S=S_1+S_2=270$. Да запишем данните в таблицата:

Превозно средство	$V$	$t$	$S$
Лека кола	$V_{1}=x$ [km/h]	$t_{1}=1,5$ [h]	$S_{1}=1,5x$ [km]
Автобус	$V_{2}=(x-20)$ [km/h]	$t_{2}=1,5$[h]	$S_{2}=1,5(x-20)$ [km]

Формираме уравнението $1,5x+1,5(x-20)=270\iff 3x=300$, от където $x=100.$ 

а) От $x=100$, можем да кажем, че скоростта на леката кола е $100$ km/h, а на автобуса $80$ km/h.

б) $S_1=1,5.100=150$ km и $S_2=1,5(100-20)=1,5.80=120 km.$

III. Задачи от работа

При решаване на задачи от работата ще използваме формулата $A = P \cdot t$, където:

• $A$ - свършената работа
• $P$ - производителността за единица време
• $t$ - времето

8 Задача Един тракторист може да изоре една нива за 6 часа, а друг - за 12 часа. За колко часа двамата трактористи ще изорат цялата нива, ако работят заедно?

Решение:

Нека приемем цялата работа за 1. Производителностите са:

Първи тракторист: $P_1 = \frac{1}{6}$ нива/час

Втори тракторист: $P_2 = \frac{1}{12}$ нива/час

Тракторист	Производителност	Време	Извършена работа
Първи	$\frac{1}{6}$ нива/час	$x$ часа	$\frac{1}{6}x$
Втори	$\frac{1}{12}$ нива/час	$x$ часа	$\frac{1}{12}x$

Уравнението е: $\frac{1}{6}x + \frac{1}{12}x = 1$

$\frac{1}{4}x = 1$

$x = 4$ часа

Отговор: Двамата трактористи ще изорат нивата за 4 часа.

9 Задача Басейн се пълни от две тръби, всяка от които може да го напълни сама съответно за 12 часа и за 16 часа. За колко време ще се напълни басейнът, ако отначало работи 3 часа 36 минути само първата тръба, а след това бъде пусната и втората.

Решение:

Производителности:

Първа тръба: $P_1 = \frac{1}{12}$ басейн/час

Втора тръба: $P_2 = \frac{1}{16}$ басейн/час

Първата тръба работи 3 часа 36 минути ($3\frac{36}{60} = 3.6$ часа) сама:

$A_1 = \frac{1}{12} \times 3.6 = 0.3$ басейна

Оставащ обем: $1 - 0.3 = 0.7$ басейна

Обща производителност: $\frac{1}{12} + \frac{1}{16} = \frac{7}{48}$ басейна/час

Време за допълване: $0.7 \div \frac{7}{48} = 4.8$ часа (4 часа 48 минути)

Общо време: $3.6 + 4.8 = 8.4$ часа = 8 часа 24 минути

IV. Задачи от смеси и сплави

10 Задача Колко литра разтвор на спирт с концентрация 38% трябва да се добавят към 24 l разтвор на спирт с концентрация 68%, за да се получи спирт с концентрация 54%?

Решение:

Нека $x$ е търсеното количество.

Разтвор	Обем (l)	Концентрация	Чист спирт (l)
Първи	$x$	38%	$0.38x$
Втори	24	68%	$16.32$
Смес	$x+24$	54%	$0.54(x+24)$

Уравнение: $0.38x + 16.32 = 0.54(x + 24)$

$0.38x + 16.32 = 0.54x + 12.96$

$3.36 = 0.16x$

$x = \boxed{21}$ литра