Ъгли получени при пресичането на две прави с трета. Теореми признаци, за успоредност на две прави 7 клас

Нека разгледаме следният чертеж:

Имаме две прави $a$ и $b$, които са пресечени с трета права $c$. Както се вижда от чертежа се образуват осем ъгъла, които имат специални имена.

Определение 1: Двойките ъгли $\sphericalangle 3$ и $\sphericalangle 5$; $\sphericalangle 4$ и $\sphericalangle 6$ се наричат вътрешни кръстни ъгли, а двойките $\sphericalangle 1$ и $\sphericalangle 7$; $\sphericalangle 2$ и $\sphericalangle 8$ се наричат външни кръстни ъгли.

Определение 2: Двойките ъгли $\sphericalangle 1$ и $\sphericalangle 5$; $\sphericalangle 2$ и $\sphericalangle 6$; $\sphericalangle 3$ и $\sphericalangle 7$; $\sphericalangle 4$ и $\sphericalangle 8$ се наричат съответни ъгли.

Определение 3: Двойките ъгли $\sphericalangle 3$ и $\sphericalangle 6$; $\sphericalangle 4$ и $\sphericalangle 5$ се наричат вътрешни прилежащи ъгли, а двойките $\sphericalangle 1$ и $\sphericalangle 8$; $\sphericalangle 2$ и $\sphericalangle 7$ се наричат външни прилежащи ъгли.

Теорема 1: Ако при пресичането на две прави с трета права една двойка кръстни ъгли са равни, то правите са успоредни.

Теорема 2: Ако при пресичането на две прави с трета права една двойка съответни ъгли са равни, то правите са успоредни.

Теорема 3: Ако при пресичането на две прави с трета права една двойка прилежащи ъгли имат сбор $180^{\circ}$, то двете прави са успоредни.

Теорема 4: Ако две прави поотделно са перпендикулярни на трета права, те са успоредни помежду си.

1 Задача При пресичането на две прави с трета единият от двойка съответни ъгли е $30^{\circ}$, а другият е път пъти по-малък от съседния си ъгъл. Докажете, че правите са успоредни.

Решение: 

Нека разгледаме двойката съответни ъгли $\sphericalangle 2$ и $\sphericalangle 6.$ Ако докажем, че $\sphericalangle 2=\sphericalangle 6$, според Теорема 2 правите $a$ и $b$ ще бъдат успоредни.

От условието на задачата е дадено, че $\sphericalangle 5$ и $\sphericalangle 6$, са съседни и освен това $\sphericalangle 5$ е пет пъти по-голям от $\sphericalangle 6$, следователно, ако $\sphericalangle 6=\alpha$, то $\sphericalangle 5=5\alpha$, така получаваме равенството $5\alpha+\alpha=180^{\circ}$ (повече за съседните и връхни ъгли може да намерите тук) и следователно $6\alpha=180^{\circ}$ от където $\alpha=30^{\circ}$. Получихме, че $\sphericalangle 2=\sphericalangle 6=30^{\circ}$ и от Теорема 2 следва, че $a\parallel b.$

2 Задача Да се намерят стойностите на номерираните ъгли от чертежа ако $\sphericalangle 1+\sphericalangle 3=40^{\circ}$ и $\sphericalangle 5:\sphericalangle 6=4:5.$ 

Решение:

Тъй като $\sphericalangle 1$ и $\sphericalangle 3$ са връхни ъгли следва, че $\sphericalangle 1=\sphericalangle 3$, от където имаме, че $\sphericalangle 1=\sphericalangle 3=20^{\circ}.$ От друга страна двойките ъгли $\sphericalangle 1$ и $\sphericalangle 2$ са съседни ъгли, следователно $\sphericalangle 1+\sphericalangle 2=180^{\circ}$, от където $20^{\circ}+\sphericalangle 2=180^{\circ}$ и следователно $\sphericalangle 2=160^{\circ}$. Съборазяваме, че $\sphericalangle 2=\sphericalangle 4=160^{\circ}$, защото са връхни ъгли, с което намерихме първите четири ъгъла. Сега, тъй като $\sphericalangle 5$ и $\sphericalangle 6$ са съседни, и от условието на задачата имаме, че $\sphericalangle 5=4x$, а $\sphericalangle 6=5x$, получаваме $4x+5x=180^{\circ}$, от където $x=20^{\circ}$ и $\sphericalangle 5=80^{\circ}$, а $\sphericalangle 6=100^{\circ}.$ Остава да вземем предвид, че $\sphericalangle 5=\sphericalangle 7=80^{\circ}$ и $\sphericalangle 6=\sphericalangle 8=100^{\circ}$, като връхни ъгли, с което задачата е решена.

Задачи за самостоятелна работа

1. Един от ъглите получени при пресичането на две прави с трета, е $30^{\circ}$, а мярката на кръстния му ъгъл се отнася към мярката на съседния си ъгъл както 1:5. Докажете, че правите са успоредни.

2. Да се докаже, че ако ъглополовящите на два вътрешни (външни) кръстни ъгъла, получени при пресичането на две прави с трета, са успоредни, то правите са успоредни.

Още обяснени и решени задачи свързани с този урок можете да намерите в клипа ми даден по-долу:

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020 

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за наицоналното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015 

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +