Съседни и противоположни ъгли 7 клас

Определение 1: Два ъгъла, които имат общо рамо, а другите им рамене са противоположни лъчи, се наричат съседни ъгли.

Теорема 1: Сборът на два съседни ъгъла е $180^{\circ}$.

Определение 2: Ъгъл, който е равен на $90^{\circ}$ ще наричаме прав ъгъл.

Теорема 2: Съседен ъгъл на прав ъгъл, също е прав ъгъл (тази теорема е следствие от Теорема 1).

Доказателство:

Нека $\sphericalangle ACB=\alpha=90^{\circ}$ и $\sphericalangle BCD=\beta=x^{\circ}$ са съседни. Следователно от Теорема 1 имаме, че $\alpha+\beta=180^{\circ}$. Така получаваме, че $\beta=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}.$ Следователно според Определение 2 $\sphericalangle BCD=90^{\circ}$ е прав ъгъл, с което теоремата е доказана.

Теорема 3: Ако два съседни ъгъла са равни, то всеки от тях е прав.

Доказателство:

Нека $\sphericalangle ACB=\alpha=x^{\circ}$ и $\sphericalangle BCD=\beta=x^{\circ}$ са съседни. Следователно от Теорема 1 имаме, че $\alpha+\beta=180^{\circ}$. Така получаваме, че $x+x=180^{\circ}$, следователно $2x=180^{\circ}$, от където получаваме, че $x=90^{\circ}$ и $\sphericalangle ACD=\sphericalangle BCD=90^{\circ}.$

Определение 3: Ъгъл, който е по-малък от $90^{\circ}$, се нарича остър ъгъл.

Определение 4: Ъгъл, който е по-голям от $90^{\circ}$ и по-малък от $180^{\circ}$, се нарича тъп ъгъл.

Определение 5: Две прави, които имат само една обща точка, се наричат пресекателни или пресичащи се прави. Общата им точка се нарича тяхна пресечна точка.

Твърдението "Правата $a$ пресича правата $b$ в точката $O$", за краткост ще означаваме по следният начин $a\cap b=O.$

Определение 6: Две прави, които нямат общи точки се наричат успоредни прави. 

Твърдението: "Правата $a$ е успоредна на правата $b$" ще означаваме с $a\parallel b.$

Определение 7: Два ъгъла, раменете на които са противополжни лъчи, ще наричаме противоположни или още връхни ъгли.

На тази фигура ъглите $\sphericalangle AOB$ и $\sphericalangle BOD$ са връхни, както и ъглите $\sphericalangle BOC$ и $\sphericalangle AOD$ също са връхни.

Теорема 4: Всеки два връхни ъгъла са равни.

Доказателство: Ъглите $\sphericalangle AOC$ и $\sphericalangle BOC$ са съседни ъгли. Нека $\sphericalangle AOC=\alpha$, следователно от Теорема 1 имаме, че $\sphericalangle BOC=180^{\circ}-\alpha$. От друга страна, ъглите $\sphericalangle BOC$ и $\sphericalangle BOD$ също са съседни ъгли, и отново от Теорема 1 имаме, че $\sphericalangle BOD=180^{\circ}-(180^{\circ}-\alpha)$, от където получаваме, че $\sphericalangle BOD=\alpha$, следователно двойката връхни ъгли $\sphericalangle AOB$ и $\sphericalangle BOD$, са равни. Аналогично и $\sphericalangle BOC$ и $\sphericalangle AOD$ също са равни (Докажете сами!).   

Определение 8: Две прави се наричат перпендикулярни, ако при пресичането си образуват прав ъгъл.

Твърдението "Правата $a$ е перпендикулярна на правата $b$" означаваме с $a\perp b.$

Теорема 5: През точка, не лежаща на дадена права, минава само една права, перпендикулярна на дадената.

Може да си припомните основните геометрични фигури от тук.

1 Задача Ако ъгъл $\sphericalangle AOB$ е изправен, то намерете големината на $\sphericalangle COD.$

Решение:

2 Задача Лъчите на чертежа се пресичат в точката $O$. Да се намери големината на $\sphericalangle COA$, ако $\sphericalangle COA:\sphericalangle COB=4:5$.

Решение: Ъглите $COA$ и $COB$ са съседни. Следователно според Теорема 1 $\sphericalangle COA+\sphericalangle COB=180^{\circ}.$ От условието на задачата имаме, че $\sphericalangle COA=4x$ и $\sphericalangle COB=5x$, тогава $4x+5x=180^{\circ}$ от където намираме, че $x=20^{\circ}.$ Така за търсеният ъгъл получаваме $\sphericalangle COA=4x=4.20^{\circ}=80^{\circ}.$

3 Задача Ъглите $AOB$ и $BOC$ са съседни. Намерете градусните им мерки, ако, разликата им е $50^{\circ}.$

Решение: Нека $\sphericalangle AOB=\alpha$ и $\sphericalangle BOC=\beta$. От факта, че двата ъгъла са съседни, според Теорема 1 имаме, че $\alpha+\beta=180^{\circ}.$ В условието на задачата, още ни е казано, че разликата на двата ъгъла е $50^{\circ}.$ Нека предположим, че $\alpha>\beta$, следователно $\alpha-\beta=50^{\circ}.$ Изразяваме $\alpha$ от последното равенство, от където $\alpha=50^{\circ}+\beta$. Сега заместваме $\alpha$ с $50^{\circ}+\beta$ в равенството $\alpha+\beta=180^{\circ}$ и така получаваме $50^{\circ}+\beta+\beta=180^{\circ}\iff 2\beta=130^{\circ}$ и $\beta=65^{\circ}$, а $\alpha=50^{\circ}+65^{\circ}=115^{\circ}.$ 

4 Задача Лъчите $OA^{\rightarrow}$ и $OB^{\rightarrow}$ са противоположни. Като използвате означенията на чертежа и фактите, че $\alpha:\gamma:\delta=3:4:5$ и $\delta=60^{\circ}$ намерете $\beta$.

Решение: Нека $\alpha=3x$, $\gamma=4x$ и $\delta=5x$, следователно $5x=60^{\circ}$ от където намираме, че $x=12^{\circ}$. Така получаваме, че $\alpha=3.12^{\circ}=36^{\circ}$, $\gamma=4.12^{\circ}=48^{\circ}.$ Тъй като $\alpha+\beta+\gamma+\delta=180^{\circ}$ имаме уравнението $36^{\circ}+\beta+48^{\circ}+60^{\circ}=180^{\circ}$ от където намираме, че $\beta=180^{\circ}-36^{\circ}-48^{\circ}-60^{\circ}=36^{\circ}.$  

Задачи за самостоятелна работа

1. На даденият чертеж $OL^{\rightarrow}$ е ъглополовяща на $\sphericalangle AOC$. Ако мярката на $\sphericalangle AOC$ е с $40$% по-голяма от мярката на $\sphericalangle BOC$, то намерете мярката на $\sphericalangle BOL.$

2. Ако $\sphericalangle AOB$ и $\sphericalangle BOC$ са съседни ъгли и $\sphericalangle AOB$ е с $40^{\circ}$ по-голям от $\sphericalangle BOC$, то намерете градусните им мерки.

3. Намерете ъглите, образувани при пресичането на две прави, ако един от тези ъгли е равен на сбора от двата си съседни ъгъла.

4. Да се пресметнат големините на два съседни ъгъла, ако единият от тях е с $30$% по-голям от другия.

5. Един ъгъл е $8$ пъти по-голям от съседния си. Намерете мярката на ъгъла.

Още обяснени и решени задачи свързани с този урок можете да намерите в клипа ми даден по-долу:

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020 

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за наицоналното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015 

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +