Теория на множествата. Георг Кантор

За основоположник на теорията на множествата се счита Георг Кантор (за да придобиете по добра представа за понятието множество може да погледнете тук). Макар и в труда си "Парадокси на безкрайността" публикуван през 1851 г. чешкият математик Бернард Болцано да развива теорията за безкрайните множества и да доказва теоремата на Болцано-Вайерщрас, Кантор разглежда всеки математически обект, като определен тип множество.

Георг Кантор

Георго Кантор е роден на трети март 1845 г. в Санкт Петербург, Русия. Семейството му било заможно, а баща му бил емигрирал в Русия още на младини. През 1856 г. те се преместват в Германия. Амбициозният му баща, макар и да забелязал от рано интересите на младия Георг към математиката не бил съгласен синът му да се посвети на тази наука. Той искал наследникът му да стане инженер. По-късно отстъпва от това свое желание и разрешава на Кантор да следва математика. Университетът в Цюрих е първата стъпка към изучаването на тайните на любимата му наука. Георг е приет през 1862 г. във висшето учебно заведение и започва следването си, но само една година по-късно се връща обратно в Берлин поради кончината на баща си и довършва образованието си в Берлинския университет, като там успешно защитава и дисертационният си труд. Интересно е да отбележим, че темата на доктората му била от областта на теорията на числата. Макар и много добре подготвена и написана, в нея няма нищо революционно, и с нищо не подсказва за гения на автора си. Едни от учителите на Кантор са имена, като Карл Вайерщрас, Ернст Кумер, а на по-късен етап и Леополд Кронекер.

След, като завършва университета, той започнал работа, като учител в гимназия, а през 1869 г. вече е частен доцент в университета в Хале, където минава целият му професионален път. 

Първите публикации на Кантор са от 1870 г. През 1884 г той открива, че множеството на реалните числа е неизброимо. В периода 1879-1884 г. геният публикува серия статии в списанието "Акта математика", в които систематизирано е изложена и развита неговата теория. Монументалният му труд "Основи на общото учение за многообразията", в който са обобщени всичките му получени до момента резултати излиза на страниците на "Акта математика" през 1883 г. Идеите, които обхваща той са нетрадиционни и шокират математическата общност. 

Макар и трудовете му да са високо ценени днес много от тях не били приемани от неговите съвременници. Въпреки това Кантор продължавал да работи усилено подкрепян от своята религиозна вяра, като считал работата си за прослава на Бог. За съжаление, тя не била достатъчна и продължаващият отрицателен отзвук на работата му от математическата общност включително и един от бившите му учители Кронекер, с който враждада помежду им продължава дълги години, оказва прекалено голямо влияние на психическото му състояние. Вероятно това е причината за психическите сривове, които Георг получава и го съпътстват през целият му живот. Той умира на шести януари 1901 г. в клиниката за душевно болни хора в Хале.

Това, което ни оставя Кантор днес се превръща в част от основите на математиката. Едно от най-интересните му и забележителни открития е свързано с концепцията за безкрайност. Той открива съществуването на различни видове безкрайности, които могат да бъдат съпоставени т.е. една безкрайност да бъде по-голяма от друга. Например множеството на естествените числа $\mathbb{N}=\{1,2,3,4,5,6.\ldots\}$ е безкрайно изброимо множество, докато множеството на реалните числа $\mathbb{R}$ е безкрайно неизброимо множество. С други думи безкрайността на $\mathbb{R}$ е по-голяма от тази на $\mathbb{N}$. За да може да ги представи по-добре Кантор въвежда трансфинитните числа. Той разделя безкрайностите на два вида кардинални и ординални.  Първото такова кардинално трансфинитно число е $\aleph_{0}$ (алеф нула) и представлява мощността на множеството на естествените числа.