Свойства на успоредните прави 7 клас

Този урок ще започнем с една важна аксиома свързана с успоредните прави.

Аксиома за успоредните прави: През точка, нележаща на дадена права, минава само една права, успоредна на дадената.

Сега нека да разгледаме следните две теореми, които са следствие от горната аксиома.

Теорема 1: Ако две прави поотделно са успоредни на трета, то те са успоредни помежду си.

Теорема 2: Ако права пресича едната от две успоредни прави, тя пресича и другата.

Сега да разгледаме следните теореми-свойства на успоредните прави.

Теорема 3: Ако пресечем две успоредни прави с трета, то всяка двойка кръстни ъгли са равни.

Теорема 4: Ако пресечем две успоредни прави с трета, то всяка двойка съответни ъгли са равни.

Теорема 5: Ако пресечем две успоредни прави с трета то сборът на всяка двойка прилежащи ъгли е равен на ${180}^{\circ }$.

Да припомним две теореми-следствия.

Теорема 6: Ако права е перпендикулярна на една от две успоредни прави, тя е перпендикулярна и на другата.

Теорема 7: През точка, нележаща на дадена права, минава само една права перпендикулярна на дадената.

Сега да кажем и едно важно определение свързано с разстоянието от точка до права.

Определение 1: Разстоянието от точка до права, ще наричаме перпендикулярът спуснат от точката към правата.

1 Задача: На даденият чертеж $a\parallel b$. Да се намери мярката на ъгъл $\beta$.

Решение: Тъй като от условието на задачата $a\parallel b$, тогава според Теорема 4 всяка двойка съответни ъгли са равни (можете да си припомните всички ъгли получени при пресичането на две прави с трета тук). От чертежа виждаме, че ъглите $\gamma$ и $\delta$ са съответни ъгли и следователно $\gamma =\delta ={40}^{\circ }$. Тъй като $\alpha +\beta +\gamma ={180}^{\circ }$ (виж урока за съседни и противоположни ъгли тук) получаваме, че ${110}^{\circ }+\beta +{40}^{\circ }={180}^{\circ }$ от където намираме и, че $\beta ={180}^{\circ }-{150}^{\circ }={30}^{\circ }$ с което задачата е решена.

2 Задача: На даденият чертеж $a\parallel b$. Да се намери мярката на ъгъл $\beta$.

Решение: Тъй като ъглите $\alpha$ e $3\alpha$ са съседни ъгли следва, че $\alpha +3\alpha ={180}^{\circ }$, от където $4\alpha ={180}^{\circ }$ и $\alpha ={45}^{\circ }$. Така намираме и, че $3\alpha =3\cdot {45}^{\circ }={135}^{\circ }$. Ъглите $3\alpha$ и $\beta$ са съответни ъгли. От условието на задачата имаме, че $a\parallel b$ и според Теорема 4 от настоящият урок всяка двойка съответни ъгли са равни. Така от тук можем да направим извода, че $3\alpha =\beta ={135}^{\circ }$.

3 Задача: На даденият чертеш правите $a$ и $b$ са успоредни и са пресечени с правата $c$, да се намери мярката на ъгъл $\beta$.

Решение: Ъглите $\beta$ и $\alpha$ са съответни ъгли. От условието на задачата имаме, че $a\parallel b$ и отново според Теорема 4 от настоящият урок получаваме, че $\alpha =\beta$. От друга страна ъглите $\alpha$ и $2\beta +{30}^{\circ }$ са съседни ъгли, от където имаме, че $\beta +2\beta +{30}^{\circ }={180}^{\circ }$, следователно $3\beta ={150}^{\circ }$ и $\beta ={50}^{\circ }$.

Задачи за самостоятелна работа

1. Намерете ъглите, получени при пресичането на две успоредни прави с трета, ако единият от тях е три пъти по-голям от съседния му ъгъл.

2. Намерете ъглите, получени при пресичането на две успоредни прави с трета, ако единият от тях е половината на прилежащия му ъгъл.

3. Намерете ъглите, получени при пресичането на две успоредни прави с трета, ако единият от тях е с ${30}^{\circ }$ по-голям от съседния му ъгъл.

4. Намерете ъглите, получени при пресичането на две успоредни прави с трета, ако единият от тях е $\frac{2}{3}$ от някой от другите ъгли.

5. Докажете, че ъглополовящите на два ъгъла с взаимно успоредни рамене и с различни градусни мерки са перпендикулярни.

Видео уроци:

Още обяснени и решени задачи свързани с този урок можете да намерите в клипа ми даден по-долу:

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за националното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +