Ъгъл чийто връх е вътрешна точка за окръжност. Ъгъл чийто връх е външна точка за окръжност 8 клас

Теорема 1 Ъгъл чийто връх е вътрешна точка на една окръжност, се измерва с полусбора от мерките на дъгите, заключени между раменете му, и техните продължения.

$\sphericalangle AED=\frac{\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BC}}{2}$.

Теорема 2 Ъгъл, чийто връх е външен за една окръжност, а раменете му имат общи точки с тази окръжност, се измерва с полуразликата от дъгите, заключени между раменете му.

На горната фигура виждаме различните възможности, които може да имаме за ъгъл чийто връх е външен за една окръжност, а раменете му имат общи точки с окръжността. Ъглите от фигурата на равни съответно на:

$\sphericalangle MLN=\frac{\overset{\frown}{MN}-\overset{\frown}{PQ}}{2}$, $\sphericalangle MLQ=\frac{\overset{\frown}{MQ}-\overset{\frown}{PQ}}{2}$ и $\sphericalangle MLQ=\frac{\overset{\frown}{MRQ}-\overset{\frown}{MQ}}{2}$.

1 Задача Хордите $AB$ и $AC$ в окръжност $k$ са равни и образуват ъгъл $50^{\circ}$. Допирателната към $k$ в точка $B$ пресича правата $AC$ в точка $M$. Намерете $\sphericalangle AMB$.

Решение:

Тъй като  $\sphericalangle BAC=50^{\circ}$ е вписан следва, че $\overset{\frown}{BC}=100^{\circ}$. Освен това по условие $AB=AC$ и следователно $\triangle ABC$ е равнобедрен, от където получаваме, че $\sphericalangle ABC=\sphericalangle ACB=65^{\circ}$. И двата ъгъла са вписани от където можем да кажем, че дъгите $AB$ и $AC$ са равни на по $130^{\circ}$. Търсеният ъгъл е ъгъл чийто връх е външна точка за окръжността, а раменете му имат общи точки с нея. Тогава от Теорема 2 можем да кажем, че $\sphericalangle AMB=\frac{\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{BC}}{2}=\frac{130^{\circ}-100^{\circ}}{2}=15^{\circ}$.

2 Задача Допирателната в точка $C$ и секущата $AB$ от една окръжност се пресичат в точка $M$ (B е между $A$ и $M$). Ако $\sphericalangle MAC=\alpha$ и $\sphericalangle AMC=\beta$, намерете $\sphericalangle ABC$ и $\sphericalangle ACB$.

Решение:

Тъй като $\sphericalangle BAC$ е вписан ъгъл следва, че $\sphericalangle BAC=\frac{1}{2}\overset{\frown}{BC}$ от където получаваме, че $\overset{\frown}{BC}=2\alpha$. Освен това имаме, че $\sphericalangle AMC$ е ъгъл, чийто връх е външна точка за окръжността и следователно $\sphericalangle AMC=\frac{\overset{\frown}{AC}-\overset{\frown}{BC}}{2}$. Така получаваме реванството $2\beta=\overset{\frown}{AC}-2\alpha$, от където $\overset{\frown}{AC}=2\alpha+2\beta$. Забелязваме, че $\sphericalangle ABC$ е вписан ъгъл и той е равен на половината от $\overset{\frown}{AC}$. От тук намираме, че $\sphericalangle ABC=\alpha+\beta$. Сега като приложим теоремата за сбор на ъгли в триъгълник намираме и $\sphericalangle ACB=180^{\circ}-(\alpha+\alpha+\beta)=180^{\circ}-(2\alpha+\beta)$.

3 Задача През точка $M$ външна за окръжността $k(O)$ са построени допирателна $MT$ и секуща през $O$, която пресича $k$ в точките $A$ и $B$. Ако $BN$ е хорда, успоредна на $MT$, и $\overset{\frown}{NT}=50^{\circ}$, намерете големината на $\sphericalangle AMT$.

Решение:

Нека означим търсеният $\sphericalangle AMT$ с $\alpha$. Тъй като $MT\parallel BN$ следва, че $\sphericalangle ABN=\sphericalangle AMT=\alpha$ като съответни ъгли. От тук следва, че дъгата $\overset{\frown}{AN}=2\alpha$ ($\sphericalangle ABN$ е вписан ъгъл и е равен на половината от принадлежащата му дъга). От друга страна $sphericalangle AMT$ е ъгъл, чийто връх е външна точка за окръжността и следователно $\sphericalangle AMT=\frac{\overset{\frown}{AT}-\overset{\frown}{BT}}{2}$, от където получаваме, равенството $\alpha=\frac{2\alpha+50^{\circ}-(180^{\circ}-(50^{\circ}+2\alpha))}{2}$, от където $2\alpha=4\alpha-80^{\circ}$ и $alpha=40^{\circ}$.

4 Задача  В окръжност хордите $AB$ и $CD$ се пресичат в точка $M$ и $\sphericalangle AMC=70^{\circ}$. Намерете сбора $\sphericalangle ACD+\sphericalangle BDC$.

Решение:

Ъгъл $\sphericalangle AMC$ е ъгъл, чийто връх е вътрешна точка за окръжността. Следователно $\sphericalangle AMC=\frac{\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{BD}}{2}$. От тук получаваме, че $\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{BD}=140^{\circ}$. Ъглите $\sphericalangle ACD$ и $\sphericalangle BDC$ са вписани ъгли и са равни съответно на $\frac{\overset{\frown}{AD}}{2}$ и $\frac{\overset{\frown}{BC}}{2}$. Не е трудно да видим обаче, че поради факта $\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{BD}+\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AC}=360^{\circ}$ и $\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{BD}=140^{\circ}$ следва, че $\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BC}=360^{\circ}-140^{\circ}=220^{\circ}$. Тогава от тук намираме, че $\sphericalangle ACD+\sphericalangle BDC=\frac{$\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BC}}{2}=110^{\circ}$.  

5 Задача

Решение:

Задачи за самостоятелна работа:

1. През точка $M$, външна за окръжността $k(O)$, са построени допирателна $MT$ и секуща през $O$, която пресича $k$ в точките $A$ и $B$. Ако $BN$ е хорда, успоредна на $MT$, и $\sphericalangle NBT=24^{\circ}$, намерете големината на $\sphericalangle AMT$.

2. Върху окръжност $k(O)$ са взети точките $A$ и $B$ така, че $\overset{\frown}{AB}=140^{\circ}$. Точка $P$ е от дъгата $\overset{\frown}{AB}$ и $\overset{\frown}{AP}:\overset{\frown}{PB}=3:4$. Намерете големините на $\sphericalangle AOP$ и $\sphericalangle BOP$.

3. Хордите $AB$ и $CD$ на окръжност се пресичат в точка $M$. Ако $AB=CD$, $\overset{\frown}{AD}=165^{\circ}$ и мярката на дъгата $\overset{\frown}{BD}$ е с $30^{\circ}$ по-голяма от мярката на дъгата $\overset{\frown}{BC}$, намерете $\sphericalangle BMD$.

4. Хордите $\overset{\frown}{AB}$ и $\overset{\frown}{CD}$ се пресичат в точка $P$, $\sphericalangle CPB=120^{\circ}$, $\sphericalangle ACB=150^{\circ}$ и $\overset{\frown}{AD}:\overset{\frown}{CB}=11:1$. Да се намери градусната мярка на ъгъл $\sphericalangle ADC$.

5. Точките $A$, $B$, $C$ и $D$ лежат на окръжност и $\overset{\frown}{AB}:\overset{\frown}{BC}:\overset{\frown}{CD}\overset{\frown}{DA}$=2:3:6:8. Намерете ъглите на четириъгълника $MNPQ$, образуван от допирателните в точките $A$, $B$, $C$ и $D$.

Още решени и обяснени задачи може да намерите във видеото ми по-долу: