Комплексни числа - основни понятия

В тази статия ще се запознаем с основните понятия, свързани с комплексните числа. Комплексните числа са мощен математически инструмент, който ни позволява да работим в ситуации, в които реалните числа не са достатъчни.

Исторически преглед

Идеята за комплексните числа възниква през 16-ти век. В това време математиците се занимавали с решаването на уравнения от вида $x^2 + 1 = 0$. Те откриват, че такова уравнение няма реални корени, тъй като квадратът на всяко реално число е неотрицателно. Въпреки това, математиците не отхвърлят съществуването на корен от $-1$, който би задоволил уравнението.

През 18-ти век, комплексните числа започват да бъдат по-добре разбрани и формализирани. Терминът “комплексно число” се използва за първи път през 1797 година Карл Фридрих Гаус.

Основни понятия

Комплексните числа се представят във вида $a + bi$, където $a$ е реалната част, $b$ е имагинерната част, а $i$ е имагинерната единица. Комплексните числа се изобразяват в т.н. комплексна (Гаусова равнина), където по реалната права се изобразява реалната част на комплексното число, а по имагинерната права се изобразява имагинерната част на числото. 

В статията ще разгледаме основни операции с комплексни числа - събиране, изваждане, умножение и деление. Ще представим формули и примери за всяко от тези действия. Също така ще разгледаме понятието за комплексно спрегнато число и ще обсъдим формулите на Моавър за коренуване и степенуване на комплексни числа.

Комплексните числа имат широк спектър от приложения в различни области на науката и инженерството. Те са от съществено значение в електротехниката, физиката, теорията на вероятностите и други дисциплини.

Нека започнем разглеждането на основните понятия свързани с комплексните числа и техните приложения.

Дефиниция 1: Нека имаме комплексно число $z = a + bi$, където $a$ и $b$ са реални числа. Комплексното спрегнато число на $z$, означавано с $\overline{z}$, се получава като заменим знака на имагинерната част $b$ на $z$, т.е. $\overline{z} = a - bi$.

Събиране на комплексни числа

Формула: Нека имаме две комплексни числа $z_1 = a + bi$ и $z_2 = c + di$. Сумата на $z_1$ и $z_2$, означавана с $z_1 + z_2$, се намира като съберем реалните части и имагинерните части от двете числа поотделно, т.е. 

$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$.

Пример 1: Нека имаме две комплексни числа $z_1 = 2 + 3i$ и $z_2 = -1 + 5i$. За да намерим сумата на $z_1$ и $z_2$, следваме формулата за събиране на комплексни числа: 

$(2 + 3i) + (-1 + 5i) =$

$= (2 - 1) + (3 + 5)i = 1 + 8i$.

Изваждане на комплексни числа

Формула: Нека имаме две комплексни числа $z_1 = a + bi$ и $z_2 = c + di$. Разликата на $z_1$ и $z_2$, означавана с $z_1 - z_2$, се намира като извадим реалните части и имагинерните части от двете числа отделно. Тоест, $(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$.

Пример 2: Нека имаме две комплексни числа $z_1 = 4 + 2i$ и $z_2 = -3 + 7i$. За да намерим разликата на $z_1$ и $z_2$, следваме формулата за изваждане на комплексни числа: 

$(4 + 2i) - (-3 + 7i) =$

$=(4 - (-3)) + (2 - 7)i = 7 - 5i$.

Умножение на комплексни числа

Формула: Нека имаме две комплексни числа $z_1 = a + bi$ и $z_2 = c + di$. Произведението на $z_1$ и $z_2$, означавано с $z_1 \cdot z_2$, се намира чрез разширеното приложение на дистрибутивния закон, т.е. 

$(a + bi) \cdot (c + di) = ac + adi + bci + bdi^2$. 

Забележка: Понеже $i^2 = -1$, можем да заменим $i^2$ с $-1$. Така получаваме: 

$(a + bi) \cdot (c + di) = ac + adi + bci - bd$.

Пример 3: Нека имаме две комплексни числа $z_1 = 3 + 4i$ и $z_2 = -2 + i$. За да намерим произведението на $z_1$ и $z_2$, следваме формулата за умножение на комплексни числа: 

$(3 + 4i) \cdot (-2 + i) =$

$= (3 \cdot -2) + (3 \cdot 1)i + (4 \cdot -2)i + (4 \cdot 1)i^2 =$

$-6 + 3i - 8i - 4 = -10 - 5i$.

Деление на комплексни числа

Формула: Нека имаме две комплексни числа $z_1 = a + bi$ и $z_2 = c + di$, като $z_2 \neq 0$. Частното от делението на $z_1$ и $z_2$, означавано с $\frac{z_1}{z_2}$, се намира чрез умножение на делимото и делителя по комплексно спрегнатия на делителя , т.е. $\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi) \cdot \overline{(c + di)}}{(c + di) \cdot \overline{(c + di)}}$. Използвайки формулата за умножение на комплексни числа, получаваме: $\frac{a+bi}{c +di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c^2 + d^2)}$.

Пример 4: Нека имаме две комплексни числа $z_1 = 5 - 2i$ и $z_2 = 3 + i$. За да намерим частното от делението на $z_1$ и $z_2$, следваме формулата за деление на комплексни числа: $\frac{(5 - 2i)(3 - i)}{(3^2 + 1^2)} =$

$= \frac{(15 - 5i - 6i + 2i^2)}{10} = \frac{(15 - 11i + 2(-1))}{10} =$

$=\frac{(13 - 11i)}{10}=\frac{13}{10}-\frac{11}{10}i$.

За да намерим аргумента на комплексното число $z = a + bi$, използваме следната формула:

$$\theta = \arctan \left(\frac{b}{a}\right)$$

Където $\theta$ е аргументът на комплексното число $z$, а $\arctan$ е обратна функция на тангенса.

Формули на Моавър

Коренуване на комплексни числа

Формула: Нека имаме комплексно число $z = r(\cos{\theta} + i\sin{\theta})$, където $r$ е модула на $z$, а $\theta$ е аргументът на $z$. Ако желаем да изчислим корен квадратен от $z$, тоест $\sqrt{z}$, можем да използваме формулата на Моавър: 

$\sqrt{z} = \sqrt{r}\left((\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)$. 

Тази формула е обобщена и за 

$\sqrt[n]{r\left(\cos\theta+i\sin\theta \right)}=$

$=\sqrt[n]{r}\left(cos\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)\right)$, където $k=0,1,\ldots, n-1$.

Пример 5: Нека имаме комплексното число $z = \sqrt{3}\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)$. За да намерим корен квадратен от $z$, използваме формулата на Моавър: 

$\sqrt{z} = \sqrt{\sqrt{3}}\left(\cos\left(\frac{\frac{\pi}{3}}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\frac{\pi}{3}}{2}\right)\right) =$

$= \left(\sqrt[4]{3}\right)\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)$.

Степенуване на комплексни числа

Формула: Нека имаме комплексно число $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$, където $r$ е модула на $z$, а $\theta$ е аргументът на $z$. Ако желаем да повдигнем $z$ на степен $n$, тоест да намерим $z^n$, можем да използваме формулата на Моавър: $z^n = r^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))$.

Пример 6: Нека имаме комплексното число $z = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)$. За да намерим квадрат от $z$, използваме формулата на Моавър: 

$z^2 = (\sqrt{2})^2\left(\cos\left(2\cdot\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(2\cdot\frac{\pi}{4}\right)\right) =$

$=2\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+ i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) = 2i$.

Задачи за самостоятелна работа

Задачи за събиране

1. Намерете сумата на следните две комплексни числа: $(1+3i) + (4+5i)$.
2. Намерете сумата на следните две комплексни числа: $(6-8i) + (-9+12i)$.
3. Намерете сумата на следните две комплексни числа: $(0+4i) + (-3-7i)$.

Задачи за изваждане

1. Намерете разликата между следните две комплексни числа: $(10-5i) - (3+4i)$.
2. Намерете разликата между следните две комплексни числа: $(8+9i) - (-6-7i)$.
3. Намерете разликата между следните две комплексни числа: $(12-11i) - (-9+10i)$.

Задачи за умножение

1. Намерете произведението на следните две комплексни числа: $(3+4i) \cdot (5+6i)$.
2. Намерете произведението на следните две комплексни числа: $(7-8i) \cdot (-9+10i)$.
3. Намерете произведението на следните две комплексни числа: $(11+12i) \cdot (-13-14i)$.

Задачи за деление

1. Намерете частното от делението на следните две комплексни числа: $\frac{(6+7i)}{(8+9i)}$.
2. Намерете частното от делението на следните две комплексни числа: $\frac{(10-11i)}{(-12+13i)}$.
3. Намерете частното от делението на следните две комплексни числа: $\frac{(14+15i)}{(-16-17i)}$.

Още решени и обяснени задачи може да намерите във видеото ми по-долу: