Лихва, кредит, рента 10 клас

Аритметичната и геометричната прогресии намират много приложения в науката и практиката. Едно такова приложение е пресмятането на лихви, ренти и погасителни вноски на заеми, които сме взели от дадена банка. 

Нека си представим следната ситуация. Ние притежаваме определена сума пари, които няма какво да правим. Тогава една възможност тези пари да ни донесат печалба е, ако ги внесем на влог в банката (и не само). Това означава ние да предоставим нашите пари на банката и тя да ги използва за свои цели. В замяна на това ние ще получаваме от банката някаква сума, възнаграждение за това, че тя използва нашите пари. Това възнаграждение, което ние ще получаваме за използването на парите ни за дадени период от време се нарича лихва. 

Лихвата се начислява за даден период от време, като тя е процент от първоначално внесената от нас сума. Периодът, за който ние предоставяме нашите пари на банката да ги използва се нарича лихвени период, а процентът - лихвен процент.

Определение 1: Лихвата, която се изплаща, когато в края на всеки лихвен период се олихвява само първоначалният капитал (първоначално дадената сума, нарича се още основен капитал или главница), се нарича проста лихва.

Нека $K_0$ е основният капитал, а с $p$% да означим лихвеният процент. Тогава нарастналият капитал в края на първия лихвен период можем да изчислим по формулата $K_0+K_0\frac{p}{100}$. В края на втория период е $K_2=K_0+2K_0\frac{p}{100}$. Така можме да обобщим, че в края на $n$-тият период ще имаме $K_n=K_0+nK_0\frac{p}{100}$. Не е трудно да се види, че можем да изведем и формула за пресмятане на нарастналия капитал при проста лихва, а именно $K_n=K_0(1+n\frac{p}{100})$. Веднага се забелязва, че редицата $K_1, K_2\ldots K_n$ представлява една аритметична прогресия с първи член $K_1$ и разлика $d=K_0\frac{p}{100}$.

Лихва, при която в края на всеки лихвен период към главницата се прибавя и самата лихва и в края на следващият лихвен период се олихвява заедно с нея се нарича сложна или още капитализирана лихва. Казано с други думи, след като получим лихвата (печалбата) след първия лихвен период, в края на втория лихвен период се олихвява първоначалният ни капитал плюс лихвата, която сме получили в края на първия лихвен период и т.н. Както е казал Айнщайн: "Сложната лихва е осмото чудо на света. Който не я разбира я плаща, който я разбира я получава".

Ако $K_0$ е първоначалният ни капитал и имаме $p$% сложна лихва, тогава след края на първия период нарастналият капитал ще бъде $K_1=K_0+K_0\frac{p}{100}=K_0(1+\frac{p}{100})$. Нека положим $(1+\frac{p}{100})=q$, тогава в края на втория период ще имаме $K_2=K_1q=K_0q^2$, в края на третия $K_3=K_0q^3$ и т.н. в края на $n$-тия ще имаме $K_n=K_0q^n$. Не е трудно да забележим, че $K_0$, $K_0q$, $K_0q^2$, $K_0q^3$,..., $K_0q^n$ е една растяща аритметична прогресия с първи член $K_0$ и частно $q=1+\frac{p}{100}$, тогава за нарастналият лихвет капитал получаваме формулата $K_n=K_0(1+\frac{p}{100})^n$.

Когато граждани или фирми вземат от банки или други кредитни институции заеми за определен срок на връщане при равни месечни вноски за определен период от време, може да изведем формула за сумата $K_n$, която остава след $n$-тата погасителна вноска - $K_n=K^n_q-V\frac{q^n-1}{q-1}$, където $K$- взетият кредит, $V$- погасителна вноска за определен период. Ясно е, че когато заемът е покаген  т.е. $K_0=0$ в последното равенство, тогава получаваме формула за погасителната вноска, а именно $V=Kq^n\frac{q-1}{q^n-1}$.

Определение 2: Предварително уговорена сума, която се получава срещу вложен капитал при определена лихва ще наричаме рента и ще отбелязваме с $R$.

В сила е следвана формула за рента - $R=Kq^n\frac{q-1}{q^n-1}$.

Сега да разглудаме някои примерни задачи.

1 Задача Фирма взела заем от $10000$ лв. за $8$ месеца при $5$% месечна проста лихва. Колко лева е върнала фирмата в края на периода?

Решение: От казаното в условието на задачата имаме, че $K_0=10000$, p%=5%, а $n=8$. Тогава от формурата, която сме записали по-горе за проста лихва следва, че в края на $8$-мият период фирмата ще дължи $K_8=10000+8.10000.\frac{5}{100}=14000$ лв.

2 Задача Георги взел $8000$ лв. заем при $p$% проста месечна лихва. След $4$ месеца върнал $9920$ лв. Колко е лихвеният процент?

Решение: Нека означим $K_0=8000$ лв., $n=4$, а $K_4=9920$ лв. Следователно получаваме, че $9920=8000+4.8000.\frac{p}{100}\iff 1920=320p$ и следователно $p=6$ т.е. лихвеният процент е $6%$, с което тази задача е решена.

3 Задача Заем от $10000$ лв. е взет при $5$% годишна сложна лихва за $5$ години. Колко лева трябва да бъдат върнати при изтичането на периода.

Решение: От условието имаме, че $K_0=10000$, $p\%=5$%, а $n=5$. Тъй като за разлика от предходните две задачи тук вече говорим за сложна лихва трябва да използваме формулата $K_n=K_0(1+\frac{p}{100})^n$. Така за нашата конкретна задача получаваме, че $K_5=10000(1+\frac{5}{100})^5$, следователно $K_5=10000(1,05)^5\approx 10000.1,28\approx 12800$ лв.

4 Задача Каква сума трябва да се внесе при $5$% годижна сложна лихва, за да стане тя след $5$ години $10000$ лв.

Решение: Имаме, че $K_5=10000$, $n=5$ и $p\%=5$%. Търсим $K_0$. Тогава от формулата за сложна лихва имаме, че $10000=K_0(1+\frac{5}{100})^5\implies K_0=\frac{10000}{1,05^5}\implies K_0=7835,26$.

Задачи за самостоятелна работа:

1. Г-н Иванов има влог от $200000$ лв. при $3$% годижна лихва с месечно капитализиране.

а) Колко лева месечна рента ще получава, ако иска големината на влога му да не се променя?

б) Колко лева ще му останат след $10$ години, ако получава месечна рента от $1000$ лв.?
в) Колко лева месечна рента ще получава, ако иска големината на влога му след $10$ години да се намали наполовина?

2. В банка са внесени $3600$ лв. при годижна сложна лихва $5$%. Намерете каква ще бъде сумата след $2$ години. (ДЗИ - 03.06.2008 г.)

3. Капитал от $5000$ лв. е вложен в банка при сложна годишна лихва от $4$%. Намерете какъв ще е капиталът след $2$ години. (ДЗИ - 03.06.2008 г.)

4. В банка е вложена сума при сложна годишна лихва $3$%. След $3$ години сумата нараснала на $21854,54$ лв. Каква сума в лева е била вложена първоначално?  (ДЗИ - 19.05.2009 г.)

5. Гражданин депозирал в банка $5000$ лв. при сложна годишна лихва. Намерете колко процента е лихвата, ако след $2$ години сумата е нараснала на $5202$ лв. (ДЗИ - 28.08.2015 г.)

Още решени и обяснени задачи може да намерите във видеото ми по-долу: