Моделиране с квадратни уравнения 8 клас

Когато съставяме математически модел на дадена задача е необходимо първо да означим това, което търсим с някаква буква (най-често $x$, $y$ и т.н.). След това съставяме уравнение (в случай квадратно уравнение), като вземем в предвид условията в разглежданата задача (казано по друг начин още - стойностите, които променливата може да приема според спецификата на самата задача, наричат се още допустими стойности) и го решаваме. Когато намерим решенията му определяме кои от тях могат да бъдат решение на поставената задача т.е. кои отговарят на допустимите стойности на задачата.

Нека да разгледаме някои примери.

1 Задача Едно сако струва $50$ лв. Два пъти намалявали цената му, като второто намаление било с два пъти по-голям процент от първото. След двете намаления сакото струвало $36$ лв. С колко процента е било всяко от двете намаления.

Решение: Нека първото намаление на сакото да е било с $x$% следователно новата му цена ще е $50-\frac{x}{100}.50$. Тъй като второто намаление е с $2x$% получаваме уравнението $50-\frac{x}{2}-\frac{2x}{100}(50-\frac{x}{2})=36$ (от новата му цена вадим $2x$% от нея и получаваме цената на сакото след двете намаления, която по условие е $36$ лв). Опростяваме последното уравнение и получаваме: 

$50-\frac{x}{2}-\frac{x}{50}(50-\frac{x}{2})=36\iff$

$50-\frac{x}{2}-x+\frac{x^2}{100}=36\iff$

$5000-50x-100x+x^2=3600\iff$

$x^2-150x+1400=0$.
След като решим последното квадратно уравнение за корени получаваме $x_1=140$ и $x_2=10$. Сега остава да вземем в предвид, че намалението на сакото няма как да бъде $140$% и така можем да изключим единият от корените на уравнението. Така за отговор на задачата можем да кажем, че първото намаление е било с $10$%, а второто с $20$%.

2 Задача Произведението на две последователни естествени числа е с $209$ по-голямо от техния сбор. Намерете числата.

Решение: Нека търсените числа са  $n$ и $n+1$ ($n\in\mathbb{N}$). Тогава от казаното в условието на задачата можем да съставим следното уравнение:
$n(n+1)-209=n+n+1\iff$ (ясно е, че ако $n$ е естествено число, то следващото след $n$ ще бъде $n+1$, също така, тъй като произведението на двете числа е по-голямо от техният сбор с $209$ това означава, че като извадим $209$ от произведението ще получим точно сбора на числата) $n^2+n-209=2n+1\iff n^2-n-210=0$. След като решим последното квадратно уравнение ще получим, че то има корени $n_1=15$ и $n_2=-14$, но като вземем в предвид, че $n\in\mathbb{N}$ можем да кажем, че $n=15$ тъй като $-14\not\in\mathbb{N}$. Така за окончателен отговор можем да кажем, че търсените числа са $n=15$ и $n+1=15+1=16$.

3 Задача Отношението на дъжините на катетите на правоъгълен триъгълник е $2:3$. Хипотенузата му е $3$ cm. Намерете лицето на триъгълника.

Решение: Нека катетът $a=2x$, а катетът $b=3x$. От Питагоровата теорема знаем, че $a^2+b^2=c^2$ следователно $(2x)^2+(3x)^2=3^2\iff 4x^2+9x^2=9\iff 13x^2=9\iff x^2=\frac{9}{13}$. Сега като коренуваме лявата и дясната страна на последното равенство намираме, че $x_{1,2}=\pm \frac{3}{\sqrt{13}}$, но тъй като $x>0$ ($x$ трябва да е положително число, защото става въпрос за дължини на отсечки, няма как да имаме отсечка с отрицателна дължина) следва, че $x=\frac{3}{\sqrt{13}}$, от тук намираме, че $a=2.\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{6}{\sqrt{13}}$ и $b=3.\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{9}{\sqrt{13}}$. Знаем, че лице на правоъгълен триъгълник можем да намерим по формулата $S=\frac{a.b}{2}$. Заместваме във формулата с намерените вече катети $a$ и $b$ и получаваме, че $S=\frac{\frac{6}{\sqrt{13}}.\frac{9}{\sqrt{13}}}{2}=\frac{54}{26}=\frac{27}{13}=2\frac{1}{13}$ $cm^2$.

4 Задача Лора има с $9$ диска повече от тези на Ани. Ако от утроеното произведение на броя на дисковете на двете момичета се извадят дисковете на Ани, се получава числото $105$. Намерете по колко диска има всяко от момичетата.

Решение: Нека дисковете на Лора да означим с $x$, а тези на Ани с $y$. Тогава от казаното в условието на задачата имаме, че дисковете на Ани са $y=x-9$. Освен това, ако към утроеното произведение на броя на дисковете на двете момичета т.е. $3x.y=3x(x-9)=3y^2-27x$. Сега от това утроено произведение, като извадим дисковете на Ани ще получим $105$ или написано чрез езика на математиката, получаваме следното уравнение $3x^2-27x-(x-9)=105\iff 3x^2-28x-96=0$. Сега след като решим квадратното уравнение получаваме за корени $x_1=-\frac{8}{3}$ и $x_2=12$. Като вземем в предвид, че броят на дисковете няма как да бъде отрицателно число, нито пък дроб, получаваме, че Лора е имала $12$ дисак, а Ани е имала $12-9=3$ диска.

5 Задача Към произведението на две последователни естествени числа прибавих квадрата на по-голямото и получих $66$. Намерете числата.

Решение: Нека $n\in\mathbb{N}$. Нека освен това двете последователни естествени числа са $n$ и $n+1$, а тяхното произведение е $n(n+1)$. Очевидно квадратът на по-голямото от тях е $(n+1)^2$. Тогава от казаното в условието на задачата получаваме уравнението $n(n+1)+(n+1)^2=66$. Сега решаваме това квадратно уравнение относно $n$:

$n(n+1)+(n+1)^2=66\iff n^2+n+n^2+2n+1=66\iff 2n^2+3n-65=0$. Сега пресмятаме дискриминантата $D=3^2-4.2.(-65)=529$, тогава $\sqrt{D}=23$. Така намираме, че $n_{1,2}=\frac{-3\pm 23}{4}$ и $n_1=5\in\mathbb{N}$ и $n_2=-\frac{13}{2}\notin\mathbb{N}$. Сега остава да дадем отговор на задачата, а именно, че търсените числа са $5$ и $6$.

Задачи за самостоятелна работа:

1. Сборът от квадратите на две последователни естествени нечетни числа е $130$. Намерете числата.

2.  Произведението на две последователни естествени четни числа е $168$. Намерете числата.

3. Обиколката и лицето на квадрат се изразяват с едно и също число. Кое е това число?

4. Намерете двуцифрено число, за което цифрата на десетиците му е с $5$ по-голяма от квадрата на единиците му, а сборът на двете цифри е $11$.

5. Дадени са прави, всеки две от които се пресичат и никои три не минават през една точка. Ако е известно, че пресечните им точки са $1275$, да се намери броят на правите.

6. Към произведението на две последователни цели числа прибавих квадрата на по-голямото и получих $78$. Намерете числата.

7. Към произведението на две последователни естествени числа извадих удвоеният квадрат на по-малкото и получих $-132$