Уроци по математика (Math lessons)

Теорема 1: Ако $x_1$ и $x_2$ са корени на квадратното уравнение $ax^2+bx+c=0$ ($a\neq 0$) , то са изпълнени следните равенства: $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ и $x_1.x_2=\frac{c}{a}$. Зависимостите между корените $x_1$ и $x_2$ на квадратното уравнение от Теорема 1 и неговите коефициенти се наричат формули на Виет (последните две равенства от Теорема 1 ). Важно е да споменем, че формулите на Виет не ни гарантират наличието на реални решения на квадратното уравнение $ax^2+bx+c=0$. Със следващата теорема, която се нарича обратна теорема на Виет можем да възстановим едно квадратно уравнение, ако знаем неговите корени.  Теорема 2 (обратна теорема на Виет): Ако за числата $x_1$ и $x_2$ са в сила равенствата $x_1+x_2=-p$ и $x_1.x_2=q$, то $x_1$ и $x_2$ са корени на уравнението $x^2+px+q=0$. Преди да преминем към разглеждането на задачите, нека кажем и някои важни следствия от формулите за съкратено умножение, които съществено ще използваме в някои от примерите. Сборът $x_1^2+x_2^2$ можем да пр...

В този урок ще разгладаме приложението на теорията за квадратните уравнения при решаването на уравнения от по-висока степен. Един от най-честите подходи, когато решаваме уравнения от степен по-голяма от втора е да разложим многочлена, който участва в уравнението на линейни и/или квадратни множители. Така решаването на даденото уравнение ще се сведе до решаването на линейни и/или квадратни уравнения, за които ние вече сме подготвени и можем да решим.  Ако в уравнението от по-висока степен забележим, че неизвестното участва в някакъв повтарящ израз, тогава е удачно да положим (да заменим неизвестното с ново неизвестно и така да получим по-просто уравнение от даденото относно новата променлива, виж урока за биквадатни уравнения ). Нека да разгледаме някои примери. 1 Задача Решете уравнението $(2x-1)^4-25(2x-1)^2+144=0$. Решение: Ако започнeм да разкриваме скобите в това уравнение ще достигнем до уравнение което ще е много сложно за решаване, ето какво ще е уравнението, което бихме пол...

Определение 1: Уравнение от вида $ax^4+bx^2+c=0$, където $a\neq 0$ се нарича биквадратно уравнение.  Тук $a$, $b$ и $c$ са реални числа и се наричат коефициенти на биквадратното уравнение, а $x$ е неизвестното. Забелязваме, че даденото биквадратно уравнение можем да запишем във вида $a(x^2)^2+bx^2+c=0$. Сега можем да положим $x^2=t$ (полагането представлява заменянето на променливата или израз в който участва тя в даденото уравнение с нова променлива, като по този начин получим по просто уравнение относно новата променлива). Така получаваме квадратното уравнение относно $t$ - $at^2+bt+c=0$. След, като решим даденото квадратно уравнение получаваме за корени съответно $t_1$ и $t_2$ (ако съществуват реални корени, ако не съществуват реални корени за квадратното уравнение относно променливата $t$, то и биквадратното уравнение няма реални корени). Връщаме се в положеното, където ще имаме, че от една страна $x^2=t_1$, а от друга страна $x^2=t_2$. Последните две уравнения представляват ...

Определение 1: Израз от вида $ax^2+bx+c$, където $a\neq 0$ ще наричаме квадратен тричлен. Всеки квадратен тричлен, на който дискриминантата е по-голяма или равна на нула, може да се разложи на множители, като приложим формулата $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_1)$, където $x_1$ и $x_2$ са корени на квадратното уравнение $ax^2+bx+c=0$. Когато $D<0$ ще казваме, че квадратният тричлен е неразложим над $\mathbb{R}$. Разлагането на квадратен тричлен на множители не е ново за един осмокласник. Такива задачи са разглеждани в 7 клас, в темите свързани с разлагане на многочлени на множители чрез формули за съкратено умножение , чрез групиране и чрез комбинирано прилагане на групирането, изнасянето на общ множител пред скоби и прилагането на формулите за съкратено умножение. Нека да разгледаме квадратният тричлен $x^2+5x-6$. Забелязваме, че можем да го запишем във вида $x^2-x+6x-6$. Групираме първите две и вторите две събираеми и изнасяме общите им множители, така получаваме, че $x^2-x+6x-6=x(x-1)...