Ирационални изрази 10 клас

Определение 1: Алгебричен израз, който съдържа радикал (корен), се нарича ирационален израз. 

Като примери за ирационални изрази можем да дадем изразите - $\frac{5}{\sqrt{x^2-3}}$; $\sqrt{4x^3-2x^2+3x-4}$; $7\sqrt{x^2-1}+3$ и т.н.

Множеството от всички допустими стойности за даден израз ще наричаме допустими стойности, дефиниционно множество или дефиниционна област (ДС, ДМ, ДО).

Ще казваме, че един радикал е в нормален вид, ако подкоренната му величина не съдържа знаменател и множители, които да могат да се изнесат пред радикала.

Например радикалът $\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}$ е в нормален вид, докато радикалът $\sqrt{4(x^2+y^2)}$ не е в нормален вид, защото съдържа множител ($4$), който може да се изнесе пред корена.

Два радикала ще наричаме подобни, ако имат еднакви подкоренни величини в нормалният си вид. 

Например радикалите $-7\sqrt{xy^3}$ и $\frac{3}{25}\sqrt{xy^3}$ са подобни, защото подкоренните им величини в нормалният им вид са еднакви.

1 Задача Определете дефиниционното множество на израза $\sqrt{x-5}$.

Решение: Както знаем от 8 клас, за да съществува квадратният корен, подкоренната му величина трябва да е по-голяма или равна на нула, в нашият случай имаме че:

ДО:$x-5\geq 0$, от където лесно можем да съобразим, че $x\geq 5$ т.е. ДО:$x\in (-\infty, -5)\cup (-5,+\infty)$.

2 Задача Определете дефиниционното множество на израза $\frac{x+1}{\sqrt{3-x}}$.

Решение: Тъй като разглежданият израз представлява дроб, то следва, че знаменателят на тази дроб трябва да бъде различен от нула. От друга страна обаче, знаменателят съдържа квадратен корен (квадратен радикал) и следователно подкоренната величина трябва да бъде неотрицателно. От казаното дотук получаваме, че:

ДО: $\sqrt{3-x}\neq 0$ и $3-x\geq 0$. Като вземем под внимание и двете условия виждаме, че трябва $x<3$ т.е. ДО: $x\in (-\infty, 3)$.

3 Задача Определете дефиниционното множество на израза $\sqrt{x-4}+\sqrt{x-1}$.

Решение: В даденият израз имаме два квадратни радикала, следователно ДО: $x-4\geq 0$ и $x-1\geq 0$ т.е. ДО: $x\geq 4$ и $x\geq 1$. Тези две неравенства имат общо решение при $x\geq 4$. Тако получихме, че ДО: $[4,+\infty)$

4 Задача Рационализирайте знаменателя на дробтта $\frac{4}{\sqrt{6}}$.

Решение: Да рационализираме знаменатeлa (числителя) означава да премахнем радикала от знаменателя (числителя). За целта в нашата задача ще умножим дадената дроб и ще я разделим на $\sqrt{6}$ т.е.:

$\frac{4}{\sqrt{6}}=\frac{4}{\sqrt{6}}.\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=\frac{4\sqrt{6}}{6}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$.

5 Задача Рационализирайте знаменателя на дробтта $\frac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$.

Решение: Когато рационализираме знаменател (числител), в който имаме сбор или разлика умножаваме числителят и знаменателят и със спрегнатото на знаменателя (числителя). Първо нека кажем какво ще наричаме спрегнато. Ако имаме сбора $a+b$, спрегнатото му е $a-b$ и обратно, на $a-b$ спрегнатото е $a+b$. Целта ни е да получим произведението $(a+b)(a-b)$, което знаем още от $7$ клас, че е равно на $a^2-b^2$. Така повдигайки на втора степен всяко от $a$ и $b$, корените ще изчезнат. Нека реализираме това и в самата задача:
Умножаваме по спрегнатото на знаменателя т.е. $\sqrt{3}+\sqrt{2}$ и делим на него, така получаваме, че $\frac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{2(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{2(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{3-2}=2(\sqrt{3}+\sqrt{2})$, което задачата е решена.

6 Задача Опростете израза $\frac{\sqrt{2x}}{4+\sqrt{2x}}-\frac{\sqrt{2x}}{4-\sqrt{2x}}$.

Решение: След като отбележим, че знаменателите на двете дроби, в даденият израз трябва да бъдат различни от нула, както и това, че подкоренните величини трябва да бъдат по-големи или равни на нула привеждаме израза под общ знаменател, който е $(4+\sqrt{2x})(4-\sqrt{2x})$. Първата дроб разширяваме с $(4-\sqrt{2x})$, а втората с $(4+\sqrt{2x})$ и получаваме:
$\frac{\sqrt{2x}(4-\sqrt{2x})-\sqrt{2x}(4+\sqrt{2x})}{(4+\sqrt{2x})(4-\sqrt{2x})}=\frac{4\sqrt{2x}-2x-4\sqrt{2x}-2x}{16-2x}=\frac{-4x}{16-2x}=\frac{2x}{x-8}$.

7 Задача Да се докаже, че $(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2-1}}+\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}-\frac{6\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}):\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-2}=\sqrt{2}-1$.

Решение: Нека да означим лявата страна на това равенство с $A$, а дясната страна с $B$. Ще докажем, че $A=B$. Привеждаме под общ знаменател $\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)$ изразът в скобите, така получаваме:
$A=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)+\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)-(6\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}.\frac{2\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}}=$

$=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)^2+\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)^2-(6\sqrt{2}-1)((\sqrt{2})^2-1)}{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}.\frac{2(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}}=$

$=\frac{\sqrt{2}((\sqrt{2})^2+2\sqrt{2}+1)+\sqrt{2}((\sqrt{2})^2-2\sqrt{2}+1)-(6\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}.\frac{2}{\sqrt{2}}=$

$=\frac{\sqrt{2}(3+2\sqrt{2})+\sqrt{2}(3-2\sqrt{2})-6\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}.\frac{2}{\sqrt{2}}=$

$=\frac{3\sqrt{2}+4+3\sqrt{2}-4-6\sqrt{2}+1}{2(\sqrt{2}+1)}.\frac{2}{\sqrt{2}}=$

$=\frac{1}{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}.\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{2}{2(\sqrt{2}+1)}=\frac{1}{\sqrt{2}+1}$. Сега рационализираме знаменателя на последната дроб, като умножим по спрегнатият израз на знаменателя:
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}.\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2})^2-1}=\frac{\sqrt{2}-1}{1}=\sqrt{2}-1$. Така получихме, че $A=B$, с което доказахме равенството от условието на задачата.

Задачи за самостоятелна работа:

1. Да се определят допустимите стойности на $x$ в израза:

а) $\sqrt{x^2-49}$; б) $\frac{4x}{\sqrt{x-9}}$; в) $\sqrt{x-9}+\sqrt{x^2-4}$; г) $\frac{7x-1}{\sqrt{4x^2-25}}+\frac{1}{\sqrt{x+6}}$.

2. Рационализирайте знаменателят на дробтта:

а) $\frac{4}{\sqrt{7}}$; б) $\frac{3x}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$; в) $\frac{21}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}$; г) $\frac{1}{1+\sqrt{5}+\sqrt{10}}$.

3. Опростете израза $\frac{1-\sqrt{y}}{1+\sqrt{y}}+\frac{1+\sqrt{y}}{1-\sqrt{y}}$.

4. Докажете равенството $\frac{15}{\sqrt{6}+1}+\frac{4}{\sqrt{6}-2}-\frac{12}{3-\sqrt{6}}=\sqrt{6}-11$.

5. Да се опрости ирационалният израз:

а) $C=(\frac{3}{\sqrt{1+x}}+\sqrt{1-x}):(\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}+1)$;

б) $D=\sqrt{10+x+6\sqrt{x+1}}+\sqrt{5-x+2\sqrt{4-x}}$;

6. Докажете верността на равенството $\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}+\frac{5}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}$.

7. Опростете израза $\frac{(\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}+\sqrt{\frac{1-x}{1+x}})}{(\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}-\sqrt{\frac{1-x}{1+x}})}$ при $0<x<1$.

8. Опростете ирационалният израз и намерете дефиниционната му област: $\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}:\frac{1}{x^2-\sqrt{x}}$.

9. Опростете ирационалният израз:

 $\frac{(\sqrt{a^2+a\sqrt{a^2-b^2}})-(\sqrt{a^2-a\sqrt{a^2-b^2}})^2}{2\sqrt{a^3b}}.(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}-2)$ $(a>b>0)$.

10. Опростете израза и намерете дефиниционната му област: 

$\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2-4b}{(a-b):(\sqrt{\frac{1}{b}}+3\sqrt{\frac{1}{a}})}:\frac{a+9b+6\sqrt{ab}}{\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{a}}}$.

11. Опростете ирационалният израз и намерете дефиниционната му област:

$(\frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{1+x}}-\frac{\sqrt{1+x}}{1+\sqrt{x}})^2-(\frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{1+x}}-\frac{\sqrt{1+x}}{1-\sqrt{x}})^2$.

12. Опростете ирационалният израз и намерете дефиниционната му област:

$(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{a+1}}+\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{a-1}}):(1+\sqrt{\frac{a+1}{a-1}})$.

13. Опростете ирационалният израз и намерете дефиниционната му област:

$\frac{\sqrt{(x+2)^2-8x}}{\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}}}$.

14. Опростете израза и намерете дефиниционната му област:

$\frac{\sqrt{1-x^2}-1}{x}(\frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}+x-1}+\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}})$.

15. Опростете израза и намерете дефиниционната му област:

$(\frac{a-\sqrt{a^2-b^2}}{a+\sqrt{a^2-b^2}}-\frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{a-\sqrt{a^2-b^2}}):\frac{4\sqrt{a^2-a^2b^2}}{(5b)^2}$.

16. Опростете израза и намерете дефиниционната му област:

$(\sqrt{1-x^2}+1):(\frac{1}{\sqrt{1+x}}+\sqrt{1-x})$.

17. Опростете израза и намерете дефиниционната му област:

$(\frac{\sqrt{3}+1}{1+\sqrt{3}+\sqrt{t}}+\frac{\sqrt{3}-1}{1-\sqrt{3}+\sqrt{t}}).(\sqrt{t}-\frac{2}{\sqrt{t}}+2)$.

17. Опростете израза и намерете дефиниционната му област:

$\sqrt{\frac{x}{x-a^2}}:(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x-a^2}}{\sqrt{x}+\sqrt{x-a^2}}-\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x-a^2}}{\sqrt{x}-\sqrt{x-a^2}})$.

Още обяснени и решени задачи свързани с този урок можете да намерите във видеото ми дадено по-долу: