Ирационални уравнения 10 клас

Определение 1: Ирационално уравнение, ще наричаме такова уравнение, в което неизвестното се съдържа под знак за коренуване.

Когато решаваме ирационални уравнения нашата цел ще бъде да ги сведем до уравнения от вида $f(x)=g(x)$. Това можем да го постигнем след като повдигнем лявата и дясната страна на квадрат. Трябва да отбележим, че от уравнението $f(x)=g(x)$, като следствие се получава уравнението $f^2(x)=g^2(x)$. Последното уравнение, обаче е възможно да има и други корени, които не са корени на уравнението $f(x)=g(x)$. За това накрая след като намерим корените на уравнението e задължително да се направи проверка в първоначално даденото уравнение. 

По-долу ще разгледаме решени ирационални уравнения с един и два квадратни радикала, както и някои ирационални уравнения за които е удачно да бъдат решение чрез подходящо полагане (подходяща субституция).

1 Задача Решете ирационалното уравнение $\sqrt{x+3}=1$.

Решение: Повдигаме на квадрат лявата и дясната страна на това ирационално уравнение и получаваме уравнението $(\sqrt{x+3})^2=1^2\iff x+3=1\iff x=-2$. Сега правим проверка с $x=-2$ в даденото първоначално уравнение, питаме се дали числовото равенство $\sqrt{-2+3}=1$, което е очевидно вярно, следователно $x=-2$ е решение за даденото ирационални уравнение.

2 Задача Решете ирационалното уравнение $3+\sqrt{x-6}=5$.

Решение: Записваме даденото ирационално уравнение във вида $\sqrt{x-6}=2$ (прехвърляме $3$ от дясната страна на равенството). Сега повдигаме на квадрат лявата и дясната страна на последното уравнение, от където имаме, че $(\sqrt{x-6})^2=2^2$. Следователно $(\sqrt{x-6})^2=2^2\iff x-6=4\iff x=10$. Сега правим проверка в първоначално даденото ни уравнение с $x=10$: $3+\sqrt{10-6}=5$, което е очевидно вярно числово равенство и следователно $x=10$ е решение на даденото ирационално уравнение.

3 Задача Решете ирационалното уравнение $\sqrt{3x+1}-\sqrt{4(x-1)}=0$.

Решение:  Записваме даденото уравнение във вида $\sqrt{3x+1}=\sqrt{4(x-1)}$. Сега повдигаме на квадрат лявата и дясната страна на това ирационално уравнение и получаваме, че $(\sqrt{3x+1})^2=[\sqrt{4(x-1)}]^2$ от където имаме, че $3x+1=4(x-1)\iff 3x+1=4x-4\iff x=5$. Сега правим проверка с $x=5$ в изходното уравнение $\sqrt{3.5+1}-\sqrt{4(5-1)}=0$. Очевидно последното равенство е вярно числово равенство и следователно $x=5$ е решение.

4 Задача Решете ирационалното уравнение $\sqrt{x+7}-\sqrt{x-2}=1$.

Решение: Когато решаваме ирационални уравнения с два квадратни радикала, и в уравнението имаме и число, винаги прехвърляме единия радикал в дясната (лявата) страна на знака "=", така че от едната страна на уравнението да ни остане само единият радикал. От казаното до тук, нашето уравнение записваме по следният начин $\sqrt{x+7}=1+\sqrt{x-2}$ и сега повдигаме на квадрат лявата и дясната му страна, така получаваме $(\sqrt{x+7})^2=(1+\sqrt{x-2})^2$. Сега за дясната страна на това уравнение прилагаме формулата за съкратено умножение $(a-b)^2=a^2+2ab+b^2$, където $a=1$, а $b=\sqrt{x-2}$, така получаваме $x+7=1+2\sqrt{x-2}+(\sqrt{x-2})^2$. От където $x+7=1+2\sqrt{x-2}+x-2$. Сега прехвърляме всичко (освен радикала) в лявата страна на това уравнение. Така получаваме $8=2\sqrt{x-2}\iff \sqrt{x-2}=4$ (делим двете страни на уравнението на 2). Отново повдигаме на квадрат двете страни на последното уравнение и получаваме $(\sqrt{x-2})=4^2\iff x-2=16\iff x=18$. Сега правим проверка в изходното уравнение с $x=18$, т.е. проверяваме равенството $ \sqrt{18+7}-\sqrt{18-2}=1$, което е очевидно вярно и следователно $x=18$ е решение.

5 Задача Решете ирационалното уравнение $x-5\sqrt{x+2}+6=0$ чрез полагане.

Решение: Даденото уравнение записваме по следният начин $(x+2)-2-5\sqrt{x+2}+6=0\iff (\sqrt{x+2})^2-5\sqrt{x+2}+4=0$. Сега полагаме $\sqrt{x+2}=t$. Така получаваме ново уравнение (квадратно), в което неизвестното е $t$ т.е. $t^2-5t+4=0$, решаваме относно $t$ - $t_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2}$, от където $t_{1}=4$ и $t_{2}=1$. Сега се връщаме в положеното и получаваме, че $\sqrt{x+2}=4$ или $\sqrt{x+2}=1$. Повдигаме на втора степен левите и десните страни на последните две уравнения и имаме $x+2=16$ или $x+2=1$, така намираме две решение за неизвестното $x$ - $x_1=14$ и $x_2=-1$. Правим проверка в първоначалното уравнение както с $x=14$, така и с $x=-1$. Питаме се дали за $x=14$ числовото равенство $14-5\sqrt{14+2}+6=0$ е вярно? Очевидно $14-20+6=0$, следователно $x=14$ е решение. Сега заместваме с $x=-1$ - $-1-5\sqrt{-1+2}+6=0$ т.е. $-1-5+6=0$ и това числово равенство е вярно, следователно даденото ирационално уравнение има две решение $x_1=14$ и $x_2=-1$.

6 Задача Решете ирационалното уравнение $\sqrt{2-x}-\frac{x-2}{\sqrt{2-x}}=\sqrt{x^2-6x+8}$.

Решение: За даденото уравнение няма да търсим дефиниционна област, защото накрая, след като го решим ще направим проверка. Прави впечатление, че в лявата страна на уравнението имаме  изразите $2-x$ и $x-2$, (вземаме в предвид, че $x-2=-(2-x)$ и обратно $2-x=-(x-2)$), докато в дясната страна имаме квадратният тричлен $x^2-6x+8$, който можем да разложим на множители (прилагаме формулата $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, където $x_1$ и $x_2$ са корените на квадратното уравнение $a^2+bx+c=0$). Така получаваме, че $x^2-6x+8=(x-4)(x-2)$. Сега можем да запишем уравнението по следният начин: $\sqrt{2-x}+\frac{2-x}{\sqrt{2-x}}=\sqrt{(2-x+2)(2-x)}$. Сега полагаме $2-x=t$, от където вече имаме ново уравнение относно новата променлива $t$: $\underbrace{\frac{\sqrt{t}}{1}+\frac{t}{\sqrt{t}}=\frac{\sqrt{(t+2)t}}{1}}_{\sqrt{t}}$. Виждаме, че общият знаменател в последното уравнение е $\sqrt{t}$, тук не е трудно да съобразим, че е необходимо $t\neq 0$. След като преведем под общ знаменател, имаме уравнението $t+t=\sqrt{(t+2)t}\iff 2t=t\sqrt{t+2}$. Повдигаме на квадрат двете страни на последното уравнение и получаваме: $4t^2=(t+2)t^2\iff t^3-2t^2=0\iff t^2(t-2)=0\iff t_1=0,\ t_2=2$. Тъй като, малко по-горе отбелязахме, че  $t\neq 0$ остава само едно решение $t=2$. Сега трябва да направим проверка с $t=2$ в първоначалното уравнение относно променливата те, а именно питаме се вярно ли е, че $\sqrt{2}+\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{(2+2)2}$. След пресмятане се убеждаваме, че последното числово равенство е вярно. Сега се връщам в положеното (не бива да забравяме, че ние решаваме уравнение относно променливата $x$ и променливата $t$ е само помощна) от където имаме, че: $2-x=2\iff x=0$. Накрая правим проверка в първоначално даденото ни в условието на задачата уравнение относно $x$ с намереното евентуално решение $x=0$ т.е. питаме се дали е вярно числовото равенство $\sqrt{2-0}-\frac{0-2}{\sqrt{2-0}}=\sqrt{0^2-6.0+8}$, което след пресмятане се убеждаваме, че е вярно и следователно за отговор ни остава $x=0$.

Задачи за самостоятелна работа:

1. Решете ирационалните уравнения:

а) $\sqrt{x+18}=5$; б) $\sqrt{x-3}=-3$; в) $\sqrt{x^2-7}=3$; г) $y-\sqrt{y+7}=5$; д) $\sqrt{x-7}+x=9$.

2. Решете ирационалното уравнение:

а) $2\sqrt{x+3}-\sqrt{5x+6}=0$; б) $\sqrt{5x-3}-\sqrt{x-4}=0$; в) $\sqrt{x(x+5)+15}=\sqrt{6x-8}$.

3. Решете ирационалното уравнение:

а) $\sqrt{x+2}+\sqrt{x+7}=5$; б) $\sqrt{2y+1}-\sqrt{y-3}=2$; в) $\sqrt{3z+7}-\sqrt{z+1}=2$ г) $\sqrt{x+4}+\sqrt{x-4}=4$; д) $\sqrt{2x+3}-\sqrt{5x+1}=-1$; е) $\sqrt{25-x}+\sqrt{9+x}=2$.

4. Решете ирационалното уравнение чрез подходящо полагане:

а) $x^2-4x+\sqrt{x^2-4x+4}=8$; б) $2x^2+x+\sqrt{2x^2+x+4}=26$; в) $\sqrt{\frac{x+5}{x}}+4\sqrt{\frac{x}{x+5}}=4$; г) $\sqrt{4x^2+3x+14}-\sqrt{4x^2+3x+3}=1$; д) $\sqrt{5x^2+3x+1}+\sqrt{5x^2+3x+8}=7$.

5. Да се реши ирационалното уравнение:

а) $\sqrt{3x-2}-\sqrt{x+3}=1$; б) $x+\sqrt{x-1}=7$; в) $\sqrt{3x+4}-\frac{1}{\sqrt{3x+4}}$; г) $\sqrt{x^2-6x+9}=x-3$; д) $\sqrt{2x^2-4x+2}+\sqrt{2x^2+4x+2}=2\sqrt{2}$.

6. Решете уравнението:

а) $\sqrt{x+2}-\sqrt{2x-3}=1$; б) $\sqrt{x-3}+\sqrt{2x+1}=\sqrt{3x+4}$; в) $\sqrt{3x+1}-\sqrt{x-1}=2$; г) $\sqrt{2-x}+\frac{4}{\sqrt{2-x}+3}=2$.

7. Дадено е уравнението $x-\sqrt{9-x^2}=a$, където $a$ е реален параметър.

а) Да се реши уравнението при $a=3$.

б) Ако $a\in (-3,3)$, да се реши уравнението в зависимост от $a$.

8. Да се реши уравнението: 

а) $2x-\sqrt{x^2+9}=3$; б) $\sqrt{2x-6}+\sqrt{x+4}=5$; в) $2+x=4\sqrt{x-1}$; г) $x+6+\sqrt{x+6}=20$; д) $\sqrt{x^2+5x+3}-\sqrt{x^2+5x-2}=1$. 

9. Да се реши ирационалното уравнение:

а) $\sqrt{x+2}+\sqrt{2x+3}=\sqrt{3x+7}$; б) $\sqrt{5x-1}-\sqrt{x+2}=1$; в) \sqrt{3x+4}+\sqrt{x-4}=2\sqrt{x}; г) $\sqrt{2x^2+3x-2}=x+2$; д) $\sqrt{x+5}-\sqrt{20-x}=1$.

10. Да се реши ирационалното уравнение:

а) $\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}=1$; б) $\sqrt{3x+3}-3x=1$; в) $\sqrt{22-x}-\sqrt{10-x}=2$; г) $\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x}=1$.

11. Намерете най-малкият корен на уравнението $\sqrt{\frac{x+2}{3x+1}}+\sqrt{\frac{3x+1}{x+2}}=\frac{5}{2}$.

12. Намерете най-големият корен на уравнението $\sqrt{\frac{x+1}{x}}+2\sqrt{\frac{x}{x+1}}=3$.

13. Решете уравнението:

а) $\sqrt{10-x^2}+\sqrt{x^2+3}=5$; б) $\sqrt{x^2+8}=2x+1$; в) $\sqrt{x-2}=x-4$; г) $\sqrt{4+2x-x^2}=x-2$; д) $\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=1$.

14. Да се реши ирационалното уравнение:

а) $\frac{}{\sqrt{x+1}-2}=\frac{1}{\sqrt{x+1}}+\frac{2}{3}$; б) $\sqrt{7x+2}+\sqrt{x+2}=6$; в) $\sqrt{3x^2-1}=x+1$; г) $2x+1=\sqrt{x^2+2}$; д) $\sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}=1$; е) $\sqrt{x-1}.\sqrt{x-6}=6$; ж) $\sqrt{1+4x-x^2}=x-1$; з) $(x^2-4).\sqrt{x+1}=0$.

15. Да се реши уравнението:

а) $\sqrt{x-2}+\sqrt{2x-3}=\sqrt{x+2}$; б) $\sqrt{x^2+5-\sqrt{3x^2+1}}=x+1$; в) $\sqrt{3x+10}-\sqrt{x+4}=2$; г) $x^2+3x+\sqrt{x^2+3x+6}=14$; д) $\sqrt{x^2-3x+5}+x^2=3x+7$; е) $3x^2+3x+\sqrt{x^2+x+25}=5$; ж) $\sqrt{-x^2+5x-4}-\sqrt{x-1}=0$.

16. Решете уравненията:

а) $x\sqrt{3x+1}-2x^2+5\sqrt{3x+1}-10x=0$; б) $x\sqrt{3x+1}-2x^2+7\sqrt{3x+1}-14x=0$; в) $\sqrt{y+2}+\sqrt{2y}=4$; г) $\sqrt{x+1}+\sqrt{x+6}=5$ д) $\sqrt{x+1}-\sqrt{2x+9}=-2$; е) $\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2+4}=3$.

17. Решете ирационалното уравнение:

а) $\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{x-1}}=14-2x; б) $\sqrt{3x+4}+\sqrt{x-4}=2\sqrt{x}$; в) $\sqrt{2x-1}=x-1$; г) $\sqrt{2x^2+2}+2x^2+2=6$; д) $\sqrt{5+4x-x^2}=2x-1$; е) $\sqrt{2x^2-x-2}=-x$.

18. Да се реши уравнението: 

а) $\sqrt{4+\sqrt{2x^2-17}}=x+2$; б) $\frac{\sqrt{x^2+x+6}+\sqrt{x^2-x-4}}{\sqrt{x^2+x+6}-\sqrt{x^2-x-4}}=5$; в) $\sqrt{2x-1}=2+\sqrt{x-4}$; г) $2\sqrt{5+3x}-\sqrt{2x+5}=\sqrt{5}$; д) $\frac{x}{x+\sqrt{1+x^2}}+\frac{x}{x-\sqrt{1+x^2}}=x-3$; е) $\sqrt{4x^2+9x+5}-\sqrt{2x^2+x-1}=\sqrt{x^2-1}$.

Още решени и обяснени задачи може да намерите във видеата ми по-долу: