Вектори. Равенство между вектори 8 клас

Преди да преминем към решаването на задачи свързани с вектори нека припомним някои основни понятия за тях.

Отсечка, на която единият край сме приели за първи, а другиат за втори се нарича насочена отсечка или още вектор.

Векторът $AB$ ще означаваме по следният начин $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$.

Първият край на вектора ще наричаме начало, а вторият край на вектора ще наричаме край.

Дължината на вектора $\overrightarrow{AB}$ се нарича дължината на отсечката $AB$ и ще означаваме по следният начин $|\overrightarrow{AB}|=AB$.

Посоката на обхождане на вектора от началото $A$ до края $B$ се нарича посока на вектора $\overrightarrow{AB}$ (винаги първо казваме началото на вектора, а после края на вектора).

Вектори, които лежат на една и съща права или на успоредни прави ще наричаме колинеарни.

Ще казваме, че векторите $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ са еднопосочни, когато лежат на една права и единият от лъчите $AB^{\rightarrow}$ или $CD^{\rightarrow}$ се съдържа в другия или когато лежат на успоредни прави и краищата $B$ и $D$ са в една и съща полуравнина относно правата $AC$. Факта, че двата вектора са еднопосочни ще означаваме по следният начин $\overrightarrow{AB}\uparrow\uparrow\overrightarrow{CD}$

Ще казваме, че векторите $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ са противопосочни, когато лежат на една права и никой от лъчите $AB^{\rightarrow}$ или $CD^{\rightarrow}$ не съдържа другия или когато лежат на успоредни прави и краищата $B$ и $D$ са в различни полуравнини относно правата $AC$. Факта, че двата вектора са противопосочни ще означаваме по следният начин $\overrightarrow{AB}\uparrow\downarrow\overrightarrow{CD}$.

Вектор, на който краищата съвпадат ще наричаме нулев вектор. Нулевият вектор се означава по следният начин $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$.

Ше казваме, че два вектора са равни, ако те са еднопосочни и имат равни дължини. 

Ще казваме, че два вектора са противополжни, ако те са противопосочни и имат равни дължини.

1 Задача Дадена е точка $O$ и триъгълник $ABC$. Запишете всички ненулеви вектори с начало точката $O$ и край - връх от даденият триъгълник.

Решение: 

Избираме точката $O$ съвсем, тя може, както да бъде вътрешна за $\triangle ABC$ така и външна за него. Построяваме векторът $\overrightarrow{OA}$, който за начало има точката $O$, а за край точката $A$, след това построяваме векторът $\overrightarrow{OB}$, който за начало има точката $O$, а за край точката $B$, след това построяваме и векторът $\overrightarrow{OC}$, който има за начало точката $O$, а за край точката $C$, с което задачата е решена.

2 Задача Точка $C$ е вътрешна за отсечката $AB$. Запишете всички еднопосочни вектори с краища точките $A$, $B$ и $C$.

Решение:

Векторите $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{CB}$ са три еднопосочни вектора. Другата тройка еднопосочни вектори са $\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{CA}$ и $\overrightarrow{BC}$.

3 Задача Ако два вектора имат равни дължини може ли да се твърди, че те са равни?

Решение: От това, което си припомнихме разбрахме, че два вектора са равни, когато те са еднопосочни и имат равни дължини. Следователно отговорът на поставеният въпрос е отрицателен. Не можем да твърдим, че два вектора са равни, ако имат равни дължини. За да кажем, че със сигурност те са равни трябва да знаем и, че векторите са еднопосочни.

Задачи за самостоятелна работа

1. Два вектора имат равни дължини. Можем ли да твърдим, че те са еднопосочни? 

2. Даден е шестоъгълникът $ABCDEF$. Запишете всички ненулеви вектори с краища точките $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ и $F$.

3. Точката $L$ е среда на отсечката $MN$. Запишете всички равни вектори с краища точките $M$, $N$ и $L$, а също така и всички двойки противоположни вектори с краища същите точки.

4. Докажете, че ако $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$, то точките $B$ и $C$ съвпадат.

Още обяснени и решени задачи свързани с този урок можете да намерите в клипа ми даден по-долу: